9.4探索三角形相似的条件同步练习（含解析）

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9.4探索三角形相似的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，，、分别交于点、，则图中相似的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在边CD上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
4．如图，在中，点P在边上，则在下列条件中，不能证明相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似
B．的三边长为3、4、5，的三边长为、、，则
C．若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1
D．都有一内角为的两个等腰三角形相似
6．图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与
交于H点．若 ABC= EFC=70°， ACB=60°， DGB=40°，则下列哪 一组三角形相似？
A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF ( C．△ABC，△BDG D．△FGH，△ABC
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（　　）
A．AB：AC B．BC：AC
C．AB：BC D．AC：AB
9．如图，具备下列条件①，②，③，④之一，就可以判定与相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
10．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是 ( )

A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
12．已知是等腰直角三角形， ．过点A作于点D，点P是直线上一点，以为边，在的下方作等腰直角三角形（如图），连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题
13．如图，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，△ACD∽△ABC．
14．在△ABC中，AB=6，AC=8，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是 (写出一种情况即可)．
15．矩形纸片按如图所示的方法折纸，并在图中连结后，下面所有正确结论的序号是 ．
①和一定相似；②和不可能全等；
③和不可能全等；④和有可能相似．
16．如图，在中，，则图中相似三角形共有 对．
17．如图，已知，相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是 ．（填一个即可）
三、解答题
18．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．

(1)证明：；
(2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
19．如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：．
20．如图，是内任一点，、、分别为、、的中点．与相似吗？为什么？
21．如图，在等边三角形中，D，E，F分别是三边上的点，，那么与相似吗？请证明你的结论．
22．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．找出图中的相似三角形，并说明理由．
23．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若AB=4，求的值；
（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．
24．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：．
《9.4探索三角形相似的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C B C A D B
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．
【详解】解：AB∥CD，AE∥FD
∴△CEG∽△BAG，
△CEG∽△CDH，
∵△BFH∽△CDH，
∴△CEG∽△BFH，
∴与△CEG相似三角形有3对．
故选B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．
2．C
【分析】如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2．则△ADP1∽△△P1CB，，△ADP2∽△△P2CB，取CD的中点P3，连接AP3，BP3，则△ADP3∽△P3CB，由此可得结论．
【详解】解：如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2．
∵AB为⊙O直径，
∴ ，
∴ ，
为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADP1∽△P1CB，
同理△ADP2∽△P2CB，
取CD的中点P3，连接AP3，BP3，则同理△ADP3∽△P3CB，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．
【详解】图中相似三角形有△ABC∽△CDA,△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，
∴△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∞△CDA，
∵GE∥BC,AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE.
故选：C.
【点睛】本题考查相似三角形的判定, 平行四边形的性质.
4．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟记判定定理是解题的关键．
【详解】解：A．当时，
，
，故A不符合题意；
B．当时，
，
，故B不符合题意；
C．当时，即，
而，
∴所以不能判定和相似，故C符合题意．
D．当时，
∵，
，故D不符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可.
【详解】A.有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故不正确；
B. ∵的三边长为3、4、5，与的三边长为、、不一定成比例，∴与不一定相似，故不正确；
C. 若两个三角形相似，且有一对应边相等，则它们的相似比为1，正确；
D. 当一个等腰三角形的顶角为80°，另一个等腰三角形的底角为80°时，两个三角形不相似，故不正确.
故选C.
【点睛】本题考查了命题的真假，以及相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.
6．B
【详解】在△ABC、△CEF中∠ABC=∠EFC=70°,∠DGB=40°且∠DGB为两个三角形的公共角，又∠BAC=∠FEC=50°,即△ABC与△CEF相似．
7．C
【分析】根据三角形相似的判定定理，结合图形分析即可得出相似三角形的个数．
【详解】解：如图，
根据题意，DE∥BC，MN∥AB，
可得△ADE，△MNC，△MGE均与△ABC相似，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和平行线的性质．
8．A
【分析】利用旋转的性质得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，则可判断△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断．
【详解】解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，
∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
9．D
【分析】由两个角相等的两个三角形相似，可对条件①②③进行判断；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对条件④进行判断；即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，条件①符合题意；
∵仅有，无法确定与相似，
∴条件②不符合题意；
∵，，
∴，条件③符合题意；
∵，，
∴，条件④符合题意．
综上所述，具备条件①③④之一，即可判定与相似．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：由图可知：，
若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意；
若，不能判定与相似，故B符合题意；
故选：B．
11．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，C正确；
故选：C．
12．B
【分析】连接BQ，根据是等腰直角三角形，求出，根据是等腰直角三角形，求出，通过对应边成比例两个三角形相似得出，点到直线垂线段最短即可求值．
【详解】解：连接BQ，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点Q在上运动，
∴当时，的有最小值，最小值，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质、三角形相似的判定，解题的关键是会用等腰直角三角形的性质、三角形相似的判定．
13． ACD B
【解析】略
14．答案不唯一，如BC=10，EF=5
【分析】根据已知利用相似三角形的判定方法即可得到所缺的条件．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=6，AC=8，
在△DEF中，DE=4，DF=3
∴AB：DF=AC：DE=2：1，
∴当∠A=∠D或BC=10，EF=5时，△ABC与△DEF相似．
故答案为：∠A=∠D或BC=10，EF=5
15．①③④
【分析】先由轴对称的性质证明再证明从而可判断①，在①正确的前提下，只要有一边对应相等，可判断②，由再利用反证法证明③，由只需要另外有一组角的相等，可判断④，从而可得答案．
【详解】解：由翻折的性质可得：
矩形纸片，
故①正确；
由①正确，则当时，则和全等；故②错误；
如图，连接 由
当和全等时，则
这与是直角三角形，且是斜边最长互相矛盾，
所以和不可能全等；故③正确；
由所以当时，
则和相似，故④正确，
综上；正确的有：①③④
【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定，同时考查反证法，掌握以上知识是解题的关键．
16．6
【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF、△AGH、△AIJ和△ABC任意两个三角形都相似．
【详解】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似．
∴相似三角形共有6对．
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键．
17．（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定解答即可．
【详解】解：补充条件即可；
∵（对顶角），，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论；
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
，
；
（2）解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得：，
①当时，
，
，
，
，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上，
此情况不符合题意．
②当时，如图，
，
由（1）可知：，，
∴，
，
；
③当时，，

