9.6黄金分割同步练习（含解析）
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9.6黄金分割
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线l1∥l2∥l 3，直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，若AH=2，HB=3，BC=7，DE=4，则EF等于( ) ．
A． B． C． D．以上不对
2．已知，且，则等于（ ）
A．4 B．8 C．32 D．2
3．如图，三个矩形中相似的是 ( )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．没有相似矩形
4．已知（b+d+f≠0），则=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，DF=15，则DE=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
6．已知线段MN=6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是（ ）
A．(9-3)cm B．(3-3)cm C．(3-1)cm D．(3-)cm
7．下列图形一定相似的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形
C．有两边成比例的两个直角三角形 D．有两边成比例的两个等腰三角形
8．如图，在△ABC中，点D和E分别在边AB、AC的延长线上，下列各条件中不能判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
9．把(m，n，p，q都不等于0)写成比例式，错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知线段，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例．如果某面国旗长为2米．则其宽约为（ ）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
12．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1 AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是( )
A．()2017 B．()2017 C．()2017 D．(﹣2)1008
二、填空题
13．请将下图中的相似图形的序号写出来：
14．线段m的长度是线段n的5倍，则 .
15．已知，则 ．
16．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58m，则该车车身总长约为 m．（结果精确到0.01m）
17．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“浙”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边，上，且，“浙”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号)．
三、解答题
18．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
19．如果，求的值.
20．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，
①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
21．（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比．
（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由．
（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度．
（4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）： ．
22．把宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形：）还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
《9.6黄金分割》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B B B A B C C
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】根据平行线分线段成比例即可列出比例式进行求解.
【详解】设EH为x，则DH=DE-x=4-x
∵l1∥l2
∴,即
解得x=
又∵l2∥l 3，
∴,即
解得EF=
故选C.
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质.
2．D
【分析】根据等比的性质求解.
【详解】∵===4，
∴:===4=，
而a+c+e=8，
∴b+d+f=2.
故选D.
【点睛】本题重点考查的是比例的性质，解答本题的关键在于了解等比的性质.
3．C
【详解】试题分析：相似图形的性质：对应边成比例，对应角相等.甲和丙的对应边成比例，所以甲和丙相似.故选C.
4．B
【分析】依据等比的性质：b＋d＋…＋n≠0），那么，求解；
当b＋d＋f≠0时，直接可利用等比的性质得到多求比的值，直接写出答案.
【详解】解：因为（b＋d＋f≠0），
所以由合比性质可得，
．
故选B.
【点睛】本题考查比例的性质，掌握公式是解题关键.
5．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∵DF＝15，
∴DE＝6，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．B
【分析】直接利用黄金比值是计算即可．
【详解】解：MP=×6=(3-3)cm．
故答案为B．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较长线段之比为．
7．A
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【详解】A、两个直角三角形，直角相同，有一个锐角相等，故符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
C、有两边成比例的两个直角三角形，不一定是对应边，故不符合题意；
D、有两边成比例的两个等腰三角形，不一定是对应边，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
8．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A、，可以得出DE∥BC；
B、，不能得出DE∥BC；
C、，可以得出DE∥BC；
D、，可以得出DE∥BC；
故选B．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系．
9．C
【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．
【详解】A. 把mn=pq(mn≠0)两边同时除以np得,所以A不符合；
B. 把mn=pq(mn≠0)两边同时除以nq得，B不符合；
D. 把mn=pq(mn≠0)两边同时除以qm得，D不符合；
利用排除法可知C符合题意.
故选C.
【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于熟练运用等式的基本性质转化.
10．C
【分析】分别利用等比性质、合比性质以及分式的基本性质对原式进行变形即可得出结果．
【详解】A. 是等式的右边同时平方，不符合等式的性质，故A选项错误.
B. 转化为等积式是ab=cd，而原比例式转化为等积式是ad=bc，两者不一致，故B选项错误.
C. 运用了比例的等比性质，故C选项正确.
D. 是左边的分子和分母都减去d，不符合分式的基本性质，故D选项错误.
故选C.
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于利用等比性质、合比性质以及分式的基本性质.
11．B
【分析】由黄金分割的定义和黄金比代入计算即可
【详解】解：由题意得：国旗的宽约为（米，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
12．A
【分析】根据黄金分割的定义的BP1=AB，则AP1=AB-BP1=AB=，利用同样的方法可得到AP2=AP1=，AP3=，按此规律易得APn的长度=
【详解】解答：解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），
∴BP1=AB
∴AP1=AB-BP1=AB=，
∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），
∴
∴AP2=AP1-P1P2=
同理可得AP3=
∴AP2017=
故选A.
【点睛】此题重点考查学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.
13．①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩
【分析】根据形状相同，但大小不一定相等的多边形是相似图形判断即可.
【详解】由相似形的定义可知，①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩是相似图形.
故答案为①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩.
【点睛】题主要考查的是相似图形的识别，正确理解相似图形的形状相同，但大小不一定相等是解题的关键.
14．
【分析】已知m与n的线段长度关系比例，即可求得m与n的比例关系.
