第九章图形的相似同步练习（含解析）
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第九章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知△ABC∽△DEF，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
3．如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（ ）
A．① B．①③ C．①② D．①②③
4．已知△ABC的周长为C，面积为S；若它的三边都扩大为原来的3 倍，则下列说法中，正确的是（ ）
A．周长为3C，面积为3S B．周长为3C，面积为9S
C．周长为3C，面积为S D．周长为9C，面积为9S.
5．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确的序号是( )
A．② B．①② C．③④ D．②③④
7．“相似的图形”是( )
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
8．如图， ABCD中，AB=3，BC=5，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点F，则的值为( )
A． B． C． D．
9．如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．在一张比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为（ ）
A．3.5千米
B．35千米
C．350千米
D．3500千米
11．你认为下列属性选项中哪个才是相似图形的本质属性（ ）
A．大小不同 B．大小相同 C．形状相同 D．形状不同
12．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，在一幅比例尺为的图中，有一块三角形的绿地，测得绿地一边的小路，绿地的面积，则绿地的实际面积为 ，小路的实际长度为 ．
14．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ．
15．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为 ．
16．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有 （填序号）
17．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
三、解答题
18．如图，已知，，，，求和的长．
19．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．
（1）求证：△ABP∽△PCN；
（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；
（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．
20．在正方形ABCD中，P是CD上一动点，(与C，D不重合)，使∠BPE为直角，PE交正方形一边所在直线于点E.
(1)找出与△BPC相似的三角形.
(2)当P位于CD的中点时，与△BPC 相似的三角形周长为a，则△BPC的周长为多少？
21．已知线段a，b的长分别是，，求线段a，b的比例中项线段．
22．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
23．如图，在中，，于，作于，是中点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
24．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求: 的值；
（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．
《第九章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B D A A B D C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，
∴A． ，DF与BC不是对应边，它们可相等，比值成立，也可能不等比值不成立，选项不一定成立，不符合题意；
B．，选项不成立，不符合题意；
C．，选项不成立，不符合题意；
D．，选项成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2．C
【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．
【详解】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
3．B
【分析】题干提到能用一个条件独立的判断与相似，则务必用到隐藏条件公共角∠A，也就是说用任意的一组对应角相等可以证明与相似，或者两边对应成相等比例且夹角相等也可证明与相似.
【详解】①公共角∠A是已知的，再加上，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似；②不是公共角∠A的夹边，故不能证明出相似③是公共角∠A的夹边，可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
∴①和③都能独立判断△ADE与△ACB相似，故选B．
【点睛】本题解题关键，证明三角形相似注意运用公共角∠A的使用，本题运用到两组角对应相等的两个三角形相似和两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理.
4．B
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方判断即可．
【详解】解：△ABC的三边都扩大为原来的3 倍，
其周长为3C，面积为9S
故答案为：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可．
【详解】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①正确；
∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，
∴△AOD∽△EOB，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，
∴，
∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③正确；
∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④正确，
所以，相似三角形成立的有4对．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
6．A
【详解】①相似图形不一定是位似图形，但位似图形一定是相似图形，故此项错误；
②位似图形一定有位似中心，此项正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，但没有对应边平行(或在同一条直线上)，那么这两个图形不一定位似图形，此项错误；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此项错误．正确的为②．
故选A．
7．A
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【详解】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形．
8．B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
故选B．
9．D
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出错误的选项．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．
10．C
【详解】设甲、乙两地的实际距离为xmm，根据题意得1：5000000＝70：x，解得x＝350000000．350000000mm＝350千米，即甲乙两地的实际距离为350千米．故选C．
11．C
【分析】根据相似图形的定义，采用排除法，直接得出正确答案．
【详解】解：相似图形的形状相同，但大小不一定相同，所以形状相同是相似图形的本质属性．
故选C．
【点睛】本题考查相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
12．C
【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可.
【详解】解：A.∵，故选项A中的线段成比例；
B.∵，故选项B中的线段成比例；
C.∵，故选项C中的线段不成比例；
D.∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
13． 1000 36
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，边长比等于相似比解答即可．
【详解】解：设这个地区的实际面积是xm2，小路的实际长度为y
∵S=2.5cm2=0.00025m2，AB=1.8cm=0.018
∴，
∴x=1000，y=36
∴绿地的实际面积为1000，小路的实际长度为36．
故答案为：1000，36
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
14．
【分析】首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
【详解】解：，，
，
又，，
≌，
，
：：3，
：：4，
，
故答案为．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．113°或92°
【详解】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°．∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD．
①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=（180°﹣46°）÷2=67°，∴∠ACB=67°+46°=113°；
②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°．
故答案为113°或92°．
16．③④⑤
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．
17．4∶9
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
18．，
【分析】根据平行线分线段成比例得到，代值求解得到，进而有．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，数形结合，准确根据平行线分线段成比例定理得到线段比是解决问题的关键．
19．（1）详见解析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．
【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABP＝∠PCN＝60°，利用角的和差证明∠BAP＝∠CPN，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC是正三角形，AD是边BC上的高线，由三线合一可证△ABD≌△ACD；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因为△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）当点P在BD的中点运动到DC的中点时，利用相似三角形性质，设PB＝x，CN＝y，则3≤x≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：，解得，又利用函数图象可知：当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3，所以点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
【详解】解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，
∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，
∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，
∴△ABP∽△PCN；
（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；
理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三线合一可证△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；
（3）能，设PB＝x，CN＝y，由第（1）题可得：，
∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：
当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3；
∴点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用所学知识是解题的关键．
20．(1)与△BPC相似的图形可以是△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP；(2)①△BCP的周长是2a，②△BCP的周长是2a，③△BCP的周长是．
【分析】（1）根据题意画出图形，结合两角对应相等的两三角形相似即可找到与△BPC相似的三角形；（2）当点P位于CD中点时，可分情况讨论，若另一条直边与AD交于点E或与BC的延长线交于点E时，根据相似三角形对应周长的比等于相似比即可求得△BCP的周长
【详解】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．
(2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，
则.
