7.3二次根式的加减同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 7.3二次根式的加减同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 729.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-18 15:25:16 | ||
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文档简介
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7.3二次根式的加减
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算-+的结果是 ( )
A．5 B．3 C．3 D．9
2．下列计算正确的是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．①② B．②④ C．③④ D．④⑤
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果是( )
A． B． C． D．
5．已知长方形ABCD中，AB=2–，BC=+1，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．4– C．5–4 D．5+4
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
8．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
11．计算的结果估计在（ ）
A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间
12．如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．观察下列等式：
①；
②；
③；……
计算： ．
14．分母有理化： ．
15．化简的结果是 ．
16．＝ （a≠0）， ， ．
17．若最简二次根式与能进行合并，则a＝ ．
三、解答题
18．在中，，，．求的周长和面积．
19．先化简，再求值：
，其中．
20．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝()2+2+1＝(+1)2；
5+2＝2+2+3＝()2+2××+()2＝(+)2
(1)请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
(2)若a+4＝(m+n)2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=60°，∠BCD=30°，以AD，AB，BC向形外作正方形，它们面积分别为S1，S2，S3，若DC=2AB，S2=27，求，．
22．已知二次根式–
（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
（2）已知–为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．
23．已知，，
求：（1）；
（2）．
24．已知 ， ，分别求下列分式的值：
(1)；
(2)．
《7.3二次根式的加减》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C A B D D A D
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】先将二次根式化简，然后将同类二次根式合并即可.
【详解】-+
=7-5+
=5
故答案为A
【点睛】本题考查二次根式的化简及同类二次根式的合并，注意只有同类二次根式才可以合并.
2．C
【分析】根据二次根式的加法法则逐一判断．
【详解】①，错误；
②，错误；
③，正确；
④，正确；
⑤，错误.
故选C
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
3．D
【分析】根据二次根式的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．C
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可得到结果.
【详解】，
故选C.
考点：二次根式的加减法
【点睛】计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
5．A
【详解】解：∵长方形ABCD中，AB=2–，BC=+1，
∴长方形ABCD的面积是：（2–）×（+1）
=6+2–2–
=5．
故选A．
6．B
【分析】先根据的值计算出的值，再代入原式计算可得．
【详解】解： ，
，
，
则原式．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，关键是根据平方差公式进行二次根式的运算，然后进行代值求解即可．
7．D
【分析】直接利用有理化因式的定义得出答案．
【详解】解：∵
∴的有理化因式是
故选：D
【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确把握相关定义是解题关键．
8．D
【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
使有意义，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：
概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；
性质：被开方数为非负数．
9．A
【分析】根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的减法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．
【详解】解：甲：当时，
，
当a=b时，无意义，
乙：，
∴甲错误，乙正确，
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意;
故选D．
【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系．
11．B
【详解】解：，而，
的结果估计在7至8之间，故选B．
12．D
【分析】由题意可得与是同类二次根式，即两者的被开方数相同，由此可求出a的值，将a代入原二次根式合并即可.
【详解】解：由题意可知最简二次根式与的被开方数相同，即，解得．所以．故选D.
【点睛】本题考查了同类二次根式，同类二次根式才能够进行合并，正确理解同类二次根式的含义是解题的关键.
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
14．/
【分析】分子分母同时乘以，再化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，正确计算是解题的关键．
15．/
【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
16．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可.
【详解】=；
；
.
【点睛】此题考查了负整数指数幂：a-n=.也考查了分母有理化.
