第五章圆同步练习（含解析）
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第五章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )
A．40° B．60° C．80° D．120°
2．如图,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2.5
4．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，）
5．已知圆心角为的扇形的弧长为，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的直径与弦相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等
8．如图，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（ ）
A．3﹣ B． C． D．
11．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
12．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知圆锥的底圆直径为，高为，则此圆锥的侧面展开图的面积是 （结果用π表示）．
14．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为 度．
15．如图，线段AB与AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∠ABC＝75°，BC＝4，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= °．
17．圆锥是由一个 和一个 围成的，它的底面是一个 ，侧面是一个 ．
连结顶点与底面圆心的线段圆锥的 h；
把连结圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段叫做圆锥的 ．
三、解答题
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．
19．如图，已知在中，．
（1）求点到直线的距离以及的长度．
（2）将绕线段所在的直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
20．内接于，D，F分别是与上的点，．连接并延长交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若为边长等于6的等边三角形，且．求．
21．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
22．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
23．已知，以长为半径作圆，使它经过点A和点B．这样的圆能作出几个？
24．已知，如图，是的直径，点为上一点，作弦于点，交于点，过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
《第五章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C B B B D D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据题意先求出∠BOE=120°，再利用邻补角即可求出∠AOE.
【详解】∵D,C是劣弧EB的三等分点,
∴∠BOE=3∠BOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°
选B.
【点睛】此题主要考查圆的圆心角度数问题.
2．C
【详解】试题分析：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得AC的长，根据三角函数可得∠A的度数，即可求得结果.
作OC⊥AB于点C
则
∵
∴∠A=30°
∵OA=OB
∴∠AOB=120°
故选C.
考点：垂径定理，三角函数
点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.
3．C
【分析】设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，先利用垂径定理得到AC=2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE的长，再利用勾股定理即可求出BE．
【详解】解：设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，
由垂径定理得，
在Rt△OAC中，，
∴，
∴，
∴AE=5，
∵AE是圆O的直径，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．
4．C
【分析】设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果．
【详解】解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x，
∴MN=3，ON=1+，MC=ON
在中，
由勾股定理得：
x=8
又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9）
故答案为：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
5．C
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为r．
由题意：=6π，
∴r=9，
∴S扇形==27π，
故选择：C．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6．B
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求即可．
【详解】解：是的直径，
．
在中，．
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，三角函数的定义及计算，熟练掌握相关性质是解题的关键．
7．B
【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的圆心角也相等，依此判断即可.
【详解】A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦定理.弧、弦、圆心角三者中有一组量相等即可证得其它两组量也相等，但是前提必须是同圆或等圆中，这是此题易错之处.
8．B
【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，进一步求得旋转角为，由即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
，
绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，
，
，
，
即，
，
，即旋转角为，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识点，推导出是解题的关键．
9．D
【分析】过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH=30°，
∴OH=OB=1，
∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3
∴
∴
故选：D
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．D
【分析】先根据勾股定理计算直径AB==2，作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=4，
∴AB==2，
∵CD=BD，
∴，
∴∠CAD=∠BAD，
过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，
∴PD=DQ，
∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），
∴CP=BQ，
易得△APD≌△AQD，
∴AP=AQ，
设PC=x，则AP=2+x，AQ=AB-BQ=2-x，
∴2+x=2-x，
x=-1，
∴BQ=CP=-1，OQ=1，
Rt△ODQ中，DQ=PD==2，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，
∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD=∠DCB，
∴∠ACE=∠ECB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ECB=45°，
过E作EF⊥AP于F，
∴△EFC是等腰直角三角形，
设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，
∵EF∥PD，
∴△AFE∽△APD，
∴，
∴，
∴a=3-，
∴CE=a=（3-）=3-.
故选D．
【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC是关键．
11．A
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=64°，
∴∠BOD=2∠A=128°.
故选A.
12．B
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
13．
【详解】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
【解答】解：如图是圆锥的轴截面，，有，，，
在中，由勾股定理知，，
则底面周长，圆锥侧面展开图的面积．
故答案为：．
．
【点睛】本题考查圆锥的计算，正确利用勾股定理，圆的周长公式，扇形的面积公式求解是解题关键．
14．60
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
【详解】连接OC、OD，
∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为60．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15．8
【分析】如图，连接OA，OB，OC，延长AO交BC于点H．根据S阴＝S△ABC﹣S△OBC +S扇形OBC，求解即可．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，延长AO交BC于点H．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=4，
∴OA=4，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
∴OH＝2，
∴AH=4+2，
∴S△ABC BC AH4×（4+2）＝8+4，S△OBC4，S扇形OBC
∴S阴＝S△ABC﹣S△OBC+ S扇形OBC＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，求扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，根据题意得到S阴＝S△ABC﹣S△OBC+ S扇形OBC是解题的关键．
16．215．
【详解】解：连接CE
∵五边形ABCDE为内接五边形
∴四边形ABCE为内接四边形
∴∠B+∠AEC=180°
又∵∠CAD＝35
∴∠CED＝35°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°
故答案为：215．
【点睛】本题考查正多边形和圆．
17． 底面 侧面 圆 曲面 高 母线
【解析】略
18．∠ABD=102°．
【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数．
【详解】解：∠AOB＝96°，
∴∠ACB＝48°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，
又∵点D是的中点，
∴，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键．
19．（1）A到BC的距离为2，BC的长度为；（2）
【分析】（1）过点作于点，利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AD，利用勾股定理求出BD和CD，从而求出BC；
（2）根据圆锥侧面积公式：S侧面积=（其中r为底面半径，l为母线长）计算即可．
【详解】（1）如图，过点作于点．
在中，
．
∴点到直线的距离为2
在中，
，
．
（2）将绕线段所在直线旋转一周，所得几何体的表面积为
【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和求圆锥侧面积，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理和圆锥侧面积公式是解决此题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据得到，然后根据圆内接四边形的性质和平角的概念得到，进而可证明；
（2）首先根据得到，代数求出，然后根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，然后根据正切值的求法求解即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵四边形是的内接四边形
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴为直角三角形
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，圆与三角形综合题，勾股定理的逆定理，三角函数等知识，解题的关键是根据题意证明出．
21．(1)即圆心O到AQ的距离为4cm；(2)EF=6cm.
