第七章二次根式同步练习（含解析）
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第七章二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如果，则x（ ）
A． B． C． D．x取任意数
3．二次根式中的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．若a，b为有理数，且，那么的值是（ ）
A．0 B．2 C．8 D．10
5．计算（ ）．
A．2 B． C． D．
6．a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一个正方形的面积等于30，则它的边长a满足（ ）
A．4＜a＜5 B．5＜a＜6 C．6＜a＜7 D．7＜a＜8
8．如图，在中，点，分别是边，的中点，作于点，连接，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式中，与互为有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
11．（ ）
A． B． C． D．
12．计算的结果为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
二、填空题
13．写出一个能与合并的最简二次根式： ．
14．函数自变量x的取值范围是 ．
15．当时，二次根式的值是 .
16．请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ．
17．若a、b为有理数，且，则 ， ．
三、解答题
18．若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
19．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
(3)先化简，再求值：，其中．
20．计算：
(1)
(2)
21．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即．开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则．
22．下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．（1）
（2）
24．若，求的值．
《第七章二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B C B A C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据题意，，变形为，两边平方得，代入求值即可．
【详解】解：，
，
两边平方得， ，
即，
两边再平方得， ，
化简，得，
把代入，
得，
，
，
．
故选C．
【点评】本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
2．B
【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，即可得出x的取值范围.
【详解】由题意可得： ，
解得：x≥3，
故选B.
【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
3．B
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，求出即可.
【详解】要使有意义，必须且，
解得：且，
故选B.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出且是解此题的关键.
4．B
【分析】先利用完全平方公式求出，根据a，b为有理数，求出a、b的值，再利用平方差公式求出，代值计算即可．
【详解】解：∵，
又∵a，b为有理数，
∴，，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．B
【分析】根据二次根式的运算法则，先算平方再算加减．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6．C
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】∵二次根式必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
7．B
【分析】先根据正方形的面积公式可得边长为，再由52＝25，62＝36，即可求解.
【详解】正方形的面积是边长的平方，
∵面积为30，
∴边长为．
∵52＝25，62＝36，
∴，即5＜a＜6，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算,解题的关键是注意找出和30最接近的两个能完全开方的数.
8．A
【分析】本题考查了三角形的中位线，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据三角形中位线得到，，证明，最后在中运用勾股定理即可求解．
【详解】解：，分别是，的中点，
，，
，
，
，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式的运算法则逐一计算后判定即可．
【详解】A． 和不是同类二次根式，不能合并，错误，该选项不符合题意；
B． ，错误，该选项不符合题意；
C． ，正确，该选项符合题意；
D． ，错误，该选项不符合题意；
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键．
根据有理化因式的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是，
故选：C．
11．B
【分析】运用二次根式乘除法法则及加减法则计算，可求得答案．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．B
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键．
同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴能与其合并的最简二次根式可以是．
故答案为：（答案不唯一） ．
14．
【分析】由分母不为0结合被开方数为非负数可得，再解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
所以函数自变量x的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“求解函数自变量的取值范围的方法”是解本题的关键．
15．
【分析】把代入后化简即可求解.
【详解】把代入得，
.
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则把二次根式化为最简二次根式是解决问题的关键.
16．（答案不唯一）
【分析】题目主要考查二次根式的比较大小，解题的关键是根据题意得出，，然后取根式即可．
【详解】解：∵，，
∴大于1且小于2的最简二次根式为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
17． 0
【分析】先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案．
【详解】解： ∵，
∴，
∴，
∴a=0，b=．
故答案为：0;．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键．
18．a=6．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：由题意，得
7a+1=a2+7，
解得a=1（经检验，此解不成立，舍去），a=6．
∴a的值为6
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
19．(1)小亮
(2)
(3)2030
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得；
（3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
【详解】（1）解：当时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案：．
（3）解：当时，
原式
原式
．
20．(1)
(2)5
【分析】（1）根据合并同类二次根式的运算法则直接求解即可；
（2）根据完全平方差公式、二次根式的乘除运算化简求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的运算，涉及到合并同类二次根式的运算、完全平方差公式、二次根式的乘除运算，掌握二次根式相关概念及相关运算法则是解决问题的关键．
21．
【分析】利用物理知识先求解 再求解再求解 再利用勾股定理求解MC，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：当时，
即
当时，则
如图，记直角顶点为M，
而
【点睛】本题是跨学科的题，考查了正比例函数的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，二次根式的化简，理解题意，建立数学函数模型是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数大于等于零）及分式有意义的条件（分母不等于零）是解题的关键．
（1）利用二次根式有意义的条件求解即可；
（2）利用二次根式有意义的条件求解即可；
（3）利用分式有意义的条件求解即可；
（4）利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件求解即可．
【详解】（1）解：∵要使有意义，
∴，
解得：；
（2）解：要使有意义，
∴，
∴；
（3）解：∵要使有意义，
∴
∴；
（4）解：∵要使有意义，
∴，
∴．
23．（1）；（2）
【分析】（1）先进行二次根式、立方根的化简，然后进行加减合并．
（2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了实数和二次根式的加减运算，要先进行二次根式的化简，然后再进行合并运算．
24．
【分析】此题主要考查了非负数的性质以及二次根式的乘除运算．直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【详解】解：，
则，，
，，
．
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第七章二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如果，则x（ ）
A． B． C． D．x取任意数
3．二次根式中的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．若a，b为有理数，且，那么的值是（ ）
A．0 B．2 C．8 D．10
5．计算（ ）．
A．2 B． C． D．
6．a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一个正方形的面积等于30，则它的边长a满足（ ）
A．4＜a＜5 B．5＜a＜6 C．6＜a＜7 D．7＜a＜8
8．如图，在中，点，分别是边，的中点，作于点，连接，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式中，与互为有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
11．（ ）
A． B． C． D．
12．计算的结果为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
二、填空题
13．写出一个能与合并的最简二次根式： ．
14．函数自变量x的取值范围是 ．
15．当时，二次根式的值是 .
