6.2矩形的性质与判定同步练习（含解析）

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6.2矩形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大
2．有一个矩形，它的相邻两边长分别为1和2，则它的对角线长为（ ）
A． B． C．3 D．2
3．如图，一架6米长的梯子斜靠在竖直的墙上，在地面上，为的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
4．如图，矩形中，，．是边上一动点，是边的中点．将沿折叠到，则的最小值为（ ）．
A．1 B．1．5 C．2 D．2．5
5．如图，矩形的对角线与相交于点，，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3.5 D．3
6．如图，在矩形中，对角线、相交于点O．已知，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若，则的度数为（ ）
A．26° B．48° C．52° D．64°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝1，CD，则BE＝（　　）
A． B．2 C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）
A． B．+1 C．+2 D．+3
10．如图，在矩形中，，，点、、、分别在矩形的各边上，，，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
11．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
12．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点和A点重合，则EB的长是( )
A．3 B．4 C． D．5
二、填空题
13．在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则 ．
14．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ．
15．如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为 ．
16．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ．
17．如图，在矩形中，，，为中点，为上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
19．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）试判断线段BD与CD的大小关系；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；
（3）若△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由．
21．如图，在中，，D为的中点，E，F分别是上的点，且．求证：

(1)；
(2)．
22．如图，两根直立的竹竿相距6m，高分别为4m和7m，求两竹竿顶端间的距离AD．
23．如图，在矩形ABCD中，点E是线段AD上的一点，且BE＝BC，连接CE，设．
(1)尺规作图：将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BG，连接CG交BE于点H；
(2)取BC的中点M，连接MH，求证：．
24．如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标为．点、分别在、边上，．沿直线将翻折，点落在点处．则点的坐标．
《6.2矩形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B C C B D D
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的特征是解决问题的关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵，点M为梯子的中点，
∴，
当梯子底端向左水平滑动到位置时，
∵，，
∴，
∴滑动过程中不变，
故选：A．
2．B
【分析】根据矩形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BD＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质及勾股定理，关键是根据矩形的每个角都是90°解答．
3．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果．
【详解】解：，M为的中点，，
∴是的中线，
，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴的长度也不变，
故选：C．
4．B
【分析】连接,当三点共线时，的值最小.利用勾股定理可得．根据折叠可得，利用即可求出.
【详解】解：连接．
在中，可得．
由折叠，．
∵．
∴当三点共线时，的值最小，此时.
故答案为B．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
5．B
【分析】根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，然后根据矩形的对角线相等的性质求出AC的长，因为矩形的对角线相互平分即可求出OC的长.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2AB=8，
故选B.
【点睛】本题考查矩形的对角线相等且相互平分.求出对角线的长度是解题的关键.
6．C
【分析】
本题考查矩形的性质，含角的直角三角形的性质．根据矩形的性质可得是直角三角形，，从而在求出，再根据矩形的对角线相等即可解答．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴在矩形中，．
故选：C．
7．C
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠A＝∠DCA＝26°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．
8．B
【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得斜边AB=2CD=2，利用三角形中位线定理求得BC=2DE=2；则在Rt△ABC中由勾股定理求得线段AC=4，最后，在Rt△BCE中，利用勾股定理来求线段BE的长度．
【详解】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，CD，
∴AB＝2CD＝2．
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE//BC．
∵点D是斜边AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，
又∵DE＝1，∴BC＝2，
∴AC4．
∴CEAC＝2，
∴在Rt△BCE中，BE2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9．D
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，
∴AB=2CD=．
∴AC2+BC2=5
又Rt△ABC的面积为1，
∴AC BC=1，
则AC BC=2．
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC BC=9，
∴AC+BC=3（舍去负值），
∴AC+BC+AB=3+，
即△ABC的周长是+3．
故选D．
10．D
【分析】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
根据勾股定理,AC=BD= ==，
∵EF∥AC∥HG，
∴=，
∵EH∥BD∥FG,
∴=，
∴+=+=1，
∴EF+EH=AC=，
∵EF∥HG,EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2(EF+EH)=2.
故选：D.
【点睛】本题考查了矩形的性质与勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与勾股定理的运算法则.
11．C
【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可．
【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，
∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意；
对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意；
对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意；
对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意；
故选：C．
12．A
【详解】设BE=x，则AE=EC=8-x，在RT△ABE中运用勾股定理可解出x的值，继而可得出EB的长度．
解：设BE=x，则AE=EC=8-x，
在RT△ABE中，AB2+BE2=AE2，即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
即EB的长为3．
故选A.
本题考查了翻折变换的知识，解答本题需要在RT△ABE中利用勾股定理，关键是根据翻折的性质得到AE=EC这个条件．
13．1或9
【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．解题的关键是根据题意分情况讨论．
由勾股定理可以求出的长，设，在直角三角形中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明，再利用勾股定理即可．
【详解】解：根据题意得：，
分情况讨论：
当点在线段上时，
根据折叠性质：，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
当点在线段的延长线上时，
根据折叠性质：，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
综上：的长为1或9，
故答案为：1或9．
14．2或
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：，，
，
当点落在上时，
将沿直线折叠，
，
，
，
；
当点落在上时，如图2，连接，过点作于，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
15．
【分析】根据题意求得第二、三个矩形的面积，找到规律，依此类推，第n个矩形的面积为，而第1个菱形的面积为第1个矩形面积的一半，据此即可求解．
【详解】解：∵已知第一个矩形的面积为6；
第二个矩形的面积为原来的；
第三个矩形的面积是
…
∴故第n个矩形的面积为：
由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，
则第n个菱形的面积为第n个矩形的面积的一半，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
16．45
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵E是斜边的中点，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时的值最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可
【详解】解：作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时的值最小，EF=MF；EC=MC，∴EF+AF=AM
∵，为中点，
∴BE=CE=2，∴BM=6；
在矩形中，，
∴∠B=90°，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．
18．证明过程见解析
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°
∵EF⊥DF
∴∠EFD=90°
∴∠EFB+∠CFD=90°
∵∠EFB+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠CFD
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD（ASA）
∴BF=CD．
【点睛】考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质
19．解：（1）AE∥BF，QE=QF;（2）QE=QF，证明见解析；（3）成立，证明见解析.
【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可．
（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】（1）如图，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．
在△BFQ和△AEQ中，，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
（2）QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在△FBQ和△DAQ中，
∵，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）．
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角△DEF斜边上的中线．
∴QE=QF=QD，即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D．
在△AQE和△BQD中，
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD．
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线．
∴QE=QF．
20．（1）BD=CD；（2）矩形；（3）菱形
【详解】试题分析：（1）根据平行线的性质可得∠FAE=∠CDE，再结合∠AEF=∠DEC，AE=DE，即可证得△AEF≌△DEF，从而可以证得结论；
（2）由AF∥BC，AF=BD可证得四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可证得四边形AFBD是矩形；
（3）先根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半可证得BD=AD，再结合四边形AFBD是平行四边形可证得四边形AFBD是菱形．
（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠CDE，
∵∠AEF=∠DEC，AE=DE，
∴△AEF≌△DEF，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）∵AF∥BC，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴四边形AFBD是矩形；
（3）∵∠BAC=90°，BD=CD，
∴BD=AD（直角三角形斜边的中线是斜边的一半）．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．
考点：平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形的判定和性质
点评：特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）连接，利用等腰三角形的性质证，直角三角形性质得，再证明，即可由全等三角形性质得出结论；
（2）由，得，再由等腰三角形的性质证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，

