7.2二次根式的性质同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 7.2二次根式的性质同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 662.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-18 15:20:09 | ||
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文档简介
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7.2二次根式的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知，则代数式化简后为（ ）
A． B． C． D．
4．把根号外的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．下列化简中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
6．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
7．若，，则的值是（ ）
A． B．－2 C．±2 D．
8．如果= -1，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a≥b D．b≥a
9．下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．若x=-7，则等于( )
A．-3 B．3 C．1 D．-1
12．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若，则a的取值范围是 ．
14．实数在数轴上的位置如图所示，化简= ．
15．计算： ．
16．已知，化简 ．
17．已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为 ．
三、解答题
18．实数在数轴上的位置如图所示：化简
19．（1）；（2）.
20．如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．
(1)线段的长为_________；
(2)若F为的中点，则线段的长为_________．
21．化简：
（1）； （2）．
22．已知：如图，四边形中，，，，，,求BC的长．
23．化简：
（1） ；
（2）（x＞0）．
24．如图，你能推测出和a有什么关系吗？
《7.2二次根式的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C D A A B D D
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据二次根式的性质，逐一判断各个选项，即可．
【详解】A. ，故该选项不成立；
B. ，故该选项不成立；
C. ，故该选项不成立；
D. ，故该选项成立．
故选：D
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键．
2．C
【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值
【详解】＝.
故选C.
【点睛】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数．
3．B
【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．先根据判断出和的符号，再进行计算即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
4．C
【分析】如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
【详解】解：由二次根式的意义可知，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
5．D
【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可.
【详解】A. ，故不正确；
B. ，故不正确；
C. 当x<0，y<0时，，故不正确；
D. ，正确；
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.
6．A
【分析】二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
【详解】解：由题意得 2＜a＜4，
∴9-2a＞0，3-2a＜0
=9-2a-（2a-3）
=9-2a-2a+3
=12-4a，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，熟练掌握化简二次根式是解题的关键．
7．A
【分析】利用完全平方公式的变形公式，即可算出的值，根据来判断与的大小，即可算出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
即
故选：A．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值．
8．B
【详解】∵=-1,
∴,
∴,
∵b-a＞0，
∴b＞a，
则a与b的大小关系为：b＞a．
故选B．
【点睛】运用了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
9．D
【详解】A项，当a＜－4时，与无意义，故A不成立；B项，当a＜0，b＜0时，与无意义，故B不成立；C项，当m＋n＜0时，无意义，故C不成立；易知D项成立．
本题的易错之处是忽视＝·成立的前提是a≥0，b≥0，若a＜0，b＜0，则＝·．
10．D
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
【详解】解：A. ,本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. =，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
11．C
【分析】把x= -7代入代数式，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．
【详解】x= -7时，=,故选C.
【点睛】本题考查了绝对值的性质及二次根式的定义，熟记概念并准确化简是解题的关键．
12．B
【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项正确；
C、，所以C选项错误；
D、，所以D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：．
14．1
【详解】试题分析：由图可得，1＜a＜2，则a﹣2＜0，a﹣1＞0，化简=2﹣a+a﹣1=1．故答案为1．
考点：1．二次根式的性质与化简；2．实数与数轴．
15．4
【分析】先计算有理数的乘方，再进行二次根式的化简，
本题考查了，有理数的乘方，二次根式的化简，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：，
故答案为：4．
16．
【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可
【详解】，
原式
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
17．﹣3a
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．
【详解】∵a＜0，
∴|﹣2a|＝|﹣a﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a．
【点睛】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．
18．0
【分析】根据数轴确定、的符号以及绝对值的大小，根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】如图所示：
则
．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及数轴的知识，掌握二次根式的性质、正确得出各项符号是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）先将被开方数写成乘积的形式，再利用二次根式的积的性质进行化简；（2）先将带分数写成假分数，再利用二次根式商的性质进行化简.
【详解】（1）.
（2）.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用积的算术平方根的性质进行化简时，要注意被开方数一宽是乘积的形式，一定不要出现“”的错误.
20．(1)2
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键；
（1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解；
（2）作辅助线，构造中位线求解即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
∴在中，，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长到点G，使，连接，过点E作于点H，
为的中点，A为的中点，
为的中位线，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
21．（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的性质即可化简求解．
【详解】解：（1）；
（2）
．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是是熟知其运算法则．
22．
【分析】根据平行线的性质可得∠BAD=120°，根据垂直的定义可得∠BAC=∠D=90°，从而得到∠DAC=30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得AC的长，解直角三角形即可得到BC的长．
【详解】解：∵，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，
∵，，
∴∠BAC=∠D=90°，
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-90°=30°，
∴AC=2CD=2×1=2(cm)，
在Rt△ABC中，
（负根舍去）．
【点睛】本题考查了平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简等知识．熟记各性质是解题的关键．
23．(1)； (2) ；
【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解；
（2）直接进行二次根式的化简即可．
【详解】解：（1）原式=；
（2）原式=．
24．
【分析】根据图象可知，这是一个边长为的正方形，其面积为，根据正方形的面积公式：正方形的面积=边长的平方，即可求解．
【详解】根据图象可知，这是一个边长为的正方形，其面积为，
．
【点睛】本题考查了利用图形的面积推导出二次根式的性质，能够利用数形结合的思想是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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7.2二次根式的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知，则代数式化简后为（ ）
A． B． C． D．
4．把根号外的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．下列化简中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
6．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
7．若，，则的值是（ ）
A． B．－2 C．±2 D．
8．如果= -1，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a≥b D．b≥a
9．下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．若x=-7，则等于( )
A．-3 B．3 C．1 D．-1
12．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若，则a的取值范围是 ．
14．实数在数轴上的位置如图所示，化简= ．
15．计算： ．
16．已知，化简 ．
17．已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为 ．
三、解答题
18．实数在数轴上的位置如图所示：化简
19．（1）；（2）.