16．请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ．
17．若a、b为有理数，且，则 ， ．
三、解答题
18．若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
19．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
(3)先化简，再求值：，其中．
20．计算：
(1)
(2)
21．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即．开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则．
22．下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．（1）
（2）
24．若，求的值．
《第七章二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B C B A C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据题意，，变形为，两边平方得，代入求值即可．
【详解】解：，
，
两边平方得， ，
即，
两边再平方得， ，
化简，得，
把代入，
得，
，
，
．
故选C．
【点评】本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
2．B
【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，即可得出x的取值范围.
【详解】由题意可得： ，
解得：x≥3，
故选B.
【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
3．B
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，求出即可.
【详解】要使有意义，必须且，
解得：且，
故选B.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出且是解此题的关键.
4．B
【分析】先利用完全平方公式求出，根据a，b为有理数，求出a、b的值，再利用平方差公式求出，代值计算即可．
【详解】解：∵，
又∵a，b为有理数，
∴，，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．B
【分析】根据二次根式的运算法则，先算平方再算加减．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6．C
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】∵二次根式必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
7．B
【分析】先根据正方形的面积公式可得边长为，再由52＝25，62＝36，即可求解.
【详解】正方形的面积是边长的平方，
∵面积为30，
∴边长为．
∵52＝25，62＝36，
∴，即5＜a＜6，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算,解题的关键是注意找出和30最接近的两个能完全开方的数.
8．A
【分析】本题考查了三角形的中位线，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据三角形中位线得到，，证明，最后在中运用勾股定理即可求解．
【详解】解：，分别是，的中点，
，，
，
，
，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式的运算法则逐一计算后判定即可．
【详解】A． 和不是同类二次根式，不能合并，错误，该选项不符合题意；
B． ，错误，该选项不符合题意；
C． ，正确，该选项符合题意；
D． ，错误，该选项不符合题意；
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键．
根据有理化因式的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是，
故选：C．
11．B
【分析】运用二次根式乘除法法则及加减法则计算，可求得答案．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．B
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键．
同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴能与其合并的最简二次根式可以是．
故答案为：（答案不唯一） ．
14．
【分析】由分母不为0结合被开方数为非负数可得，再解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
所以函数自变量x的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“求解函数自变量的取值范围的方法”是解本题的关键．
15．
【分析】把代入后化简即可求解.
【详解】把代入得，
.
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则把二次根式化为最简二次根式是解决问题的关键.
16．（答案不唯一）
【分析】题目主要考查二次根式的比较大小，解题的关键是根据题意得出，，然后取根式即可．
【详解】解：∵，，
∴大于1且小于2的最简二次根式为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
17． 0
【分析】先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案．
【详解】解： ∵，
∴，
∴，
∴a=0，b=．
故答案为：0;．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键．
18．a=6．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：由题意，得
7a+1=a2+7，
解得a=1（经检验，此解不成立，舍去），a=6．
∴a的值为6
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
19．(1)小亮
(2)
(3)2030
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得；
（3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
【详解】（1）解：当时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案：．
（3）解：当时，
原式
原式
．
20．(1)
(2)5
【分析】（1）根据合并同类二次根式的运算法则直接求解即可；
（2）根据完全平方差公式、二次根式的乘除运算化简求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的运算，涉及到合并同类二次根式的运算、完全平方差公式、二次根式的乘除运算，掌握二次根式相关概念及相关运算法则是解决问题的关键．
21．
【分析】利用物理知识先求解 再求解再求解 再利用勾股定理求解MC，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：当时，
即
当时，则
如图，记直角顶点为M，
而
【点睛】本题是跨学科的题，考查了正比例函数的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，二次根式的化简，理解题意，建立数学函数模型是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数大于等于零）及分式有意义的条件（分母不等于零）是解题的关键．
（1）利用二次根式有意义的条件求解即可；
（2）利用二次根式有意义的条件求解即可；
（3）利用分式有意义的条件求解即可；
（4）利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件求解即可．
【详解】（1）解：∵要使有意义，
∴，
解得：；
（2）解：要使有意义，
∴，
∴；
（3）解：∵要使有意义，
∴
∴；
（4）解：∵要使有意义，
∴，
∴．
23．（1）；（2）
【分析】（1）先进行二次根式、立方根的化简，然后进行加减合并．
（2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了实数和二次根式的加减运算，要先进行二次根式的化简，然后再进行合并运算．
24．
【分析】此题主要考查了非负数的性质以及二次根式的乘除运算．直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【详解】解：，
则，，
，，
．
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