∵，，D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知：，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．
【分析】过点A作 交CD于点E，则四边形ABCE是矩形，求出AE，DE的长，即可利用勾股定理求出AD的长．
【详解】解：过点A作 交CD于点E，则四边形ABCE是矩形，
∴AE=BC=6m，CE=AB=4m，∠AED=∠AEC=90°，
∴DE=DC-CE=3m，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要作∠ABG=∠CBE交以B为圆心，AB为半径的圆于G即为所求；
（2）如图所示，过点C作CF⊥BE于F，先证明△CEF≌△CED得到CF=CD，然后证明△BHG≌△FHC得到GH=CH，即H为CG的中点，则MH为△BCG的中位线，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，过点C作CF⊥BE于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，，
∴∠CED=∠BCE，∠CFE=∠D=90°，
∵BE=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BEC=∠DEC，即∠CEF=∠CED，
又∵CE=CE，
∴△CEF≌△CED（AAS），
∴CF=CD，
由旋转的性质可得BG=BA=CD=CF，∠，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABG+∠ABE=∠ABE+∠CBE=90°=∠CFH，
又∵∠BHG=∠FHC，
∴△BHG≌△FHC（AAS），
∴GH=CH，即H为CG的中点，
又∵M为BC的中点，
∴MH为△BCG的中位线，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，三角形中位线定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24．
【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
由四边形是矩形，，得是等腰直角三角形，由折叠的性质，得，又由点的坐标为，即可求得点的坐标．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
沿直线将翻折，点落在点处，
，，，，
，
点的坐标为，
∴，，
∴，，
点的坐标为．
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