【详解】∵线段m的长度是线段n的5倍，
.
故答案为.
【点睛】此题考查线段的比例关系，解题关键在于求出线段长度关系比例.
15．
【详解】∵，
∴，
∴．
16．4.14
【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x 0.618x=1.58，然后解方程即可．
【详解】解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，
∴x 0.618x=1.58，解得x≈4.14，
即该车车身总长约为4.14米．
故答案是：4.14．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC:BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17．/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：．
18．米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
19．.
【分析】将原分式化简即可解得结果.
【详解】∵，
∴.
∴.
∴.
【点睛】本题重点考查的是比例的性质，解答本题的关键在于掌握运算法则.
20．（1）①；②见解析；（2）见解析.
【分析】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
②延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；
（2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．
【详解】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，
∵PM∥AC，∴DE∥AC，
.
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且，
∴；
②延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，
∵DQ=AD，BD=DC，
四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴，，
∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴，
又∵PM∥AC，∴DE∥AC，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
21．（1）；
（2）点是线段的另一黄金分割点，理由见解析；
（3）线段，，的长度为：，，；
（4）．
【分析】（1）设，，则有，由点是线段的黄金分割点，可得，代入数据求解即可；
（2）由点 是线段的黄金分割点，可得，由此可求出、的长度，进而求出的值，即可求解；
（3）由点是线段的黄金分割点，即可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度；
（4）由以上证明可得：，，，…，（为正整数），， ，…， （为正整数）．运用数形结合的思想可将所求代数式转化为：，求出答案即可．
【详解】解：（1）设，，则有，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
整理得：，
解得，（舍去负值），
，
．
（2）点是线段的另一黄金分割点，理由如下：
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点是线段的另一黄金分割点．
（3）点是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
线段，，的长度为：，，．
（4）由以上证明可得以下规律：
，，，…，（为正整数）．
，
，…，
（为正整数）．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，比例线段，运用数形结合是解题的关键．
22．剩下的矩形是黄金矩形，见解析
【分析】根据矩形和正方形的性质可得，然后根据黄金矩形的定义可得，从而得出，即可判断点是线段的黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，从而证出结论．
【详解】剩下的矩形是黄金矩形．
证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形，
．
由四边形是黄金矩形，得，
，点是线段的黄金分割点，
，
即．
∴矩形是黄金矩形．
【点睛】此题考查的是黄金分割比，掌握矩形的性质、正方形的性质和黄金分割点的定义是解决此题的关键．
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9.6黄金分割
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线l1∥l2∥l 3，直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，若AH=2，HB=3，BC=7，DE=4，则EF等于( ) ．
A． B． C． D．以上不对
2．已知，且，则等于（ ）
A．4 B．8 C．32 D．2
3．如图，三个矩形中相似的是 ( )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．没有相似矩形
4．已知（b+d+f≠0），则=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，DF=15，则DE=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
6．已知线段MN=6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是（ ）
A．(9-3)cm B．(3-3)cm C．(3-1)cm D．(3-)cm
7．下列图形一定相似的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形
C．有两边成比例的两个直角三角形 D．有两边成比例的两个等腰三角形
8．如图，在△ABC中，点D和E分别在边AB、AC的延长线上，下列各条件中不能判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
9．把(m，n，p，q都不等于0)写成比例式，错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知线段，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例．如果某面国旗长为2米．则其宽约为（ ）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
12．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1 AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是( )
A．()2017 B．()2017 C．()2017 D．(﹣2)1008
二、填空题
13．请将下图中的相似图形的序号写出来：
14．线段m的长度是线段n的5倍，则 .
15．已知，则 ．
16．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58m，则该车车身总长约为 m．（结果精确到0.01m）
17．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“浙”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边，上，且，“浙”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号)．
三、解答题
18．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
19．如果，求的值.
20．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，
①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
21．（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比．
（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由．
（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度．
（4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）： ．
22．把宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形：）还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
《9.6黄金分割》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B B B A B C C
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】根据平行线分线段成比例即可列出比例式进行求解.
【详解】设EH为x，则DH=DE-x=4-x
∵l1∥l2
∴,即
解得x=
又∵l2∥l 3，
∴,即
解得EF=
故选C.
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质.
2．D
【分析】根据等比的性质求解.
【详解】∵===4，
∴:===4=，
而a+c+e=8，
∴b+d+f=2.
故选D.
【点睛】本题重点考查的是比例的性质，解答本题的关键在于了解等比的性质.
3．C
【详解】试题分析：相似图形的性质：对应边成比例，对应角相等.甲和丙的对应边成比例，所以甲和丙相似.故选C.
4．B
【分析】依据等比的性质：b＋d＋…＋n≠0），那么，求解；
当b＋d＋f≠0时，直接可利用等比的性质得到多求比的值，直接写出答案.
【详解】解：因为（b＋d＋f≠0），
所以由合比性质可得，
．
故选B.
【点睛】本题考查比例的性质，掌握公式是解题关键.