17．6
【分析】根据最简二次根式与能进行合并，可得，求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟知化简后根号下的式子相同，则为同类二次根式是解本题的关键．
18．周长，面积
【分析】先利用勾股定理求出的长，再计算三角形的周长和面积即可．
【详解】在中，，，，
则有：，
则的周长为：；
面积为：；
答：的周长为，面积为．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算和勾股定理，掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
19．；．
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
【详解】解：
原式
当时，
原式
。
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键．
20．（1）（+1）2；（2+）2；（2）a的值是7或13．
【分析】1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【详解】（1）4+2=3+2+1
=（）2+2×+12
=（+1）2；
6+4
=4+4+2
=22+2×2×+（）2
=（2+）2；
（2）∵a+4=（m+n）2，
∴a+4=m2+2mn+3n2，
∴a=m2+3n2，2mn=4，
∴mn=2，
∵m，n都是正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2；
当m=2，n=1时，a=22+3×12=7；
当m=1，n=2时，a=12+3×22=13，
即a的值是7或13．
【点睛】本题考查了阅读理解题，涉及了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
21．=，=．
【分析】如图所示，作AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，先由正方形的面积表示出AD，AB，BC，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出BB′、B′C、A′D和AA′，进而可得关于与的方程组，解方程组即得结果．
【详解】解：如图所示，作AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，
∵S2=27，DC=2AB，
∴AB==3，A′D+B′C=AB=3．
∵AD=，BC=，∠BCD=30°，
∴BB′．
∴B′C==．
∵∠ADC=60°，∴∠D AA′=30°，
∴，，
∴+=3①，
又∵AA′=BB′，∴=②，
解①②组成的方程组得：=，==．
【点睛】本题以梯形为载体，主要考查了算术平方根的定义、直角三角形的性质、二次根式的运算、勾股定理以及二元一次方程组的解法等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）x≥2；（2）x=12，–5．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【详解】解：（1）要使–有意义，
必须x–2≥0，即x≥2，
所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；
（2）∵=，
所以x–2=10，解得：x=12，
这两个二次根式的积为：–×=–5．
23．（1）1；（2）7
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先算出将的值代入两个式子中计算即可；
（2）先算出，的值，再代入求解即可．
【详解】解：（1），
；
（2），
，
．
24．(1)10
(2)98
【分析】本题考查了分母有理数、分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把和进行分母有理化处理，得，再代入，进行化简，即可作答．
（2）先把和进行分母有理化处理，得，再代入，进行化简，即可作答．
【详解】（1）解： ∵
∴
（2）解：∵ ．
∴
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7.3二次根式的加减
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算-+的结果是 ( )
A．5 B．3 C．3 D．9
2．下列计算正确的是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．①② B．②④ C．③④ D．④⑤
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果是( )
A． B． C． D．
5．已知长方形ABCD中，AB=2–，BC=+1，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．4– C．5–4 D．5+4
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
8．如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
11．计算的结果估计在（ ）
A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间
12．如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．观察下列等式：
①；
②；
③；……
计算： ．
14．分母有理化： ．
15．化简的结果是 ．
16．＝ （a≠0）， ， ．
17．若最简二次根式与能进行合并，则a＝ ．
三、解答题
18．在中，，，．求的周长和面积．
19．先化简，再求值：
，其中．
20．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝()2+2+1＝(+1)2；
5+2＝2+2+3＝()2+2××+()2＝(+)2
(1)请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
(2)若a+4＝(m+n)2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=60°，∠BCD=30°，以AD，AB，BC向形外作正方形，它们面积分别为S1，S2，S3，若DC=2AB，S2=27，求，．
22．已知二次根式–
（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
（2）已知–为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．
23．已知，，
求：（1）；
（2）．
24．已知 ， ，分别求下列分式的值：
(1)；
(2)．
《7.3二次根式的加减》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C A B D D A D
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】先将二次根式化简，然后将同类二次根式合并即可.
【详解】-+
=7-5+
=5
故答案为A
【点睛】本题考查二次根式的化简及同类二次根式的合并，注意只有同类二次根式才可以合并.
2．C
【分析】根据二次根式的加法法则逐一判断．
【详解】①，错误；
②，错误；
③，正确；
④，正确；
⑤，错误.
故选C
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
3．D
【分析】根据二次根式的混合计算法则进行求解即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．C
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可得到结果.
【详解】，
故选C.
