8.4用因式分解法解一元二次方程同步练习（含解析）

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8.4用因式分解法解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
2．若实数满足方程，那么的值为（ ）
A．或4 B．4 C． D．4或
3．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
4．若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的方程的一个根为0，则m的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．0
7．k是常数，关于x的一元二次方程x（x+1）＝k（k+1）的解是（　　）
A．x＝k B．x＝±k
C．x＝k或x＝﹣k﹣1 D．x＝k或x＝﹣k+1
8．方程的解是（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则（ ）
A．a=b B．a－b=l
C．a+b=－1 D．非上述答案
10．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A．，所以或
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以
11．方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．18或9
12．下面是赵明同学在一次测验中解答的填空题，其中正确的是（ ）
A．若，则
B．方程的解为
C．关于的方程的一个根是1，那么
D．若分式的值为零，则或2
二、填空题
13．已知，则 ．
14．图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为 ．
15．已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ．
16．若三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是方程的根，则此三角形是 三角形．
17．化下列各式为（x+m）2=n的形式．
（1）x2－2x－3=0 ．
（2） ．
三、解答题
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．解方程
(直接开平方法)
(因式分解法)
．
21．用合适的方法解下列方程：
(1)．
(2).
22．计算
(1)
(2)
23．阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为 ①，解得．
当时，，∴；
当时，，∴x=±2；
∴原方程有四个根：．
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．
(2)解方程．
24．阅读材料，解答问题．
解方程：，
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为：，
解得：，，
或，
，，
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知，求的值．
《8.4用因式分解法解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B B D C C D A
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】由两数相乘积为，两数中至少有一个为求出方程的解得到第三边长，即可求出周长．
【详解】解方程（x﹣2）（x﹣4）=0，得：x=2或x=4，
当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；
当x=4时，3，4，6构成三角形，周长为3+4+6=13．
故选C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，以及三角形的三边关系，求出x的值是解本题的关键
2．B
【分析】设，则原方程变为，利用因式分解法求出方程的两个根，再根据即可得到答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．
3．D
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4．B
【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论．
【详解】解：设方程中，
则方程变为
∵关于的方程的解为，，
∴关于的方程的解为，，
∴对于方程，或，
解得：，，
故选B．
5．B
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设AC交A′B′于H，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠A=45°，∠D=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，
∴x (2-x)=1，即，
解得：，
即AA′=1cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
6．D
【分析】把代入一元二次方程后得到有关m的方程，求解即可得到m的值．
【详解】解：将代入一元二次方程得，
，
解得，或0，
∵，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
7．C
【分析】移项后用分解因式法解答即可．
【详解】解：∵x（x+1）＝k（k+1），∴x2+x﹣k（k+1）＝0，
∴x2+x﹣k2﹣k＝0，∴（x﹣k）（x+k+1）＝0，∴x＝k或x＝﹣1﹣k．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
8．C
【分析】利用分解因式法解答即可．
【详解】解：由方程，可得或，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握求解的方法是解题关键．
9．D
【分析】设公共根为t，根据方程解的定义得到t2+at+b=0，t2+ at+a=0，再把两个方程相减得a-b=0，然后根据t有唯一的值,则或根的判别式 方程是不同的两个方程，则即可求解.
【详解】设公共根为t，
则
∴
∵t有唯一的值，
∴或根的判别式
方程是不同的两个方程，则
即
故选D.
【点睛】考查了两个一元二次方程有相同根的解法，设公共根为t，作差是解题的关键.
10．A
【分析】根据因式分解法解方程的基本步骤去判断即可．
【详解】A. ，所以或，符合题意；
B. ，所以或，错误，不符合题意；
C. ，所以或，错误，不符合题意；
D. ，所以，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法解方程的基本步骤是解题的关键．
11．B
【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系，
∴等腰三角形的腰为，底为，
∴周长为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．C
【分析】A、方程利用平方根定义开方求出解，即可做出判断；
B、方程移项后，利用分解因式方法求出解，即可做出判断；
C、利用一元二次方程的解判断即可得到结果；
D、利用分式值为0的条件计算求出x的值，即可做出判断．
【详解】解：A、若，则，故该选项错误；
B、方程变形为，
则方程的解为．故该选项错误；
C、关于的方程的一个根是1，则，
那么，故该选项正确；
D、若分式的值为零，则且，
那么，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解以及分式为零的条件，分式值为0的条件为：分子为0，分母不为0．
13．/
【分析】设，则原式为，求解取值即可．
【详解】解：设，
则原式为，
整理得：，
配方得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，算术平方根等知识，熟练掌握解一元二次方程即可．
14．16
【分析】如图，如图，过点A作AH⊥EF于点H，证明∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°，设OH=x，在Rt△AEH中，利用勾股定理构造一元二次方程，解方程可得结论．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥EF于点H，
∵△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，
∴∠AOE=∠AOB=∠BOF，OF=OF=EF=6，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，
∴∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°，
设OH=x，则AO=2x，AH=x，
在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2，
∴142=（x）2+（x-6）2，
解得x=8或-5（负根舍弃），
∴OA=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查利用平移设计图案，全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．
【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键．
【解答】解：方程，
，
解得：或（舍去），
∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线，
则这个直角三角形斜边的边长为，
故答案为：．
16．直角
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边的长，根据勾股定理逆定理即可判断三角形形状．
【详解】解：方程，
分解因式得：（3x＋2）（x 4）＝0，
解得：x＝（舍去）或x＝4，
∴三角形三边分别为3，4，5，
∵32+42=52，
∴此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程 因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17． （x—1）2=4,
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】(1)移项得x2 2x=3，
配方得x2 2x+1=3+1，
即(x 1)2=4；
(2)移项得
配方得
即
故答案为
【点睛】考查配方法解一元二次方程，解题的关键是要把左边配成完全平方式，右边化为常数．
18．(1)
(2)
【分析】(1) 根据，分解因式法解方程解．
(2) 根据，移项分解分解因式法解方程解．
【详解】（1）∵，
∴变形为，
∴x+3=0或x-3=0，
解得．
（2）∵，
∴，
∴，
∴x=0或x-5=0，
解得．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．
19．(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝
(2)
【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解
【详解】（1）解：
设
则
或
解得，
∴或
∴或
解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；
（2）解：
设，
则
，
或，
解得，，
或，
或，
解得，
【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．
20．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，；(5)，；(6).
【分析】（1）根据要求直接开平方；（2）根据要求因式分解；（3）运用配方法；（4）运用因式分解法；（5）运用因式分解法；（6）配方法..
【详解】解：(直接开平方法)
，
∴，
∴，
(因式分解法)
，
∴，；
，
，
∴，
∴，；
，
∴，，
∴，；
，
∴，，
∴，；
．
，
∴．
【点睛】考核知识点：运用适当方法解一元二次方程.
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法求解即可．
（2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得；，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先展开，然后因式分解法求解即可．
【详解】（1）
∴
∴；
（2）
∴或
∴解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
23．(1)换元，降次
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）经分析：设,则，再运用因式分解法求出y的值，再代入得关于x的方程求解即可．
【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想
故答案为：换元，降次
（2）解：设，则，
∴，解得．
当时，即，解得：．
当时，即，则，
由，此时方程无解．
所以原方程的解为．
24．4
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
解得：，，
∵，
则．
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