6.1菱形的性质与判定同步练习（含解析）

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6.1菱形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（　　）
A．20 B．24
C．28 D．40
2．菱形对角线不具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等 D．对角线互相平分
3．在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　)
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF.若，BD=4，则菱形ABCD的周长为（ )
A．4 B． C． D．28
5．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG,则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③；④BC+FG=．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为( )
A．48 B． C． D．18
7．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直
9．如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点O．有下列四个结论：
①； ②
③当时，点O到四边形四条边的距离相等；
④当时，点O到四边形四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
10．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（　　）
A．6 B．8 C．14 D．28
11．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A，B，D，已知公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是（　　）
A．3公里 B．4公里
C．5公里 D．6公里
二、填空题
13．已知有两张全等的矩形纸片．将两张纸片叠合成如图①，设矩形的长是6，宽是3.当这两张纸片叠合成如图②时，菱形的面积最大，此时菱形ABCD的面积是 ．
14．如图，中，平分，交于，交于，若，则四边形的周长是 ．
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
16．菱形ABCD中，∠A=40°，点P在以A为圆心，对角线BD长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBD的度数为 .
17．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件： ，使四边形ABCD成为菱形．
三、解答题
18．如图，已知的面积为16，．现将沿直线向右平移a个单位到的位置．
(1)当所扫过的面积为32时，求a的值；
(2)连接，当，时，试判断的形状，并说明理由．
19．如图，在中，、分别是，的中点，，延长到点F，使得，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
20．如图，在菱形中，为边的延长线，在内部作射线，且，过点D作于点F．
(1)求的度数；
(2)若，求对角线的长．
21．如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）若AB＝12cm，求菱形BDEF的周长．
22．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
24．如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．
（1）求证：四边形CDC′E是菱形；
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．
《6.1菱形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C B B A D C D
题号 11 12
答案 A B
1．A
【详解】设对角线的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴∠AOD＝90°，AO＝4，DO＝3，∴，∴周长为5×4＝20，故选A．
2．C
【详解】菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴， 故选C.
3．A
【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
连接，，
点和点分别是和的中点，
是的中位线，
．
同理可得， ，
，，
四边形是平行四边形．
， ，且，
，
平行四边形是菱形，
与互相垂直平分．
故选：A．
4．C
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【详解】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选C．
5．B
【分析】先证明△AED≌△GED得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，进而有∠AED=∠AFE=67.5°，从而证AE=EG=GF=FA，得四边形AEGF是菱形，于是判断①正确，进而∠AFG=67.5°×2=135°，从而判断③错误．在等腰直角三角形EGB中，求得AE=AB-BE=1-(2-)=-1，于是AH=AE=-1，即可得△HED的面积，判断②正确，由①的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°得CD=CF，进而得AC= ，判断④正确，从而即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG，
∴△AED≌△GED，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，①正确，
∴∠AFG=67.5°×2=135°，③错误．
根据题意可求得BD=，BG=BD-DG=BD-CD=-1，
在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1，
所以AH=AE=-1，即可得△HED的面积是 ,②正确；
由（1）的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正确．
综上，正确的结论为①②④．
故选B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
6．B
【详解】试题解析：根据菱形的面积公式：
故选B.
7．A
【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后证明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，则∠BAE=104°，∠DAE=36°，证明∠EFA=∠EAF=36°，则由三角形外角的性质可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，
∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，
∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BEA=∠BEC=56°，
∴∠BAE=104°，
∴∠DAE=36°，
∵AE=FE，
∴∠EFA=∠EAF=36°，
∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．
8．D
【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理．
①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理，进而可以解决问题；
③证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题；
④证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题．
【详解】
①∵点D，E，F分别是的边，，的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，故①错误；
②∵点D，E，F分别是的边，，的中点，
∴，，，，，
∴四边形和四边形和四边形是平行四边形，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形四条边的距离相等，故③正确；
④∵，四边形是平行四边形，
∴点O到四边形四个顶点的距离不相等，故④错误．
综上所述：正确的是②③，
故选：C．
10．D
【分析】首先根据题意求出的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
菱形的周长为24，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积三角形的面积，
故选D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出的值．
11．A
【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，，易得解．
【详解】解：根据菱形的对角相等得．
，
．
根据折叠得．
，
，
．
．
故选：A．
【点睛】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．
12．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键．
根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可求解．
【详解】解：如图，连接，作，；
公里，
四边形是菱形，
，
公里．
故选：B．
13．
【分析】设BC=x，则CG=6-x，CD=BC=x，在Rt△CDG中，由勾股定理得出x，再求得面积．
【详解】设BC=x，则CG=6-x，CD=BC=x，
在Rt△CDG中，CG2+DG2=CD2，
∴（6-x）2+32=x2，
解得x= ，
∴S=BC DG=．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和矩形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键，是中考的常见题型.
