6.3正方形的性质与判定同步练习（含解析）

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6.3正方形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在轴、轴的正半轴上，点D在OA上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
3．将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形纸片的边长为12，E、G分别是、边上的点，连接、把正方形纸片沿折叠，使点C落在上的一点F，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A． B． C． D．
6．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
7．如图，分别是正方形的边上的点，且，相交于点，下列结论：①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．35
9．如图，正方形的边长为2，为对角线上一动点，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
11．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
12．如图，边长分别为和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则
A． B． C．2 D．1
二、填空题
13．边长为1的正方形的对角线长是 ．
14．如图所示，在中，，，，、的平分线交于点，于，于，则四边形的面积是 ．

15．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果cm，那么EF＋EG的长为 ．
16．（1）定义法：有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形是正方形．
（2）矩形法：一组邻边相等的 是正方形
（3）菱形法：一个角为直角的 是正方形
17．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
三、解答题
18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
(3)如图3中是不是直角？请说明理由．
19．如图，在中，边上的高线长与边的长相等．你能把割补成一个正方形吗？若能，请说明方法及理由．
20．如图，正方形和正方形有公共顶点D．
(1)如图1，连接和，直接写出和的数量及位置关系 ；
(2)如图2，连接，M为中点，连接、，探究、的数量及位置关系，并说明理由；
21．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD．延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC．连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证：AD＝AF；
(2)求证：BD＝EF；
(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．
22．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．
(1)如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
(2)如图2，当点P在线段OC上时（点P不与点O、C重合），（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
(3)如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
23．【问题情境】
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点，并绕点旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点，连结、．
【操作发现】
（1）如图1，若．则　 　°，　 　°．
【拓展应用】
（2）如图2，当直线在正方形的外部时
①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
②线段、、之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由．
24．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．
(1)求证：；
(2)求的面积；
(3)在的条件下，求周长的最小值．
《6.3正方形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A C D D B A B
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】要求和的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：连接，交于，则就是和的最小值，
∵再直角中，，，，
∴，
∴，
∴和的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了最短路径问题，涉及了正方形的性质、轴对称、勾股定理等知识，解题关键是对这些知识的理解与综合应用．
2．B
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：∵∠ACB=∠EFD=30°，
∴AC∥DF，
∵AC=DF，
∴四边形AFDC是平行四边形，
选项A正确；
当E是BC中点时,无法证明∠ACD=90°，
选项B错误；
B、E重合时，易证FA=FD，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形，
选项C正确；
当四边相等时,∠AFD=60°,∠FAC=120°，
∴四边形AFDC不可能是正方形，
选项D正确.
故选:B.
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定.熟练应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进行证明是解题的关键.
3．A
【分析】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．
【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为．
故选：A．
4．A
【分析】由折叠及性质可知，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后再中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长．
【详解】解：设与交于H，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中， ，
∴，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能灵活运用正方形的性质和折叠的性质．
5．C
【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．
【详解】解：如图所示，点、、、分别是四边形边、、、的中点，
，
四边形是平行四边形，
A、对角线互相平分，四边形仍是平行四边形，故不符合题意；
B、对角线互相垂直，则有，可推出四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形是菱形，故不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形是正方形，故符合题意；
故选D．
7．D
【分析】根据正方形的性质，，可证，可证结论①④；根据，，，可证结论⑤；根据，可证结论③；假设，在中，，在根据正方形的性质可证结论②．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∴，故④正确；
∴，，，
∵，，
∴，故⑤正确；
∵，
∴，
∴一定成立，故③正确；
假设，
∵（已证），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
∴假设不成立，，故②错误；
故正确的有：①③④⑤．
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形，全等三角形的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．B
【分析】先根据正方形的边长可求出的长，再根据四边形EFGH的面积等于正方形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积即可得．
【详解】∵正方形ABCD的边长为7，
四边形ABCD是正方形
∴四边形EFGH的面积为
故选：B
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的面积公式，熟记正方形的性质是解题关键．
9．A
【分析】先证明△ADE≌△CDP（SAS），求出AE＝CP，可得当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值，求出DE的最小值为，即可得出答案．
【详解】解：正方形的边长为2，
，，
，
中，，，
，
在和中，，
（SAS），
，
，
∴当时，DE有最小值，此时EP有最小值，的周长有最小值，
又，，
，
中，，，
，
周长的最小值．
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识．分析得出当DE⊥AC时，△CEP的周长最小是解题的关键．
10．B
【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
11．C
【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG＝90°,便可判断①的正误;
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF,得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EF∥CD，便可判断②的正误;
③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误;
④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误.
