9.1成比例线段同步练习（含解析）
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9.1成比例线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知=（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
3．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点P是线段的黄金分割点（），，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
9．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（ ）
A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km
10．如果，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（ ）
A．1cm B．10cm C．cm D．cm
12．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 cm．
14．盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______．
15．＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第 象限．
16．点是线段的黄金分割点，，若，则 ．
17．已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为 ．
三、解答题
18．如果，且x＋y＋z＝18，求x，y，z的值．
19．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
20．在Rt中，，若，求和．
21．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．
22．已知线段a，b的长分别是，，求线段a，b的比例中项线段．
23．如图,用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折痕EG折叠,使EB落在线段EA上，得到点B的新位置B1 ,因而线段EB1=EB，类似的，通过折痕AF折叠,使AB1落在线段AB上，得出点B1的新位置B2 ,因而线段AB2=AB1.则点B2就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
24．已知三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断的形状．
《9.1成比例线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B D C C C A
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【详解】解：A、由得：2a=3b，故选项A不正确；
B、由得：3a=2b，故选项B正确；
C、由得：2a=3b，故选项C不正确；
D、由得：ab=6，故选项D不正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
2．A
【分析】设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，确定BC的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．
【详解】如图，设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，
根据题意，AC=1.58米,
∴BC=1.58÷0.618=2.56米，
故车长为1.58+2.56=4.14米，
故选:A．
【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可.
【详解】解：A.∵，故选项A中的线段成比例；
B.∵，故选项B中的线段成比例；
C.∵，故选项C中的线段不成比例；
D.∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
4．C
【分析】算出AB后即可得到解答．
【详解】∵，，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查线段的比值，熟练掌握线段的和与差是解题关键 ．
5．B
【详解】解：∵2x=5y，
∴．
故选B．
6．D
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（），
∴，
∴．
故选D．
7．C
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
，
解得，，舍去，
故选C．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8．C
【分析】把，，，分别代入各选项验证即可.
【详解】A. ∵，，∴，故不正确；
B. ∵，，∴，故不正确；
C. ∵，，∴，正确；
D. ∵，，∴，故不正确；
故选C.
【点睛】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.
9．C
【详解】比例尺=，得实际长度=21.72km，故选C
10．A
【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．由，得，则A正确，故A符合题意．
B．由，得，则B错误，故B不符合题意．
C．由，得，则C错误，故C不符合题意．
D．由，得，则D错误，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
11．B
【分析】根据第四比例项的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．
【详解】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，
∴a：b＝c：d
∴
∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴cm
∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．
12．A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．
【详解】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
∴==，
故选：A．
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC和AF的长是解题的关键．
13．（﹣1）/（﹣1＋）
【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．
【详解】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝AB
＝×2cm
＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．
【点睛】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割的黄金比值是解题的关键．
14．
【详解】盒中有枚黑棋和枚白棋，共有个棋，从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是可得关系式，即．
15．一、四
【分析】当a+b+c＝0，利用比例性质得k＝﹣1，则函数解析式为y＝﹣x+1，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、二、四象限；当a+b+c≠0，利用比例性质得k＝＝2，则函数解析式为y＝2x﹣2，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、三、四象限，然后综合两种情况可判断y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．
【详解】解：当a+b+c＝0，a+b＝﹣c ，k＝﹣1，
则函数解析式为y＝﹣x+1，直线y＝﹣x+1经过第一、二、四象限；
当a+b+c≠0，k＝＝＝，
则，
三个等式相加得，，
解得，则函数解析式为y＝2x﹣2，直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限，
所以关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．
故答案为一、四．
【点睛】本题考查了比例的性质和一次函数的性质，解题关键是根据比例的性质求出k的值.
