9.8相似三角形的性质同步练习（含解析）

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9.8相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2）；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，是的中位线，若的面积为1，则四边形的面积为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，等边中，为边中点，于，交于点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的三边长分别为，，，现要利用长为和的两根铁丝制作与相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段（允许有余料）作为另外两边，可以作成不同的三角形框架有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5．在中，点D、E分别在边、上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．在梯形中，，与相交于点．如果．那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）

A． B． C． D．
8．若，，则的度数为（　　）
A．30° B．50° C．40° D．70°
9．把△ABC各边都扩大4倍，得到△A1B1C1，则它们的对应角平分线扩大（ ）
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．不变
10．若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
11．下列说法中正确的有（ ）
位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似．
A． B． C． D．
12．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在△ABC中， ∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= .
14．如图，四边形中，，，，与相交于点，的面积为3，则的面积是 ．
15．如图，已知，，的中垂线交于点D、交于点M．下列结论：①是的平分线：②是等腰三角形；③；④．正确的有 ．
16．如图，AC、BD相交于点O，分别联结AB、DC，如果，，，，那么 ．
17．我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？

译文：今要测量海岛上一座山峰的高度，在B处和D处树立标杆和，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔步（1丈=10尺，1步=6尺），并且和在同一平面内．从标杆后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰的高度是 ．