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CAD＝∠BDC＝45°,
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,
∴∠DAE＝∠CDF,
∵∠ADF+∠CDF＝90°,
∴∠DAF+∠ADG＝90°,
∴∠AGD＝90°,即AG⊥DF,
故①结论正确;
②在△AGF和△AGD中,
,
∴△AGF≌△AGD（ASA）,
∴GF＝GD,
∵AG⊥DF,
∴EF＝ED,
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF,
∴EF∥CD∥AB,
故②正确;
③∵△AGF≌△AGD（ASA）,
∴AD＝AF＝AB,
故③正确;
④∵EF∥CD,
∴∠OEF＝∠ODC＝45°,
∵∠COD＝90°,
∴EF＝ED＝,
∴,
∴AB＝CD＝（+1）EF,
故④错误.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质的应用,结合三角形全等的判定与性质进行证明求解.
12．B
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
【详解】∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°-90°-45°=45°，
∴∠DTG=180°-∠GDT-∠CGE=180°-45°-45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8-4=4，
∵，GT=DT，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．
13．
【分析】根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果．
【详解】解：由题意得，边长为1的正方形的对角线长是
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握正方形的四条边相等，四个角均是直角．
14．1
【分析】过点作于，根据矩形的判定可得四边形为矩形，根据角平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，设，，根据勾股定理求得，推得，即可求得，即可求解．
【详解】解：过点作于，

∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵、的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为正方形，
设，则，
在中，，
∴，
，
∴，
即，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，勾股定理，解题关键在于作辅助线，利用角平分线的性质判断线段相等．
15．5cm
【详解】如图，
∵AB＝5，AB＝BC，
∴AC＝10，
∵EF⊥AC，GE⊥BD，
∴∠OGE=∠OFE=90°；
又∵AC⊥BD，
∴四边形OGEF是矩形；
∴EG=OF，
又∵∠DAO=∠FCE=45°，
∴EF=CF；
∵OF+CF=OC=AC=5，
∴GE+EF=5．
故答案为5cm．
16． 相等 直角 矩形 菱形
【解析】略
17．．
【分析】由图可得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小，根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果．
【详解】解：由题意得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小．
所以线段DH长度的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形中的动点问题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大．
18．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)是直角
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，正方形的性质．解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度．
（1）根据面积为10的正方形的边长为结合勾股定理和正方形的性质画图即可；
（2）由勾股定理画图即可；
（3）由勾股定理求出各边长，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】（1）解：面积为10的正方形的边长为，
∵，
∴如图1所示的四边形即为所求；
（2）解：∵，，
∴如图2所示的三角形即为所求；
（3）解：是直角，理由如下：
如图3： ，
，
，
∵，即，
∴为直角三角形，且．
19．能，方法和理由见解析
【分析】过点作于，把沿着平移到，可得四边形是正方形；再根据正方形的判定定理进行证明即可．
【详解】
过点作于，
把沿着平移到，
则四边形是正方形；
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
∴四边形是矩形，
在中，边上的高线长与边的长相等，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定定理，平移的性质，能够正确作图是解题的关键．
20．(1)，；
(2)且，理由见解析
【分析】（1）如图，延长交于，交于Q，证明，可得到和的关系；
（2）延长至H，使，延长交于，再证明，最后由中位线得到结论；
【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
如图，延长交于，交于Q，
∵，
∴，
∴，
∴且．
（2）且，理由如下：
延长至点H，使得，连接，延长交于，则，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∵点M，D分别是，的中点，
∴，，
∴，且．
【点睛】本题主要考查了正方形、三角形全等、三角形的中位线，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质，对于想象能力不太好的同学，可以先画出对应的图形，然后根据图形特点逐步解题．
21．(1) (2)证明见解析；（3）四边形ABNE是正方形．理由见解析.
