8.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习（含解析）

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8.5一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根
D．有两个异号的实数根
2．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
3．已知是方程的两个实数根，则代数式的值（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
4．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是方程的一个实数根，则代数式的值（ ）
A．2 B． C． D．
7．若方程3x2＋7x﹣9＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2等于（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
8．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2=0，n2﹣7n+2=0，则+的值是（　　）
A． B． C．或2 D．或2
9．一元二次方程的两个根为，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．14
10．如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．已知方程3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值为（ ）
A．- B． C．- D．
12． 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1 x2等于（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
二、填空题
13．反比例函数y=的图象上有一点A(x， y)，且x， y是方程a2-a-1=0的两个根，则k= ．
14．若m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2﹣mn+3m+2n＝ ．
15．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
16．已知方程的两根分别为和，则的值等于 ．
17．方程的两根之和是 ．
三、解答题
18．学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为，由根与系数的关系有，，由此就能快速求出，，···的值了． 比如设是方程的两个根，则，，得．
小亮的说法对吗？简要说明理由；
写一个你最喜欢的元二次方程，并求出两根的平方和；
已知是关于的方程的一个根，求方程的另一个根与的值．
19．关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2=0．
（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；
（2）设x1、x2是方程的两根，且，求k的值．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根．
(2)若该方程的两根互为相反数，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k﹣1＝0．
（1）当k为何值时，此方程有实数根？
（2）若方程的两根之积不小于﹣3，求整数k的值．
22．已知关于x的方程．
(1)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实根分别为x1、x2且满足，求实数m的值．
23．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，求这个长方形的周长和面积．
24．已知一元二次方程 的两个根为和 ，求这个方程
《8.5一元二次方程的根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D B C C D D D
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】根据三角形的三边关系，确定出方程的根的判别式的符号后，判断方程根的情况．
【详解】解：
＝
∵三角形两边之和大于第三边，
∴
∴
∴有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：两根的积是，则两个根一定同号；
两根的和是
∴方程的两根都是负数．
故方程有两个不相等的负根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式与根的关系，根与系数的关系，三角形三边的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
2．C
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，
∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣4．
故选∶C．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系得出，，，然后代入即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，，
∴
∴
，
故选：A．
4．D
【详解】∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=2α 2β=4αβ，
∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴αβ=1，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4×1=4．
故选D．
5．B
【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可
【详解】∵，，则
故本题选B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
6．C
【分析】把m代入方程，根据等式性质得3m2-2m=2，，再代入可得.
【详解】解：因为m是方程3x2-2x-2=0的一个实数根，
所以3m2-2m-2=0
所以3m2-2m=2，
所以
故选：C
【点睛】考本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系，得出代数式的值.
7．C
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：根据题意得，x1x2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1x2＝．
8．D
【分析】①m≠n时，由题意可得m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n、mn的值，将要求的式子转化为关于m+n、mn的形式，整体代入求值即可；②m=n，直接代入所求式子计算即可.
【详解】①m≠n时，由题意得：m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，
∴m+n=7，mn=2，
+====；
②m=n时，+=2.
故选D.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m、n是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键.
9．D
【分析】根据两根之和是一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积是常数项与二次项系数的商．
【详解】根据题意得．
，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决的关键是完全平方公式的变形x12+x22=（x1+x2）2-2x1 x2，．
10．D
【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【详解】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
11．B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】∵3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2，
∴x1+x2=-．
故选：B．
【点睛】考查了根与系数的关系，解题关键是熟记若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
12．C
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】解：根据韦达定理得x1 x2=1．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1 x2=．
13．-1
【分析】由根与系数的关系得，x， y是方程a2-a-1=0的两个根，所以，xy=-1．
【详解】∵x、y是方程a2-a-1=0的两个根，
∴xy=-1，
∵点A(x， y)在反比例函数y=的图象上，
∴k=xy=-1．
故答案为：-1
【点睛】本题考核知识点：反比例函数性质，一元二次方程根与系数关系．解题关键点：熟记反比例函数性质．
14．4
【分析】根据韦达定理及方程的解的定义得出m＋n＝ 1，mn＝ 3，m2+m＝3，代入原式＝计算可得．
【详解】解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，m2+m﹣3＝0即m2+m＝3，
则原式＝m2+m+2（m+n）﹣mn
＝3+2×（﹣1）﹣（﹣3）
＝3﹣2+3
＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程解的概念．
15．31
【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：31．
【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．
16．/
【分析】由根与系数的关系找出，，直接代入数据即可得出结论．
【详解】解：方程的两根分别为出，，
，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出，是解题的关键．
17．-2．
【详解】试题分析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2="-" ，x1 x2=．直接根据根与系数的关系求解．
解：方程x2+2x-2=0的两根之和等于-2．
故答案为-2．
考点：根与系数的关系．
18．（1）小亮的说法不对，理由见解析；（2）方程：，两根平方和为37；（3）c=1，另一根为．
【分析】（1）一般情况下可以这样计算、x12+x22的值，但是若有一根为零时，就无法计算的值了；
（2）写出一个有实数根的一元二次方程，根据，计算即可；
（3）把代入原方程，求出c的值，再根据即可求出另一根的值．
【详解】（1）小亮的说法不对．若有一根为零，就无法计算的值了，因为零作除数无意义．
（2）所喜欢的一元二次方程．
设方程的两个根分别是为，，
，．
又，
∴
；
（3）把代入原方程，得：．
解得：．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即(x1+x2)，x1x2．
19．（1）k≥；（2）k=
【分析】（1）根据题意可得根的判别式△≥0，进而可得关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k+1，x1x2=k2，结合即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出k的值．
【详解】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2=0有实数根，
∴△=[﹣(2k+1)]2﹣4k2≥0，
解得：k≥．
（2）∵x1、x2是方程x2﹣（2k+1）x+k2=0的两根，
∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2，
∵，即，
解得：k=，
经检验，k=是原方程的解．
又∵k≥，
∴k=．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式方程的解法以及根的判别式等知识，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合已知得出关于k的方程．
20．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【详解】（1）证明：，
∴，，，
∵，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵该方程的两根互为相反数，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
21．（1）k≤；（2）k的整数值是﹣1，0，1.2
【分析】（1）当方程有实数根时，△≥0，由此求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系解答即可．
【详解】解：（1）△＝16﹣4（2k﹣1）＝20﹣8k，
当k≤时，△≥0，所以k≤时，方程有实数根；
（2）由上知△≥0，k≤，又方程的两根之积为2k﹣1，
∴2k﹣1≥﹣3，k≥﹣1，﹣1≤k≤
∴k的整数值是﹣1，0，1.2
【点睛】此题分别考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系得到关于k的方程，解方程即可解决问题．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，可得不等式并求解，即可获得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得关于的方程，解方程即可获得答案．
【详解】（1）解：由关于x的方程，
可得，
解得；
（2）由根与系数的关系，可得，，
∵，
∴，
即，
解得(不符合题意，舍去)，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
23．这个长方形的周长为24；面积为9
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和为12，两根之积为9，进而可求出这个长方形的周长和面积．
【详解】设一元二次方程的两个根分别为和，
∴，，
∵长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，
∴这个长方形的周长为，
这个长方形的面积为．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，．
24．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得b，c的值，从而求解．
【详解】解∶根据题意得：
，即；，即，
所以这个方程为：
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是一定要知道究竟是用哪个关系，并会利用方程的两个根求得方程的系数．
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