考点：二次根式的加减法
【点睛】计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
5．A
【详解】解：∵长方形ABCD中，AB=2–，BC=+1，
∴长方形ABCD的面积是：（2–）×（+1）
=6+2–2–
=5．
故选A．
6．B
【分析】先根据的值计算出的值，再代入原式计算可得．
【详解】解： ，
，
，
则原式．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，关键是根据平方差公式进行二次根式的运算，然后进行代值求解即可．
7．D
【分析】直接利用有理化因式的定义得出答案．
【详解】解：∵
∴的有理化因式是
故选：D
【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确把握相关定义是解题关键．
8．D
【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
使有意义，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：
概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；
性质：被开方数为非负数．
9．A
【分析】根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的减法，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．
【详解】解：甲：当时，
，
当a=b时，无意义，
乙：，
∴甲错误，乙正确，
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意;
故选D．
【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a与b之间的数量关系．
11．B
【详解】解：，而，
的结果估计在7至8之间，故选B．
12．D
【分析】由题意可得与是同类二次根式，即两者的被开方数相同，由此可求出a的值，将a代入原二次根式合并即可.
【详解】解：由题意可知最简二次根式与的被开方数相同，即，解得．所以．故选D.
【点睛】本题考查了同类二次根式，同类二次根式才能够进行合并，正确理解同类二次根式的含义是解题的关键.
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
14．/
【分析】分子分母同时乘以，再化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，正确计算是解题的关键．
15．/
【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
16．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可.
【详解】=；
；
.
【点睛】此题考查了负整数指数幂：a-n=.也考查了分母有理化.
17．6
【分析】根据最简二次根式与能进行合并，可得，求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟知化简后根号下的式子相同，则为同类二次根式是解本题的关键．
18．周长，面积
【分析】先利用勾股定理求出的长，再计算三角形的周长和面积即可．
【详解】在中，，，，
则有：，
则的周长为：；
面积为：；
答：的周长为，面积为．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算和勾股定理，掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
19．；．
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
【详解】解：
原式
当时，
原式
。
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键．
20．（1）（+1）2；（2+）2；（2）a的值是7或13．
【分析】1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【详解】（1）4+2=3+2+1
=（）2+2×+12
=（+1）2；
6+4
=4+4+2
=22+2×2×+（）2
=（2+）2；
（2）∵a+4=（m+n）2，
∴a+4=m2+2mn+3n2，
∴a=m2+3n2，2mn=4，
∴mn=2，
∵m，n都是正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2；
当m=2，n=1时，a=22+3×12=7；
当m=1，n=2时，a=12+3×22=13，
即a的值是7或13．
【点睛】本题考查了阅读理解题，涉及了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
21．=，=．
【分析】如图所示，作AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，先由正方形的面积表示出AD，AB，BC，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出BB′、B′C、A′D和AA′，进而可得关于与的方程组，解方程组即得结果．
【详解】解：如图所示，作AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，
∵S2=27，DC=2AB，
∴AB==3，A′D+B′C=AB=3．
∵AD=，BC=，∠BCD=30°，
∴BB′．
∴B′C==．
∵∠ADC=60°，∴∠D AA′=30°，
∴，，
∴+=3①，
又∵AA′=BB′，∴=②，
解①②组成的方程组得：=，==．
【点睛】本题以梯形为载体，主要考查了算术平方根的定义、直角三角形的性质、二次根式的运算、勾股定理以及二元一次方程组的解法等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）x≥2；（2）x=12，–5．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【详解】解：（1）要使–有意义，
必须x–2≥0，即x≥2，
所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；
（2）∵=，
所以x–2=10，解得：x=12，
这两个二次根式的积为：–×=–5．
23．（1）1；（2）7
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先算出将的值代入两个式子中计算即可；
（2）先算出，的值，再代入求解即可．
【详解】解：（1），
；
（2），
，
．
24．(1)10
(2)98
【分析】本题考查了分母有理数、分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把和进行分母有理化处理，得，再代入，进行化简，即可作答．
（2）先把和进行分母有理化处理，得，再代入，进行化简，即可作答．
【详解】（1）解： ∵
∴
（2）解：∵ ．
∴
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