8.2用配方法解一元二次方程同步练习（含解析）

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8.2用配方法解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：将原方程变形为，然后构造如图，一方面，正方形的面积为；另一方面，它又等于，因此可得方程的一个根，根据阿尔花拉子米的思路，解方程时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程x2+6x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x+3）2＝10
4．一元二次方程的根与的根（ ）
A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定
5．把方程化成配方式的形式，则下列符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．任意实数
7．对于任意实数x，多项式的值是一个（ ）
A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数
8．在解方程时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确
9．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　）
A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝
C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝
10．方程的实数根有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
11．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．一元二次方程的一个根可能在（ ）
A．4，5之间 B．6，7之间 C．7，8之间 D．9，10之间
二、填空题
13．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为 ．
14．用 法解方程(x-2)2=4比较简便．
15．填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1) = ；
(2) = ；
(3) = .
16．如果最简根式2与4是同类二次根式，那么m= ．
17．一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是 ．
三、解答题
18．阅读题：分解因式：.
解：原式



.
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.
请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：.
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．解方程：
（1）；（2）.
21．用配方法解下列方程：
(1)．
(2)．
22．．
23．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？
24．求下列各式中的x：
(1)；
(2)．
《8.2用配方法解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B B C A D C
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答．
【详解】解：
∴正方形面积（阴影部分）＝21＋4＝25
故选：C
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和解方程的一般步骤．
2．A
【分析】直接利用开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的直接开平方法是解题的关键．
3．D
【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再平方即可.
【详解】解：x2+6x﹣1＝0
移项得：
两边都加9得：
故选D
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.
4．C
【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.
【详解】，
，
∴；
，
，
∴，；
∴两个方程有一个相等的根.
故选C.
【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
5．B
【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都加36，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．B
【分析】根据时方程有实数解，可求出m的取值范围．
【详解】由题意可知时方程有实数解，解不等式得，故选B．
【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．
7．C
【分析】把多项式进行配方，即可判断.
【详解】∵=＞0.
∴多项式的值是一个正数，
故选C.
【点睛】此题主要考查多项式的值，解题的关键是熟知配方法的应用.
8．A
【分析】根据配方法把含未知数的项写成完全平方式，形如的形式即可．
【详解】解：根据配方法可知两人的做法都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步骤，能正确的将一元二次方程配成的形式是解答的关键．
9．D
【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．
【详解】解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝，
所以3x+1＝±，
解得x＝﹣或x＝﹣，
由﹣2＝0得y3＝，
所以y＝，
所以x＝﹣或﹣，y＝．
故选：D．
【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．
10．C
【分析】利用直接开方法解方程即可得．
【详解】由直接开方法得：，
则此方程的实数根有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
11．A
【分析】先移项，再配方，即可得出选项；
【详解】解：，，
配方得：，
，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确的配方是解答该题的关键．
12．D
【分析】用直接开平方法求解．然后估计方程根的取值范围．
【详解】解：移项得x2=92，开方得x1= 2，x2=2，根据选项的要求，我们只对正根的取值范围进行判断：
∵＜＜，∴9＜2＜10，
故选D．
【点睛】本题不仅考查了一元二次方程的解法，还考查了对无理数的估算能力，对同学们有较高要求．
13．4
【分析】本题考查了配方法，把常数项移到右边，再两边加上16即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：
，
故，
故答案为：4．
14．直接开平方.
【分析】用直接开方法解形如(x+a) 2=b的一元二次方程，根据平方根的定义可知x+a是b的平方根.当b≥0时，x+a=±，x=-a±；当b＜0时，方程没有实根.
【详解】本题中可以将x-2看作整体，运用直接开平方法求解比较简单.
故答案为直接开平方.
【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
15． 4 2 1 1
【分析】利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行解题即可
【详解】（1）4 =2；
（2） =；
（3）
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题关键
16．9
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，根据定义可知，，解方程即可，但需注意的是求出m的值还需保证二次根式有意义.
【详解】∵最简根式2与4是同类二次根式
∴
解得m1=9，m2=-1
将m1=9代入原二次根式中，被开方数均＞0，故正确；
将m2=-1代入原二次根式中，被开方数均＜0，故舍去.
故答案为9.
【点睛】此题考查的是同类二次根式的概念、一元二次方程的解法及二次根式有意义的条件，需注意的是求出m的值需代回到原分式中分析是否有意义.
17．x1＝x2＝3
【分析】先把左边直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接开平方即可．
【详解】解：配方，得（x﹣3）2＝0，
直接开平方，得x﹣3＝0，
∴方程的解为x1＝x2＝3，
故答案为：x1＝x2＝3．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．.
【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．
【详解】
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键. 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）按配方法解一元二次方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对结果进行检验．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项并系数化为1，得 ，
经检验，是该方程的解．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键．
20．（1）（2），
【分析】（1）直接开方求解；（2）化为然后直接开方．
【详解】解：（1）直接开方得；（2）移项得，直接开方得，即．
【点睛】形如的一元二次方程的采用直接开方法，可得
21．(1)
(2)
【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程；
（2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
即，
∴，
解得:；
（2）解：，
，
，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
22．，
【分析】利用直接开平方法解方程即可．本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：两边同时除以2，得．
开方，得．
即或，
解得，．
23．k=1．
【分析】根据正比例函数的系数不为零，自变量的次数等于1列式求解即可
【详解】由题意得：k2+k﹣1=1①且k2+2k≠0②，
解①得：k=1或-2
当k=1时，k2+2k≠0
当k=-2时，k2+2k=0
故k=1．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义和解一元二次方程．掌握其定义条件，即系数不为零，自变量的次数等于1是解题关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）直接开平方进行求解即可；
（2）先移项，再开立方求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程，正确的计算是解题的关键．
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