∵ △PDE∽△BCP，
∴ △PDE与△BCP的周长比是1:2
∴△BCP的周长是2a．
②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
则.
∵ △PCE∽△BCP
∴△PCE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
∴
∵△BPE∽△BCP
∴△BPE与△BCP的周长比是:2，
∴△BCP的周长是．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论思想的应用是解题的关键.
21．
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义列出方程求解即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项线段为c，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
故线段a，b的比例中项线段为．
22．（1）中；（2）中两三角形不相似
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：（1）∵,
∴;
（2）∵，
∴两三角形不相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由等腰三角形“三线合一”的性质可证明出，结合题意即易证，得出，即得出结论．
（2）连接FD．由等腰三角形“三线合一”的性质可知D点为BC中点，即得出DF为中位线，得出结论，且，结合平行线分线段成比例即可得出，最后整理即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
由题意可知，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接FD．
∵，，
∴D点为BC中点，
∴DF为中位线．
∴，且，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，平行线分线段成比例．掌握相似三角形的判定条件和正确的连接辅助线是解答本题的关键．
24．（1）;（2）6.
【分析】（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.
(2)根据黄金比值是计算即可．
【详解】（1）∵
即
化简得x2+x=5
∴=-x2-x+4=-5+4=-1
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB=2()cm,
则AC＝4 2（）＝6.
【点睛】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.
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第九章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知△ABC∽△DEF，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
3．如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（ ）
A．① B．①③ C．①② D．①②③
4．已知△ABC的周长为C，面积为S；若它的三边都扩大为原来的3 倍，则下列说法中，正确的是（ ）
A．周长为3C，面积为3S B．周长为3C，面积为9S
C．周长为3C，面积为S D．周长为9C，面积为9S.
5．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确的序号是( )
A．② B．①② C．③④ D．②③④
7．“相似的图形”是( )
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
8．如图， ABCD中，AB=3，BC=5，BE平分∠ABC交AD于点E、交AC于点F，则的值为( )
A． B． C． D．
9．如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．在一张比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为（ ）
A．3.5千米
B．35千米
C．350千米
D．3500千米
11．你认为下列属性选项中哪个才是相似图形的本质属性（ ）
A．大小不同 B．大小相同 C．形状相同 D．形状不同
12．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，在一幅比例尺为的图中，有一块三角形的绿地，测得绿地一边的小路，绿地的面积，则绿地的实际面积为 ，小路的实际长度为 ．
14．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为 ．
15．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为 ．
16．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有 （填序号）
17．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
三、解答题
18．如图，已知，，，，求和的长．
19．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．
（1）求证：△ABP∽△PCN；
（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；
（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．
20．在正方形ABCD中，P是CD上一动点，(与C，D不重合)，使∠BPE为直角，PE交正方形一边所在直线于点E.
(1)找出与△BPC相似的三角形.
(2)当P位于CD的中点时，与△BPC 相似的三角形周长为a，则△BPC的周长为多少？
21．已知线段a，b的长分别是，，求线段a，b的比例中项线段．
22．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
23．如图，在中，，于，作于，是中点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
24．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求: 的值；
（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．
《第九章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B D A A B D C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，
∴A． ，DF与BC不是对应边，它们可相等，比值成立，也可能不等比值不成立，选项不一定成立，不符合题意；
B．，选项不成立，不符合题意；
C．，选项不成立，不符合题意；
D．，选项成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2．C
【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．
【详解】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
3．B
【分析】题干提到能用一个条件独立的判断与相似，则务必用到隐藏条件公共角∠A，也就是说用任意的一组对应角相等可以证明与相似，或者两边对应成相等比例且夹角相等也可证明与相似.
【详解】①公共角∠A是已知的，再加上，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似；②不是公共角∠A的夹边，故不能证明出相似③是公共角∠A的夹边，可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
∴①和③都能独立判断△ADE与△ACB相似，故选B．
【点睛】本题解题关键，证明三角形相似注意运用公共角∠A的使用，本题运用到两组角对应相等的两个三角形相似和两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理.
