7.4二次根式的乘除同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 7.4二次根式的乘除同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 845.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-18 15:24:34 | ||
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文档简介
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7.4二次根式的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
2．二次根式 ，，， ， 中最简二次根式的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列各等式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知,则的值为（ ）
A． B． C．12 D．18
5．一个矩形的长和宽分别是、，则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
7．下列算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8． （ ）
A． B．4 C． D．
9．关于下列二次根式：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（ ）
A．小红说的对 B．小亮说的对
C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对
10．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（ ）
A． B． C．100 D．5050
11．在式子中，是最简二次根式的式子有（ ）个．
A．2 B．3 C．1 D．0
12．把所有的同类二次根式作为一组，则在二次根式、、、、中，同类二次根式有（ ）.
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
二、填空题
13．计算的结果等于 ．
14．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为 km．
15．当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2的值是 ．
16．计算： .
17．若x＝－，y＝＋，则xy的值是 ．
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)2×
19．计算：
(1)；
(2)．
20．（1）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+=0，求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且+=+，求这个三角形的周长．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
；
； ；
； ；
； ；
(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
23．计算．
24．计算：
(1)×÷;
(2)÷()×(4);
(3)·(-)÷3.
《7.4二次根式的乘除》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B B A C B C C
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故选：D
2．A
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．解答即可．
【详解】=，=a，=2，
最简二次根式有：、共两个.
故选A.
【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键.
3．D
【分析】二次根式乘法运算，当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘的法则，即（）．
【详解】A选项，，选项运算错误，不符合题意；
B选项，，选项运算错误，不符合题意；
C选项，，选项运算错误，不符合题意；
D选项，，选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，掌握并熟练运用二次根式的乘法法则进行正确计算是关键．
4．B
【详解】由题意得解得,把代入,可得,所以
5．B
【分析】根据矩形的面积=长乘以宽，列出算式，再利用二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】×
=3×2×
=6
=，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练记忆法则是解题的关键．
6．A
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．将变形为已知的值，分别计算出的值，整体代入求值即可．
【详解】解：，，
，，
故选：A．
7．C
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可.
【详解】解：，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选C
【点睛】本题综合考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的乘除法法则及同类二次根式的合并是解题的关键.
8．B
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
9．C
【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
直接利用最简二次根式的定义分析判断即可解答．
【详解】解：①，③ ，④，⑥ 是最最简二次根式；②，⑤ 不是最简二次根式．
故小红和小亮合在一起对．
故选：C．
10．C
【分析】先计算，，的值，找出规律，然后求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【点睛】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的两个条件，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：根据条件①，排除，；
根据条件②，排除．
最简二次根式有三个：，，，
故选B．
12．C
【分析】先把各式化成最简二次根式，再找出其中的同类二次根式即可.
【详解】解：∵，已经是最简二次根式，，已经是最简二次根式，，
∴其中的同类二次根式有与，与共2组.
故选C.
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的化简，难度不大，熟知同类二次根式的定义、熟练掌握二次根式的化简是解题的关键.
13．2
【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，
故答案为：2
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．
14．
【分析】根据，，，由此即求解．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
15．24
【分析】将原式化为x2+2x+1+1的形式并运用完全平方公式进行求解.
【详解】解：原式=(x+1)2+1=(﹣1+1)2+1=23+1=24，
故答案为24.
【点睛】观察并合理使用因式分解的相关公式可以大大简化计算过程.