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，证出BF=CD，由SAS证明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；
（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由SAS证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；
（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四边形ABNE是正方形．
【详解】(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABF＝135°.
∵∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝135°.
∴∠ABF＝∠ACD.
∵CB＝CD，CB＝BF，
∴BF＝CD.
在△ABF和△ACD中，
∴△ABF≌△ACD，
∴AD＝AF；
(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，
∴∠FAB＝∠DAC.
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠BAD.
∵AB＝AC，AC＝AE，
∴AB＝AE.
在△AEF和△ABD中，
∴△AEF≌△ABD.
∴BD＝EF.
(3)解：四边形ABNE是正方形．理由：
∵CD＝CB，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝45°.
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝90°.
∴∠ABN＝90°.
由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，
∴∠AEF＝∠ABD＝90°.
∴四边形ABNE是矩形．
又∵AE＝AB，
∴矩形ABNE是正方形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定、矩形的判定；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．(1)PE=PD，PE⊥PD；
(2)（1）中结论还成立，理由见解析
(3)（1）中结论还成立
【分析】（1）根据点P在线段AO上时，利用SAS证明△ABP≌△ADP，推出BP=DP，得到PE=PD；再利用HL证明Rt△PNE≌Rt△PMD，据此可证明PE⊥PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，利用三角形内角和定理证明PE⊥PD；
（3）利用（2）中证明思路即可得出答案．
【详解】（1）解：PE=PD，PE⊥PD；
当点P在线段AO上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴BP=DP，
∵PB=PE，
∴PE=PD，
过点P作PM⊥CD于点M，作PN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCP=90°，∠BCP=∠DCP=45°，
∴四边形PNCM是矩形，
∵∠BCP=∠DCP=45°=∠CNP，
∴PN=CN，
∴四边形PNCM是正方形，
∴PN=PM，∠MPN=90°，
∵PE=PD，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD(HL)，
∴∠DPM=∠EPN，
∵∠MPN=90°，
∴∠DPE=90°，
故PE⊥PD，
PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；
（2）解：（1）中结论还成立，理由如下：
如图．
同理可证△ABP≌△ADP (SAS)，
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
∵△ADP≌△ABP，
∴∠ADP=∠ABP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵BP=PE，
∴∠CBP=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
（3）解：（1）中结论还成立，如图．
同理可证△ABP≌△ADP (SAS)，
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
∵△ADP≌△ABP，
∴∠ADP=∠ABP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵BP=PE，
∴∠CBP=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．
23．（1）65，45；（2）①是，；②，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）①如图2中，连接BD，BF，证明△BEF是等腰直角三角形即可． ②结论：EF2+DF2=2AB2．利用勾股定理解决问题即可．
【详解】解：（1）如图1中，
∵B，E关于PQ对称，
∴∠PAB=∠PAE=20°，AB=AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=AE，∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°-40°=50°，
∴∠ADE=∠AED= （180°-50°）=65°，
∴∠AEB=∠ABE=（180°-40°）=70°，
∴∠BEF=180°-70°-65°=45°，
故答案为：65，45．
（2）①的度数是一个定值
如图2中，连接，，与相交于点，
由对称知，，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴
②．理由如下：
∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形性质证明，根据对折性质得到，从而证明，根据“斜边，直角边”即可证明；
（2）先求出，进而得到，设，则，
根据得到，根据勾股定理求出，从而得到，即可得出，最后求出的面积，根据即可求解；
（3）根据，可得的周长，再根据当点A、F、C三点共线是，最小，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵沿对折至，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：．
（3）∵沿对折至，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，
如图：当点A、F、C三点共线是，最小，
根据勾股定理得：，
∴，
∴的周长最小值．
【点睛】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，熟知相关定理，根据已知条件灵活应用是解题关键．
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