第八章一元二次方程同步练习（含解析）

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第八章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（　　　）
A． B． C． D．
2．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A． B． C．或 D．或
3．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
4．如果关于x的方程x2+k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根,那么k的值是( )
A．-7 B．-7或4 C．-4 D．4
5．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
6．已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．不存在
7．一元二次方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
8．已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）
A．6 B．7 C．20 D．
9．解方程（x+2）2=3最适当的方法是（　　）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
10．若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
11．形如的方程，下列说法错误的是（ ）
A．时，原方程有两个不相等的实数根
B．时，原方程有两个相等的实数根
C．时，原方程无实数根
D．原方程的根为
12．若方程的两根为，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
二、填空题
13．一元二次方程化为一般形式为 ，它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
14．在中，，，，则 ．
15．已知数轴上、两点对应的数分别是一元二次方程的两个根，则、两点间的距离是 ．
16．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距．
17．关于x的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程.
三、解答题
18．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
19．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
(3)如果，，，求这个一元二次方程的根．
20．小刚按照某种规律写出4个方程：①；②；③；④……
（1）按照此规律，请你写出第100个方程： ；
（2）按此规律写出第n个方程是 ；这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解，若没有，请说明理由．
21．如图，用长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在上用其他材料建了两扇宽为的门．
(1)若长方形花圃的面积为，求的长．
(2)能否围成面积为的长方形花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
22．解方程：(1)．
（2）（x+3）2=（1﹣2x）2．
23．用公式法解方程：
24．解方程：
(1)；
(2)．
《第八章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B A A B D A C
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（1+x）人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程求解．
【详解】解：
整理得，．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3．
【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又∵，，
∴，
∴
即
解得：或，
∵，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】对于一元二次方程，设t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一个根为t=2020得到x-1=2020，从而可判断一元二次方程必有一根为x=2021．
【详解】解：对于一元二次方程，
设t=x-1，
所以at2+bt+3=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at2+bt+3=0有一个根为t=2020，
则x-1=2020，
解得x=2021，
所以一元二次方程必有一根为x=2021．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．B
【分析】根据同解方程的意义，解关于k的方程．一元二次方程有实数根，即△≥0，对k的值检验，得到符合题意的k值．
【详解】因为关于x的方程x2+k2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根即为同解方程，所以x2+k2-16=x2-3k+12，可得k2+3k-28=0，解之得k=4或-7．分别把4和-7代入原方程或根的判别式检验可知，当k=-7或4时，方程有解．故选B．
【点睛】此题考查根的判别式和同解方程的意义，解题的关键是要注意两个解题步骤，一是利用同解方程列等式解出k的值，二是要把解出的k值代入原方程或根的判别式检验，符合题意的k值才是方程中的k值．
5．A
【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
6．A
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
解得：且．
、是方程的两个实数根，
，，
，
，
或，
，
．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键在于提取公因数以及正确计算．
【详解】解：
解得：
故选：B．
8．D
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，解出a、b，利用勾股定理得到矩形的对角线长，代入计算出矩形的对角线长即可．
【详解】解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵x2﹣6x+8＝0
∴(x﹣4)(x﹣2)=0
∴x=4或x=2，
∵长和宽是方程的两个实数根
∴a＝4，b＝2，
所以矩形的对角线长2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌握一元二次方程的解法及勾股定理是解题的关键．
9．A
【详解】分析：根据一元二次方程的解法即可得出答案．
详解：∵对于的形式采用直接开平方法， ∴本题选A．
点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的解法，属于简单题型．解决这个问题的关键就是要熟悉解方程的方法．
10．C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n= 3，mn= 9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m 9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2= ，x1 x2=．
11．D
【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．
【详解】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；
D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．
12．C
【分析】根据根与系数的关系得到，，据此代值计算即可．
【详解】根据题意得，，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
13． 3 2
【分析】首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到，然后再确定二次项、一次项系数和常数项．
【详解】解：方程整理为一般形式为，
∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是，
故答案为：，3，2，．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．或
【分析】本题主要考查勾股定理、一元二次方程的解法；如图，过点作于点，由题意可设，则有，然后根据勾股定理可得，进而求出或，最后分类求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
设，
则，
在中，由可得，
解得
当，即时，；
当，即时，；
的长度为或，
故答案为：1或7．
15．
【分析】先解一元二次方程，进而根据数轴上两点距离，即可求解．
【详解】解：，
解得：，
∵一元二次方程的两个根是和，
∴、两点的距离为
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，数轴上两点距离，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．9或12
【分析】设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合厘米，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17． =1 ≠1
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的指数是1次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．据此可得出关于m、n的方程，继而可求出m、n的值．）、一元一次方程的定义（①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0）解答．
【详解】解：当关于x的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0是一元一次方程时，
当关于x的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0是一元二次方程时，
m-1≠0，
m≠1，
故答案为=1；≠1．
【点睛】本题考查（1）一元一次方程的一般形式：只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0）；（2）一元二次方程的条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．
18．（1）4，16（2）不能剪成两段使得面积和为12cm2
【详解】（1）.设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=
依题意列方程得：x2+（5-x）2=17，
解方程得：x1=1，x2=4，
两端的铁丝长为4，16.
（2）.设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=．
依题意列方程得：x2+（5-x）2=12，x无解，故不能.
19．(1)是等腰三角形；理由见解析
(2)直角三角形；理由见解析
(3)，
【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状；
（2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案；
（3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
是方程的根，
，
，
，即，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：将，，代入方程得：，
解得：，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
20．(1)；(2) ，有，理由详见解析.
【分析】本题主要考查了代数式式规律、因式分解的应用、解一元二次方程等知识点，掌握因式分解法成为解题的关键．
（1）根据小刚写出的4个方程，易发现其规律是：第n个方程是，据此规律即可解答；
（2）首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．由（1）可知：第n个方程是，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）由①②③④可推得：，则第100个方程为．
故答案为：．
（2），此方程有实数根．理由如下：
或
∴．
21．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设的长为，根据长方形花圃的面积为，列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设的长为，根据长方形花圃的面积为，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设的长为，则，根据题意得，
解得：，
∵
解得：，
∴，
即；
（2）解：设的长为，，根据题意得，
即
即，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为的长方形花圃．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
22．(1)x1=1，x2=3 (2)x1=4，x2=-
【分析】（1）用配方法解方程．（2）把右边的项移到左边，用因式分解法求出方程的解．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
，
（2）（x+3）2-（1﹣2x）2=0，
（x+3+1-2x）(x+3-1+2x)=0，
(-x+4)(3x+2)=0，
∴ ．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解方程．
23．
【分析】中；代入判根，代入求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程．解题的关键在于找出公式中字母所对应的数值．
24．(1)，
(2)，
【分析】（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（ 2）整理后求出的值，再代入公式求出答案即可．
【详解】（1），
，
，
，
或，
解得：，；
（2），
，
，
这里，，，
，
，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
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