三、解答题
18．如图，是斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连接，作于点G，交于点D．求证：．
19．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使，记录下的距离为；
④测量出之间的距离大约为．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
20．如图，，是的高，与相似吗？为什么？
21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB于D．
（1）求证：△ACB∽△ADE；
（2）求AD的长度．
22．如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求证：（1） CG=BH；（2）FC2=BF·GF；（3）.
23．如图，直线分别交的、两边于、，与的延长线交于，若，求的值．
24．如图，已知在中，，，D为BC边上一点，.
(1)求证：；
(2)过点D作交AC于点E，请再写出另一个与相似的三角形，并直接写出DE的长.
《9.8相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C D B B A C
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】由等腰直角三角形和同角的余角相等，易证，再由勾股定理即可判断（1）（2）正确，再用面积割补法即可整除（3）正确，再证得，即可判断（4）正确．
【详解】解： ， ，O是斜边AB的中点，
，，
，
，
，
，
，
在和 中
，
，
，AD=CE，
故（1）正确；
，
，
，
，
故（2）正确；
，
S四边形CDOE= ，
∴△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，
故（3）正确．
，
，
，
，
，
，
故（4）正确；
四个答案都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质，掌握各项性质和判定以及面积的割补法是解题的关键．
2．B
【分析】先证明，然后根据相似三角形的性质求出，即可求出四边形的面积．
【详解】解∶∵是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
又的面积为1，
∴，
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．B
【分析】作AC边上的高BG，垂足为G，在等边三角形中，利用三线合一定理，结合DE∥BD，可求出AE与AC的关系，从而得出CE与AC的关系，那么再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求．
【详解】解：从B点作AC边上的高BG，交AC于G，
∵DE⊥AC于E
∴DE∥BG
又∵D为AB边中点
∴AE=GE
∵△ABC为等边三角形，且BG为高
∴AG=GC
∴4AE=AC，即CE=AC
∵EF∥AB
∴△EFC∽△ABC
又∵CE=AC
∴△EFC与△ABC的面积之比=（AC）2：AC2=9：16．
故选：B．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
4．A
【分析】根据相似三角形的性质分别计算以长的铁丝为最长边，中边和最短边的值即可；
【详解】有三种不同的截法：
①以长的铁丝为最长边，设中边长为，短边长为，
则，
解得，
所以可从长的铁丝上分别截取、长的两段；
②以长的铁丝为中边，设最长边长为，短边长为，则，解得，
由于，不符合题意；
③以长的铁丝为最短边，设最长边长为，中边长为，则，解得，不合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，准确分析判断是解题的关键．
5．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质作答即可．
【详解】假设，
，，
，，
故选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，找准相似三角形的对应边是解题的关键．
6．D
【分析】由AD∥BC，即可求得△AOD∽△COB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得，由AD：BC=1：3，即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵AD：BC=1：3，
∴
∴S△OBC=9S△AOD
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方的应用，注意数形结合思想的应用．
7．B
【分析】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例．
【详解】
B.错误
故选B．
【点睛】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例．
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，熟记相似三角形的性质是解决问题的关键．先根据三角形内角和计算出的度数，然后根据相似三角形的性质得到的度数．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
9．A
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比即可得出结论
【详解】解：因为△ABC的各边都分别扩大4倍，得到△A1B1C1，
那么△A1B1C1的各边为△ABC的4倍，即△ABC与△A1B1C1的相似比为1：4．
则△ABC与△A1B1C1的对应角平分线比为1：4，所以它们的对应角平分线扩大4倍
故选：A．
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形性质的运用，属于基础题．
10．C
【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE的长，EC=AC-AE，即可计算DE的长；
【详解】∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，
∴AE=2，
即EC=AC-AE=6-2=4；
故选C.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
11．A
【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断，解题的关键是掌握相似三角形，相似多边形的定义和性质．
【详解】解：位似图形都相似，故正确；
两个等腰三角形不一定相似，故错误；
两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，故错误；
若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形不一定相似，故错误；
综上可知：正确，
故选：．
12．C
【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【详解】解：且相似比为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键．
13．2-3.
【分析】易知△ABC∽△AEF，则对应边成比例即=,再根据AC=AE+EC，代入已知条件即可求得AE的长.
【详解】∵∠B=∠AED，∠A为公共角，
∴△ABC∽△AED，
∴=，又AC=AE+EC，
∴=，
解得AE=2-3.（负值已舍）
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到对应边成比例.
14．27
【分析】首先证明△AOD∽△COB，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出的面积.
【详解】解：∵，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积是27，
故答案为：27.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
15．①②③
【分析】根据等腰三角形的性质求出两个底角的度数，根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD=，即可求出∠DBC的度数，由此判断①；根据三角形的内角和求出∠BDC的度数，由此判断②；利用两角相等证明即可判断③；根据线段垂直平分线的性质判定△AMD是直角三角形，结合②即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=,
∴,
∴，即是的平分线，故①正确；
∵,
∴∠BDC=∠C，
∴是等腰三角形，故②正确；
∵∠BDC=∠C=∠ABC，
∴，故③正确；
∵是的中垂线，
∴，故△AMD是直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴△AMD与不能全等，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，熟记各性质及判定定理并应用解决问题是解题的关键．
16．3
【分析】由，得到∽DCO，然后列出方程求出OC的长．
【详解】解：，，
∽DCO，
，
，
．
故答案为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确找出三角形相似列出方程是解题的关键．
17．1255步
【分析】先证、可得、，再结合可得，进而求得（步），最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴（步），
又∵，
∴（步），
故答案为：1255步．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、相似三角形的应用等知识点，根据题意、正确找到相似三角形是解答本题的关键．
18．证明见解析
【分析】首先证明，得出；再通过证明，得出，两式联立即可得出．
【详解】证明：，，
．
，．
．
．
．即．
又，
．
又，
．
．
．
．即．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质证明是解题的关键．
19．能测出树A与树B之间的距离为18米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答．
【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：能测出树A与树B之间的距离为18米．
20．，见解析.
【分析】根据已知条件先证明，得到，即，再根据公共角∠A即可证明.
【详解】解：相似.理由如下：
∵，是的高，
∴.
又∵，
∴.
∴，即.
又∵，
∴.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质，解题的关键是熟知两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
21．（1）证明见解析；（2）4.
【分析】（1）求出∠EDA=∠C=90°，根据相似三角形的判定得出相似即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：（1）证明：∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠EDA=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADE；
（2）解：∵△ACB∽△ADE，
∴，
∴，
∴AD=4．
22．(1)、 (2)、 (3) 证明见解析
【详解】证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=900, ∠CBG+∠BCG=900, ∠BAH+∠ABH=900,
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG．
又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCG（ASA）．∴CG=BH．
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=900，∴△CFG∽△BFC．
∴，即FC2=BF·GF．
（3）∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB =900，∴△CBG∽△FBC．
∴，即BC2=BF·BG．
∵AB=BC，∴AB2=BF·BG．
∴，即．
（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论．
（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论．
（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△CBG∽△FBC，利用相似比得出BC2=BF·BG，即AB2=BF·BG，结合（2）的结论求比即可．
23．
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明，，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，过点作的平行线交于．
，
，．
∵
∴，．
，．
，．
．
．
24．(1)证明见解析；(2)△CDE ,.
【分析】（１）中根据图中为公共角，找到三角形相似的“夹角相等”的条件，只要证明，依据是“两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似 ；（２）由可得出，在（１）中，所以可得，于是可构建与线段ＤE有关的比例式，即可求出DE的长 ．
【详解】(1)【证明】∵，，，
.
∵，
∴.
(2)【解】由(1)知，.∵，
∴，∴.
由，得，
即，
解得.
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，关键是根据题中的线段的长和图形的特点，通过仔细观察和计算寻找缺少的条件．
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