4．B
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方判断即可．
【详解】解：△ABC的三边都扩大为原来的3 倍，
其周长为3C，面积为9S
故答案为：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可．
【详解】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①正确；
∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，
∴△AOD∽△EOB，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，
∴，
∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③正确；
∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④正确，
所以，相似三角形成立的有4对．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
6．A
【详解】①相似图形不一定是位似图形，但位似图形一定是相似图形，故此项错误；
②位似图形一定有位似中心，此项正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，但没有对应边平行(或在同一条直线上)，那么这两个图形不一定位似图形，此项错误；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此项错误．正确的为②．
故选A．
7．A
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【详解】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形．
8．B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
故选B．
9．D
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出错误的选项．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．
10．C
【详解】设甲、乙两地的实际距离为xmm，根据题意得1：5000000＝70：x，解得x＝350000000．350000000mm＝350千米，即甲乙两地的实际距离为350千米．故选C．
11．C
【分析】根据相似图形的定义，采用排除法，直接得出正确答案．
【详解】解：相似图形的形状相同，但大小不一定相同，所以形状相同是相似图形的本质属性．
故选C．
【点睛】本题考查相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
12．C
【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可.
【详解】解：A.∵，故选项A中的线段成比例；
B.∵，故选项B中的线段成比例；
C.∵，故选项C中的线段不成比例；
D.∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
13． 1000 36
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，边长比等于相似比解答即可．
【详解】解：设这个地区的实际面积是xm2，小路的实际长度为y
∵S=2.5cm2=0.00025m2，AB=1.8cm=0.018
∴，
∴x=1000，y=36
∴绿地的实际面积为1000，小路的实际长度为36．
故答案为：1000，36
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
14．
【分析】首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
【详解】解：，，
，
又，，
≌，
，
：：3，
：：4，
，
故答案为．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．113°或92°
【详解】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°．∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD．
①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=（180°﹣46°）÷2=67°，∴∠ACB=67°+46°=113°；
②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°．
故答案为113°或92°．
16．③④⑤
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．
17．4∶9
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
考点：相似三角形的性质．
18．，
【分析】根据平行线分线段成比例得到，代值求解得到，进而有．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，数形结合，准确根据平行线分线段成比例定理得到线段比是解决问题的关键．
19．（1）详见解析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．
【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABP＝∠PCN＝60°，利用角的和差证明∠BAP＝∠CPN，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC是正三角形，AD是边BC上的高线，由三线合一可证△ABD≌△ACD；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因为△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）当点P在BD的中点运动到DC的中点时，利用相似三角形性质，设PB＝x，CN＝y，则3≤x≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：，解得，又利用函数图象可知：当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3，所以点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
【详解】解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，
∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，
∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，
∴△ABP∽△PCN；
（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；
理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三线合一可证△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；
（3）能，设PB＝x，CN＝y，由第（1）题可得：，
∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：
当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3；
∴点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用所学知识是解题的关键．
20．(1)与△BPC相似的图形可以是△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP；(2)①△BCP的周长是2a，②△BCP的周长是2a，③△BCP的周长是．
【分析】（1）根据题意画出图形，结合两角对应相等的两三角形相似即可找到与△BPC相似的三角形；（2）当点P位于CD中点时，可分情况讨论，若另一条直边与AD交于点E或与BC的延长线交于点E时，根据相似三角形对应周长的比等于相似比即可求得△BCP的周长
【详解】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．
(2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，
则.
∵ △PDE∽△BCP，
∴ △PDE与△BCP的周长比是1:2
∴△BCP的周长是2a．
②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
则.
∵ △PCE∽△BCP
∴△PCE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
∴
∵△BPE∽△BCP
∴△BPE与△BCP的周长比是:2，
∴△BCP的周长是．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论思想的应用是解题的关键.
21．
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义列出方程求解即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项线段为c，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
故线段a，b的比例中项线段为．
22．（1）中；（2）中两三角形不相似
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：（1）∵,
∴;
（2）∵，
∴两三角形不相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由等腰三角形“三线合一”的性质可证明出，结合题意即易证，得出，即得出结论．
（2）连接FD．由等腰三角形“三线合一”的性质可知D点为BC中点，即得出DF为中位线，得出结论，且，结合平行线分线段成比例即可得出，最后整理即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
由题意可知，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，连接FD．
∵，，
∴D点为BC中点，
∴DF为中位线．
∴，且，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，平行线分线段成比例．掌握相似三角形的判定条件和正确的连接辅助线是解答本题的关键．
24．（1）;（2）6.
【分析】（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.
(2)根据黄金比值是计算即可．
【详解】（1）∵
即
化简得x2+x=5
∴=-x2-x+4=-5+4=-1
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB=2()cm,
则AC＝4 2（）＝6.
【点睛】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.
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