∵
是等腰三角形，，即，
．
综上，或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．
19．见解析
【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，再由公共角即可判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴．
20．相似，理由见解析
【分析】根据线段中点的性质得到A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC，于是得到 ，即可得到结论．
【详解】解：△A′B′C′与△ABC相似，
理由：∵点A′、B′、C′分别是线段OA，OB，OC的中点，
∴A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC
∴
∴△A′B′C′∽△ABC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似，也考查了三角形中线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
21．见解析
【分析】利用等边三角形性质及已知条件，可得，根据三角形全等的判定定理得出，同理可得出，所以，可得为等边三角形，根据三角形相似的判定定理即可证明两个等边三角形相似．
【详解】解：与相似，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
同理可得：，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质是解题关键．
22．，见解析
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等可证得∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，再根据相似三角形的判定即可得出结论．
【详解】解：，理由为：
∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，又∠AOB=∠COD，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定、平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
23．（1）见解析；（2）16；（3）EB=EG，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明△ABE ≌△CBF即可；
（2）证明EBF△∽△ECB∽△BAF，列出比例式计算即可；
（3）先证明△BEF∽△CGF，得到，根据∠EFG=∠BFC，证明△EFG∽△BFC即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE=，
∴△ABF∽△CEB．
∴．
∴=16．
（3）如图2
∠EBF=∠GCF=45°，
∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF.
∴.
即.
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF.
∴EB=EG.
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键．
24．证明见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证．
【详解】证明：、，
，
又，
，
．
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