5．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∵DF＝15，
∴DE＝6，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．B
【分析】直接利用黄金比值是计算即可．
【详解】解：MP=×6=(3-3)cm．
故答案为B．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较长线段之比为．
7．A
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【详解】A、两个直角三角形，直角相同，有一个锐角相等，故符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
C、有两边成比例的两个直角三角形，不一定是对应边，故不符合题意；
D、有两边成比例的两个等腰三角形，不一定是对应边，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
8．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A、，可以得出DE∥BC；
B、，不能得出DE∥BC；
C、，可以得出DE∥BC；
D、，可以得出DE∥BC；
故选B．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系．
9．C
【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．
【详解】A. 把mn=pq(mn≠0)两边同时除以np得,所以A不符合；
B. 把mn=pq(mn≠0)两边同时除以nq得，B不符合；
D. 把mn=pq(mn≠0)两边同时除以qm得，D不符合；
利用排除法可知C符合题意.
故选C.
【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于熟练运用等式的基本性质转化.
10．C
【分析】分别利用等比性质、合比性质以及分式的基本性质对原式进行变形即可得出结果．
【详解】A. 是等式的右边同时平方，不符合等式的性质，故A选项错误.
B. 转化为等积式是ab=cd，而原比例式转化为等积式是ad=bc，两者不一致，故B选项错误.
C. 运用了比例的等比性质，故C选项正确.
D. 是左边的分子和分母都减去d，不符合分式的基本性质，故D选项错误.
故选C.
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于利用等比性质、合比性质以及分式的基本性质.
11．B
【分析】由黄金分割的定义和黄金比代入计算即可
【详解】解：由题意得：国旗的宽约为（米，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
12．A
【分析】根据黄金分割的定义的BP1=AB，则AP1=AB-BP1=AB=，利用同样的方法可得到AP2=AP1=，AP3=，按此规律易得APn的长度=
【详解】解答：解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），
∴BP1=AB
∴AP1=AB-BP1=AB=，
∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），
∴
∴AP2=AP1-P1P2=
同理可得AP3=
∴AP2017=
故选A.
【点睛】此题重点考查学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.
13．①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩
【分析】根据形状相同，但大小不一定相等的多边形是相似图形判断即可.
【详解】由相似形的定义可知，①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩是相似图形.
故答案为①和③；②和⑤；④和⑦；⑧和⑨；⑥和⑩.
【点睛】题主要考查的是相似图形的识别，正确理解相似图形的形状相同，但大小不一定相等是解题的关键.
14．
【分析】已知m与n的线段长度关系比例，即可求得m与n的比例关系.
【详解】∵线段m的长度是线段n的5倍，
.
故答案为.
【点睛】此题考查线段的比例关系，解题关键在于求出线段长度关系比例.
15．
【详解】∵，
∴，
∴．
16．4.14
【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x 0.618x=1.58，然后解方程即可．
【详解】解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，
∴x 0.618x=1.58，解得x≈4.14，
即该车车身总长约为4.14米．
故答案是：4.14．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC:BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17．/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：．
18．米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
19．.
【分析】将原分式化简即可解得结果.
【详解】∵，
∴.
∴.
∴.
【点睛】本题重点考查的是比例的性质，解答本题的关键在于掌握运算法则.
20．（1）①；②见解析；（2）见解析.
【分析】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
②延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；
（2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．
【详解】（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，
∵PM∥AC，∴DE∥AC，
.
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且，
∴；
②延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，
∵DQ=AD，BD=DC，
四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴，，
∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴，
又∵PM∥AC，∴DE∥AC，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
21．（1）；
（2）点是线段的另一黄金分割点，理由见解析；
（3）线段，，的长度为：，，；
（4）．
【分析】（1）设，，则有，由点是线段的黄金分割点，可得，代入数据求解即可；
（2）由点 是线段的黄金分割点，可得，由此可求出、的长度，进而求出的值，即可求解；
（3）由点是线段的黄金分割点，即可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度；
（4）由以上证明可得：，，，…，（为正整数），， ，…， （为正整数）．运用数形结合的思想可将所求代数式转化为：，求出答案即可．
【详解】解：（1）设，，则有，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
整理得：，
解得，（舍去负值），
，
．
（2）点是线段的另一黄金分割点，理由如下：
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点是线段的另一黄金分割点．
（3）点是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
线段，，的长度为：，，．
（4）由以上证明可得以下规律：
，，，…，（为正整数）．
，
，…，
（为正整数）．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，比例线段，运用数形结合是解题的关键．
22．剩下的矩形是黄金矩形，见解析
【分析】根据矩形和正方形的性质可得，然后根据黄金矩形的定义可得，从而得出，即可判断点是线段的黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，从而证出结论．
【详解】剩下的矩形是黄金矩形．
证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形，
．
由四边形是黄金矩形，得，
，点是线段的黄金分割点，
，
即．
∴矩形是黄金矩形．
【点睛】此题考查的是黄金分割比，掌握矩形的性质、正方形的性质和黄金分割点的定义是解决此题的关键．
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