20．如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．
(1)线段的长为_________；
(2)若F为的中点，则线段的长为_________．
21．化简：
（1）； （2）．
22．已知：如图，四边形中，，，，，,求BC的长．
23．化简：
（1） ；
（2）（x＞0）．
24．如图，你能推测出和a有什么关系吗？
《7.2二次根式的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C D A A B D D
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据二次根式的性质，逐一判断各个选项，即可．
【详解】A. ，故该选项不成立；
B. ，故该选项不成立；
C. ，故该选项不成立；
D. ，故该选项成立．
故选：D
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键．
2．C
【分析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值
【详解】＝.
故选C.
【点睛】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数．
3．B
【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．先根据判断出和的符号，再进行计算即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
4．C
【分析】如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
【详解】解：由二次根式的意义可知，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
5．D
【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可.
【详解】A. ，故不正确；
B. ，故不正确；
C. 当x<0，y<0时，，故不正确；
D. ，正确；
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.
6．A
【分析】二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
【详解】解：由题意得 2＜a＜4，
∴9-2a＞0，3-2a＜0
=9-2a-（2a-3）
=9-2a-2a+3
=12-4a，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，熟练掌握化简二次根式是解题的关键．
7．A
【分析】利用完全平方公式的变形公式，即可算出的值，根据来判断与的大小，即可算出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
即
故选：A．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值．
8．B
【详解】∵=-1,
∴,
∴,
∵b-a＞0，
∴b＞a，
则a与b的大小关系为：b＞a．
故选B．
【点睛】运用了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
9．D
【详解】A项，当a＜－4时，与无意义，故A不成立；B项，当a＜0，b＜0时，与无意义，故B不成立；C项，当m＋n＜0时，无意义，故C不成立；易知D项成立．
本题的易错之处是忽视＝·成立的前提是a≥0，b≥0，若a＜0，b＜0，则＝·．
10．D
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
【详解】解：A. ,本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. =，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
11．C
【分析】把x= -7代入代数式，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．
【详解】x= -7时，=,故选C.
【点睛】本题考查了绝对值的性质及二次根式的定义，熟记概念并准确化简是解题的关键．
12．B
【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项正确；
C、，所以C选项错误；
D、，所以D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：．
14．1
【详解】试题分析：由图可得，1＜a＜2，则a﹣2＜0，a﹣1＞0，化简=2﹣a+a﹣1=1．故答案为1．
考点：1．二次根式的性质与化简；2．实数与数轴．
15．4
【分析】先计算有理数的乘方，再进行二次根式的化简，
本题考查了，有理数的乘方，二次根式的化简，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：，
故答案为：4．
16．
【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可
【详解】，
原式
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
17．﹣3a
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．
【详解】∵a＜0，
∴|﹣2a|＝|﹣a﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a．
【点睛】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．
18．0
【分析】根据数轴确定、的符号以及绝对值的大小，根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】如图所示：
则
．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及数轴的知识，掌握二次根式的性质、正确得出各项符号是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）先将被开方数写成乘积的形式，再利用二次根式的积的性质进行化简；（2）先将带分数写成假分数，再利用二次根式商的性质进行化简.
【详解】（1）.
（2）.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用积的算术平方根的性质进行化简时，要注意被开方数一宽是乘积的形式，一定不要出现“”的错误.
20．(1)2
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键；
（1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解；
（2）作辅助线，构造中位线求解即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
∴在中，，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长到点G，使，连接，过点E作于点H，
为的中点，A为的中点，
为的中位线，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
21．（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的性质即可化简求解．
【详解】解：（1）；
（2）
．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是是熟知其运算法则．
22．
【分析】根据平行线的性质可得∠BAD=120°，根据垂直的定义可得∠BAC=∠D=90°，从而得到∠DAC=30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得AC的长，解直角三角形即可得到BC的长．
【详解】解：∵，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，
∵，，
∴∠BAC=∠D=90°，
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-90°=30°，
∴AC=2CD=2×1=2(cm)，
在Rt△ABC中，
（负根舍去）．
【点睛】本题考查了平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简等知识．熟记各性质是解题的关键．
23．(1)； (2) ；
【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后求解；
（2）直接进行二次根式的化简即可．
【详解】解：（1）原式=；
（2）原式=．
24．
【分析】根据图象可知，这是一个边长为的正方形，其面积为，根据正方形的面积公式：正方形的面积=边长的平方，即可求解．
【详解】根据图象可知，这是一个边长为的正方形，其面积为，
．
【点睛】本题考查了利用图形的面积推导出二次根式的性质，能够利用数形结合的思想是解题的关键．
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