16．
【分析】利用二次根式的除法法则运算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．m-n
【详解】由题意xy=
故答案为m-n.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行求解即可；
（2）根据二次根式的乘法运算进行求解即可．
【详解】（1）解：原式=
（2）解：原式=．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．(1)5
(2)
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算．
（1）根据二次根式乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（1）8＜c＜14；（2）这个三角形的周长为12．
【分析】（1）首先利用完全平方公式因式分解，再根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．再由三角形的三边关系就可以求得第三边的范围；
（2）首先利用非负数的性质得出b+c=8，再利用非负数的性质建立方程组求得a、b、c的数值，求得三角形的周长即可．
【详解】（1）∵a2﹣12a+36+=0，
∴（a﹣6）2+=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，
则a=6，b=8，
∴8﹣6＜c＜8+6，
即2＜c＜14，
∵c是三角形的最大边，
∴8＜c＜14．
（2）∵+=+，
∴，
解得，
∴b+c=8，∴，
解得：．
∴这个三角形的周长为3+4+5=12．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系和非负数的性质，根据二次根式的性质，建立方程或方程组以及不等式组解决问题的关键．
21．(1)8
(2)
(3)
(4)1
【详解】（1）原式＝2＋2＋4＝8．
（2）．
（3）．
（4）原式＝1＋2－3＋1＝1．
22．(1)n，
(2)它是第32个三角形；
(3)11.25．
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入Sn=2求出n即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【详解】（1）解：因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA1=，OA2=，OA3=，…，OAn=，
所以OAn2=n．Sn= 1 =，
故答案为：n，；
（2）解：当Sn=2时，有：2=，
解之得：n=32，
即：说明它是第32个三角形；
（3）解：S12+S22+S32+…+S92
=++…+
=
=11.25．
即：S12+S22+S32+…+S92的值为11.25．
【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
23．
【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案．
【详解】
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握和灵活运用二次根式的乘除法运算法则．
24．(1)；(2)10；(3)-a2b.
【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则，将被开方数相乘除，然后再分母有理化，化为最简二次根式即可；
（2）将带分数化为假分数，然后利用二次根式的乘除法法则进行计算即可，注意最后结果应化为最简二次根式；
（3）利用二次根式乘除法法则，把根号外的因数和被开分数分别相乘，然后再进行化简即可．
【详解】解：（1）×÷===.
（2）÷()×(4)
=1××4×()
=10×
=10.
（3）·(-)÷3
=·(-)·
=-
=-a2b.
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟记二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键，注意最后结果应化为最简二次根式．
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7.4二次根式的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
2．二次根式 ，，， ， 中最简二次根式的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列各等式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知,则的值为（ ）
A． B． C．12 D．18
5．一个矩形的长和宽分别是、，则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
7．下列算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8． （ ）
A． B．4 C． D．
9．关于下列二次根式：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（ ）
A．小红说的对 B．小亮说的对
C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对
10．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（ ）
A． B． C．100 D．5050
11．在式子中，是最简二次根式的式子有（ ）个．
A．2 B．3 C．1 D．0
12．把所有的同类二次根式作为一组，则在二次根式、、、、中，同类二次根式有（ ）.
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
二、填空题
13．计算的结果等于 ．
14．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为 km．
15．当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2的值是 ．
16．计算： .
17．若x＝－，y＝＋，则xy的值是 ．
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)2×
19．计算：
(1)；
(2)．
20．（1）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+=0，求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且+=+，求这个三角形的周长．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
；
； ；
； ；
； ；
(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：______，______．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
23．计算．
24．计算：
(1)×÷;
(2)÷()×(4);
(3)·(-)÷3.
《7.4二次根式的乘除》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B B A C B C C
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故选：D
2．A
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．解答即可．
【详解】=，=a，=2，
最简二次根式有：、共两个.
故选A.
【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键.
3．D
【分析】二次根式乘法运算，当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘的法则，即（）．
【详解】A选项，，选项运算错误，不符合题意；
B选项，，选项运算错误，不符合题意；
C选项，，选项运算错误，不符合题意；
D选项，，选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，掌握并熟练运用二次根式的乘法法则进行正确计算是关键．
4．B
【详解】由题意得解得,把代入,可得,所以
5．B
【分析】根据矩形的面积=长乘以宽，列出算式，再利用二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】×
=3×2×
=6
=，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练记忆法则是解题的关键．
6．A
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．将变形为已知的值，分别计算出的值，整体代入求值即可．
【详解】解：，，
，，
故选：A．
7．C
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可.