14．
【分析】本题考查菱形的知识，解题的关键是根据，则四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的性质，则，最后根据菱形的判定，即可．
【详解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，
∴四边形的周长为：，
故答案为：．
15．（﹣5，4）
【分析】首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标.
【详解】解：由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2
由菱形邻边相等可得AD=AB=5
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5
所以C（-5,4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是运用勾股定理求出OD的长．
16．110°或30°
【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
【详解】如图，当点P与D点在直线AB的同侧时．连接AP．
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=AB
∵∠BAD=40°，
∴∠ABD=∠ADB=70°，
∵AD=AB=BP，BD=AP，BA=AB，
∴△ABD≌△BAP，
∴∠ABP=∠BAD=40°，
∴∠PBD=∠ABD-∠ABP=30°，
当点P与D点在直线AB的异侧时，同法可得∠ABP′=40°，
∴∠P′BD=40°+70°=110°，
故答案为30°或110°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．AB=AD.
【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
【详解】添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为AB=AD．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
18．(1)4
(2)等腰三角形
【分析】（1）设边上的高为h，根据的面积为16，，得到，解得．根据梯形面积公式得，解得．
（2）根据，得证四边形是平行四边形，结合题目给定的已知条件，证明四边形是菱形，得到,继而判定是等腰三角形．本题考查了平移，菱形的判定和性质，熟练掌握平移规律，菱形的判定是解题的关键．
【详解】（1）设边上的高为h，
∵的面积为16，，
∴，
解得．
根据题意，得，
解得．
（2）如图，∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴,
∴是等腰三角形．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的中位线定理，推出，进而推出，即可得证；
（2）先证明四边形为菱形，得到为等边三角形，进而推出为含的直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵D，E分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵E是的中点，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形的中位线，平行四边形的判定，菱形的判定和性质．熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据菱形的性质即可解答；
（2）连接交于点，先证，再证，得，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
，
；
（2）解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
21．（1）证明见解析；（2）24cm.
【分析】（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可．
（2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了．
【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，
∴DE∥AB，EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
又∵DE=AB，EF=BC，且AB=BC，
∴DE=EF，
∴四边形BDEF是菱形；
（2）解：∵AB=12cm，F为AB中点，
∴BF=6cm，
∴菱形BDEF的周长为6×4=24cm．
【点睛】本题的关键是判断四边形BDEF是菱形．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
22．（1）证明见解析（2）-1
【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
23．（1）能，理由详见解析；（2）当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形
【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t=2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可
【详解】解：(1)能．
理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60－4t＝2t，解得t＝10.
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形；
(2)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，
解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60－4t＝4t，解得t＝；
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，
D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）见解析；（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形，理由见解析
【分析】（1）依题意∠C′DE=∠CDE，CD=C′D，CE=C′E，又AD∥BC，所以∠C′DE=∠DEC，∠DEC=∠CDE，即CD=CE，则四边相等，可得四边形CDC′E是菱形；
（2）四边形ABED为平行四边形，由题意易证明AD=BE，又AD∥BC，可得AD∥BE，所以四边形ABED为平行四边形可证明AD与BE平行且相等．
【详解】解：
（1）证明：根据题意可得：
CD=C′D，∠C′DE=∠CDE，CE=C′E，
∵AD∥BC，
∴∠C′DE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∴CD=C′D=C′E=CE，
∴四边形CDC′E为菱形．
（2）解：当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形，
理由：（1）知CE=CD，
又∵BC=CD+AD，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握翻折变换，平行四边形的判定，菱形的判定是解题的关键.
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