8.3用公式法解一元二次方程同步练习（含解析）

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8.3用公式法解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
2．已知方程组有两个相等的实数解.那么α=( )．
A．±1 B．± C． D．
3．下列方程，最适合用公式法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
5．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．若非负整数使得关于的一元二次方程有实数根，且实数满足分式方程，则所有满足条件的的值的和为（　　）
A． B． C． D．
7．方程的一个根是
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5
9．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（　　）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
10．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　）
A． B． C． D．
11．用公式法解一元二次方程时，下列计算的结果中，正确的是（ ）
A．4 B．28 C．20 D．
12．利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式Δ＝b2﹣4ac与平方式M＝（2ax0+b）2的大小比较△ M（填＞，＜，＝）．
14．如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝ ．
15．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x= ．
16．一元二次方程，当= 时，方程有两个相等的实根；当 时，方程有两个不相等的实根；当= 时，方程有一个根为0．
17．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是 ．
三、解答题
18．已知关于x的方程，求证：不论m为何值时，方程总有实数根．
19．解方程
(1)5x2－6x＋1=0（公式法）
(2)x2＋8x－2=0（配方法）
20．已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
21．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
22．若关于x的一元二次方程没有实数根，试化简： ．
23．当取何值时，方程 是关于的一元二次方程？并求出此方程的解．
24．观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
＝第1个等式：
＝第2个等式：
＝第3个等式：
＝第4个等式：
(1)写出第5个等式：________．
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．
(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．
《8.3用公式法解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D A A D B D D
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】利用公式法表示出方程的根，再进行估算即可．
【详解】一元二次方程，
，
，
，
则较小的根，即，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．B
【分析】首先把方程转化为含有x和a的方程,根据有两个相等的实数解可得△=0即可得到结果.
【详解】解：
①+②得
+（x-a）=1
+-2ax+=1
2-2ax+-1=0
∵方程组有两个相等的实数解
∴△=-4×2×=0
4-8+8=0
解得a=±2
故选B.
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
3．C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据方程的特点分别判断即可．
【详解】解：A、适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意；
B、即适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意；
C、适合用公式法求解，故本选项符合题意；
D、即，适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．D
【分析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
【详解】方程移项并化简得x x 2=0，
a=1，b= 1，c= 2
△=1+8=9>0
∴x=
解得x1=-1，x2=2.
故选D
【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用判别式
5．A
【详解】解：∵ =12-4×1×（-2）=9>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 <0时，一元二次方程没有实数根．
6．A
【分析】本题考查了分式方程的解法，根据一元二次方程根的情况求出字母的取值范围等知识．先解分式方程求出，即可得到关于的一元二次方程为，根据方程有实数根求出，根据为非负整数且，得到，问题得解．
【详解】解：解分式方程，得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
∴关于的一元二次方程为，
∵关于的一元二次方程为有实数根，
∴，
解得，
∵为非负整数且，
∴，
∴所有满足条件的的值的和为．
故选：A
7．D
【详解】试题分析：∵
∴
即：，
故选D.
考点：解一元二次方程----公式法.
8．B
【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
9．D
【详解】∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴，
故选D.
10．D
【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的根为，
∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴，
∴满足要求的方程为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
11．B
【分析】由一元二次方程的一般式，即可知道a,b,c，把a,b,c的值代入b2-4ac，即可得到答案.
【详解】原方程可变形为，可知，，，
所以．
故选B．
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于得出a,b,c的值.
12．D
【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
利用公式法即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
一元二次方程的两个根为，且，
的值为，
故选：D．
13．=
【分析】首先把展开，然后把x0代入方程ax2+bx+c=0中得，再代入前面的展开式中即可得到△与M的关系．
【详解】解：把x0代入方程中得，
∵，
∴ ，
∴Δ=M．
故答案为：=．
【点睛】本题是一元二次方程的解与根的判别式的结合试题，考查了根的判别式，既利用了方程的根的定义，也利用了完全平方公式．
14．1
【详解】解：∵x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，
∴ =b2-4ac=（-2）2-4×1×m=0，
∴4-4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
15．﹣3±
【分析】根据题意列出方程x2+6x+3＝5，即x2+6x﹣2＝0，公式法求解可得．
【详解】根据题意，得：x2+6x+3＝5，即x2+6x﹣2＝0．
∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，∴△＝36﹣4×1×（﹣2）＝44＞0，则x．
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16． -1 ＞-1 0
【分析】先计算，当4+4m=0，方程有两个相等的实根；当4+4m＞0，方程有两个不等实根；把x=0代入方程，得-m=0；然后分别解方程或不等式即可得到对应得答案．
【详解】∵，，，
，
当，即时，方程有两个相等的实根；
当，即时，方程有两个不等实根；
令，则有，即时，方程有一个根为0．
故答案为：；；0．
【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式．当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
17．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到，再解不等式，然后在a的取值范围找出最大的整数即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以a的最大整数解为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
18．见解析
【分析】分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m-2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根．
【详解】证明：情况一：当时，．得，有实数根．
情况二：当时，此方程为一元二次方程．
∵．
∴不论m为何值时，，即，
∴方程总有实数根．
综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，以及根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根，会分类讨论是解答此题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程；
（2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：5x2－6x＋1=0中，，
，
，
解得：；
（2）x2＋8x－2=0，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组
的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
解得
将，分别代入和
解得，
∴，
（2）
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵
∴该三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
21．（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022．
【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可；
（2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；
（3）先根据“友好方程”的根的特点得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整体即可求解．
【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，
故答案为：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，
“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，
则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴该方程的解为x5=0，x6=2022．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，
故答案为x5=0，x6=2022．
【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
22．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，化简二次根式，根据方程没有实数根可知，代入即可求得a的取值范围，根据a的取值范围和的化简方法进行化简即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
23．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．因而m2+1=2且m+1≠0，即可求得m的值，求得方程，进而求出方程的解．
【详解】解：由题意得且，
解得，
∴原方程是，
解得.
故答案为.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据上面的等式规律写出第五个等式即可 ；
（2）根据等式规律总结出第n个等式；
（3）由（2）的规律解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
1 +2=2+1 → 12+1×2=2×12+1
4+6=8+2 → 22+2×3=2×22+2
9+ 12= 18+3 → 32+3×4=2×32+3
16+ 20= 32+4 → 42+4×5=2× 42+4
所以第5个等式为：
52 +5×6=2×52+5，
即25+ 30= 50+5；
（2）第n个等式为：
n2 +n(n+1)=2×n2+n；
（3）由已知条件，得：
n2 +n(n+1)=2×n2+n=210，
即2n2 +n-210=0，
解得：n= 10或n= （舍去）．
【点睛】本题考查了图形规律的探索以及一元二次方程的解法，解题的关键是正确寻找规律．
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