【详解】解：，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选C
【点睛】本题综合考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的乘除法法则及同类二次根式的合并是解题的关键.
8．B
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
9．C
【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
直接利用最简二次根式的定义分析判断即可解答．
【详解】解：①，③ ，④，⑥ 是最最简二次根式；②，⑤ 不是最简二次根式．
故小红和小亮合在一起对．
故选：C．
10．C
【分析】先计算，，的值，找出规律，然后求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【点睛】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的两个条件，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：根据条件①，排除，；
根据条件②，排除．
最简二次根式有三个：，，，
故选B．
12．C
【分析】先把各式化成最简二次根式，再找出其中的同类二次根式即可.
【详解】解：∵，已经是最简二次根式，，已经是最简二次根式，，
∴其中的同类二次根式有与，与共2组.
故选C.
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的化简，难度不大，熟知同类二次根式的定义、熟练掌握二次根式的化简是解题的关键.
13．2
【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，
故答案为：2
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．
14．
【分析】根据，，，由此即求解．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
15．24
【分析】将原式化为x2+2x+1+1的形式并运用完全平方公式进行求解.
【详解】解：原式=(x+1)2+1=(﹣1+1)2+1=23+1=24，
故答案为24.
【点睛】观察并合理使用因式分解的相关公式可以大大简化计算过程.
16．
【分析】利用二次根式的除法法则运算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．m-n
【详解】由题意xy=
故答案为m-n.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行求解即可；
（2）根据二次根式的乘法运算进行求解即可．
【详解】（1）解：原式=
（2）解：原式=．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．(1)5
(2)
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算．
（1）根据二次根式乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（1）8＜c＜14；（2）这个三角形的周长为12．
【分析】（1）首先利用完全平方公式因式分解，再根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．再由三角形的三边关系就可以求得第三边的范围；
（2）首先利用非负数的性质得出b+c=8，再利用非负数的性质建立方程组求得a、b、c的数值，求得三角形的周长即可．
【详解】（1）∵a2﹣12a+36+=0，
∴（a﹣6）2+=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，
则a=6，b=8，
∴8﹣6＜c＜8+6，
即2＜c＜14，
∵c是三角形的最大边，
∴8＜c＜14．
（2）∵+=+，
∴，
解得，
∴b+c=8，∴，
解得：．
∴这个三角形的周长为3+4+5=12．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系和非负数的性质，根据二次根式的性质，建立方程或方程组以及不等式组解决问题的关键．
21．(1)8
(2)
(3)
(4)1
【详解】（1）原式＝2＋2＋4＝8．
（2）．
（3）．
（4）原式＝1＋2－3＋1＝1．
22．(1)n，
(2)它是第32个三角形；
(3)11.25．
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入Sn=2求出n即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【详解】（1）解：因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA1=，OA2=，OA3=，…，OAn=，
所以OAn2=n．Sn= 1 =，
故答案为：n，；
（2）解：当Sn=2时，有：2=，
解之得：n=32，
即：说明它是第32个三角形；
（3）解：S12+S22+S32+…+S92
=++…+
=
=11.25．
即：S12+S22+S32+…+S92的值为11.25．
【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
23．
【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案．
【详解】
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握和灵活运用二次根式的乘除法运算法则．
24．(1)；(2)10；(3)-a2b.
【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则，将被开方数相乘除，然后再分母有理化，化为最简二次根式即可；
（2）将带分数化为假分数，然后利用二次根式的乘除法法则进行计算即可，注意最后结果应化为最简二次根式；
（3）利用二次根式乘除法法则，把根号外的因数和被开分数分别相乘，然后再进行化简即可．
【详解】解：（1）×÷===.
（2）÷()×(4)
=1××4×()
=10×
=10.
（3）·(-)÷3
=·(-)·
=-
=-a2b.
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟记二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键，注意最后结果应化为最简二次根式．
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