16．
【分析】根据黄金分割的定义即可进行计算解答．
【详解】点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
17．
【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可．
【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴，
∵，
∴
∴；
故答案为：．
18．x＝1，y＝7，z＝10
【分析】先用未知数k分别表示出x、y和z，又因为x+y+z=18，则可得k的值，从而求得x，y，z的值．
【详解】根据题意，设x+3=2k，y﹣1=3k，z﹣2=4k，
则x=2k﹣3，y=3k+1，z=4k+2．
∵x+y+z=18，
∴2k﹣3+3k+1+4k+2=18，
解得：k=2，
∴x=2×2﹣3=1，
y=3×2+1=7，
z=4×2+2=10．
【点睛】本题考查了比例的性质，比较简单．当已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
19．(1)，，
(2)
【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∵，所以，解得，
∴，，．
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，所以（舍负）．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
20．1：1，
【分析】根据已知条件易得知△ABC是等腰直角三角形，则AC=BC，利用勾股定理求出AB的长即可求得答案.
【详解】解：∵∠C=90°，∠A=45° ，
∴∠A=∠B=45° ，
∴AC=BC ，
∴AB=，
∴BC∶AC=1∶1，BC∶AB=1∶.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，线段的比等，熟练掌握相关的性质以及定理是解题的关键.
21．原矩形ABCD是黄金矩形．理由见解析
【分析】根据黄金分割设出矩形BCFE的长和宽，然后表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
【详解】解：原矩形ABCD是为黄金矩形．
理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，
∵四边形BCFE为黄金矩形，
∴宽FC为x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AB=x+x=x，
则= ，
∴原矩形ABCD是为黄金矩形．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．
22．
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义列出方程求解即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项线段为c，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
故线段a，b的比例中项线段为．
23．证明见解析
【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．
【详解】证明：设正方形纸片ABCD边长为.
由折叠可知：EB=EC=a .
∴ EB1=EB=a，
∵正方形纸片ABCD中，AB=a,∠ABC=90°.
∴在Rt△ABE中，AE= = =a,
∴ ，
由折叠可知， ，即 AB.
∴ ,
即：点B2是线段AB的黄金分割点.
【点睛】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
24．(1)；
(2)直角三角形．
【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解；
（）利用勾股定理逆定理即可判断求解；
本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形．
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9.1成比例线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知=（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
3．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点P是线段的黄金分割点（），，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
9．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（ ）
A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km
10．如果，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（ ）
A．1cm B．10cm C．cm D．cm
12．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 cm．
14．盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______．
15．＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第 象限．
16．点是线段的黄金分割点，，若，则 ．
17．已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为 ．
三、解答题
18．如果，且x＋y＋z＝18，求x，y，z的值．
19．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
20．在Rt中，，若，求和．
21．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．
22．已知线段a，b的长分别是，，求线段a，b的比例中项线段．
23．如图,用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折痕EG折叠,使EB落在线段EA上，得到点B的新位置B1 ,因而线段EB1=EB，类似的，通过折痕AF折叠,使AB1落在线段AB上，得出点B1的新位置B2 ,因而线段AB2=AB1.则点B2就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
24．已知三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断的形状．
《9.1成比例线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B D C C C A
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【详解】解：A、由得：2a=3b，故选项A不正确；
B、由得：3a=2b，故选项B正确；
C、由得：2a=3b，故选项C不正确；
D、由得：ab=6，故选项D不正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
2．A
【分析】设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，确定BC的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．
【详解】如图，设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，
根据题意，AC=1.58米,
∴BC=1.58÷0.618=2.56米，
故车长为1.58+2.56=4.14米，
故选:A．
【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可.
【详解】解：A.∵，故选项A中的线段成比例；
B.∵，故选项B中的线段成比例；
C.∵，故选项C中的线段不成比例；
D.∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
4．C
【分析】算出AB后即可得到解答．
【详解】∵，，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查线段的比值，熟练掌握线段的和与差是解题关键 ．
5．B
【详解】解：∵2x=5y，
∴．
故选B．
6．D
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（），
∴，
∴．
故选D．
7．C
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
，
解得，，舍去，
故选C．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8．C
【分析】把，，，分别代入各选项验证即可.
【详解】A. ∵，，∴，故不正确；
B. ∵，，∴，故不正确；
C. ∵，，∴，正确；
D. ∵，，∴，故不正确；
故选C.
【点睛】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.
9．C
【详解】比例尺=，得实际长度=21.72km，故选C
10．A
【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．由，得，则A正确，故A符合题意．
B．由，得，则B错误，故B不符合题意．
C．由，得，则C错误，故C不符合题意．
D．由，得，则D错误，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
11．B
【分析】根据第四比例项的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．
【详解】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，
∴a：b＝c：d
∴
∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴cm
∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．
12．A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．
【详解】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
∴==，
故选：A．
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC和AF的长是解题的关键．
13．（﹣1）/（﹣1＋）
【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．
【详解】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝AB
＝×2cm
＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．
【点睛】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割的黄金比值是解题的关键．
14．
【详解】盒中有枚黑棋和枚白棋，共有个棋，从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是可得关系式，即．
15．一、四
【分析】当a+b+c＝0，利用比例性质得k＝﹣1，则函数解析式为y＝﹣x+1，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、二、四象限；当a+b+c≠0，利用比例性质得k＝＝2，则函数解析式为y＝2x﹣2，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、三、四象限，然后综合两种情况可判断y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．
【详解】解：当a+b+c＝0，a+b＝﹣c ，k＝﹣1，
则函数解析式为y＝﹣x+1，直线y＝﹣x+1经过第一、二、四象限；
当a+b+c≠0，k＝＝＝，
则，
三个等式相加得，，
解得，则函数解析式为y＝2x﹣2，直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限，
所以关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．
故答案为一、四．
【点睛】本题考查了比例的性质和一次函数的性质，解题关键是根据比例的性质求出k的值.
16．
【分析】根据黄金分割的定义即可进行计算解答．
【详解】点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
17．
【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可．
【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴，
∵，
∴
∴；
故答案为：．
18．x＝1，y＝7，z＝10
【分析】先用未知数k分别表示出x、y和z，又因为x+y+z=18，则可得k的值，从而求得x，y，z的值．
【详解】根据题意，设x+3=2k，y﹣1=3k，z﹣2=4k，
则x=2k﹣3，y=3k+1，z=4k+2．
∵x+y+z=18，
∴2k﹣3+3k+1+4k+2=18，
解得：k=2，
∴x=2×2﹣3=1，
y=3×2+1=7，
z=4×2+2=10．
【点睛】本题考查了比例的性质，比较简单．当已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
19．(1)，，
(2)
【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∵，所以，解得，
∴，，．
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，所以（舍负）．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
20．1：1，
【分析】根据已知条件易得知△ABC是等腰直角三角形，则AC=BC，利用勾股定理求出AB的长即可求得答案.
【详解】解：∵∠C=90°，∠A=45° ，
∴∠A=∠B=45° ，
∴AC=BC ，
∴AB=，
∴BC∶AC=1∶1，BC∶AB=1∶.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，线段的比等，熟练掌握相关的性质以及定理是解题的关键.
21．原矩形ABCD是黄金矩形．理由见解析
【分析】根据黄金分割设出矩形BCFE的长和宽，然后表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
【详解】解：原矩形ABCD是为黄金矩形．
理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，
∵四边形BCFE为黄金矩形，
∴宽FC为x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AB=x+x=x，
则= ，
∴原矩形ABCD是为黄金矩形．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．
22．
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义列出方程求解即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项线段为c，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
故线段a，b的比例中项线段为．
23．证明见解析
【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．
【详解】证明：设正方形纸片ABCD边长为.
由折叠可知：EB=EC=a .
∴ EB1=EB=a，
∵正方形纸片ABCD中，AB=a,∠ABC=90°.
∴在Rt△ABE中，AE= = =a,
∴ ，
由折叠可知， ，即 AB.
∴ ,
即：点B2是线段AB的黄金分割点.
【点睛】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
24．(1)；
(2)直角三角形．
【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解；
（）利用勾股定理逆定理即可判断求解；
本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形．
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