【详解】试题分析：
（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．
试题解析：
（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH=AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH==3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm．
考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
22．图（2）是半圆形．理由见解析
【分析】根据的圆周角所对的弦是直径进行判断．
【详解】解：因为的圆周角所对的弦是直径，
所以图（2）中的圆弧为半圆形．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．属于基础题，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
23．2个
【分析】先作的垂直平分线，再以点为圆心，为半径作圆交于和，然后分别以和为圆心，以为半径作圆即可．
【详解】解：这样的圆能画2个．如图：
作的垂直平分线，再以点为圆心，为半径作圆交于和，然后分别以和为圆心，以为半径作圆，
则和为所求圆．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是找出圆心和．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，结合已知条件和角度的变换可得，即可证明是的切线，
（2）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得；
（3）连接，根据可求出，进而求得，最后结合三角函数进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
．
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：连接，如图，
是的半径，，
，
，
，
，
．
；
（3）解：连接，如图，
由（2）知：，
，，
．
，
，
．
是的直径，
．
，
．
．
，
．
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了三角函数的应用、圆周角定理和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
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第五章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )
A．40° B．60° C．80° D．120°
2．如图,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2.5
4．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，）
5．已知圆心角为的扇形的弧长为，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的直径与弦相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等
8．如图，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（ ）
A．3﹣ B． C． D．
11．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
12．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知圆锥的底圆直径为，高为，则此圆锥的侧面展开图的面积是 （结果用π表示）．
14．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为 度．
15．如图，线段AB与AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∠ABC＝75°，BC＝4，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= °．
17．圆锥是由一个 和一个 围成的，它的底面是一个 ，侧面是一个 ．
连结顶点与底面圆心的线段圆锥的 h；
把连结圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段叫做圆锥的 ．
三、解答题
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．
19．如图，已知在中，．
（1）求点到直线的距离以及的长度．
（2）将绕线段所在的直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
20．内接于，D，F分别是与上的点，．连接并延长交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若为边长等于6的等边三角形，且．求．
21．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
22．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
23．已知，以长为半径作圆，使它经过点A和点B．这样的圆能作出几个？
24．已知，如图，是的直径，点为上一点，作弦于点，交于点，过点作直线交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
《第五章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C B B B D D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据题意先求出∠BOE=120°，再利用邻补角即可求出∠AOE.
【详解】∵D,C是劣弧EB的三等分点,
∴∠BOE=3∠BOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°
选B.
【点睛】此题主要考查圆的圆心角度数问题.
2．C
【详解】试题分析：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得AC的长，根据三角函数可得∠A的度数，即可求得结果.
作OC⊥AB于点C
则
∵
∴∠A=30°
∵OA=OB
∴∠AOB=120°
故选C.
考点：垂径定理，三角函数
点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.
3．C
【分析】设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，先利用垂径定理得到AC=2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE的长，再利用勾股定理即可求出BE．
【详解】解：设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，
由垂径定理得，
在Rt△OAC中，，
∴，
∴，
∴AE=5，
∵AE是圆O的直径，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．
4．C
【分析】设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果．
【详解】解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x，
∴MN=3，ON=1+，MC=ON
在中，
由勾股定理得：
x=8
又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9）
故答案为：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
5．C
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为r．
由题意：=6π，
∴r=9，
∴S扇形==27π，
故选择：C．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6．B
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求即可．
【详解】解：是的直径，
．
在中，．
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，三角函数的定义及计算，熟练掌握相关性质是解题的关键．
7．B
【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的圆心角也相等，依此判断即可.
【详解】A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦定理.弧、弦、圆心角三者中有一组量相等即可证得其它两组量也相等，但是前提必须是同圆或等圆中，这是此题易错之处.
8．B
【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，进一步求得旋转角为，由即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
，
绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处，
，
，
，
即，
，
，即旋转角为，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识点，推导出是解题的关键．
9．D
【分析】过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH=30°，
∴OH=OB=1，
∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3
∴
∴
故选：D
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．D
【分析】先根据勾股定理计算直径AB==2，作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=4，
∴AB==2，
∵CD=BD，
∴，
∴∠CAD=∠BAD，
过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，
∴PD=DQ，
∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），
∴CP=BQ，
易得△APD≌△AQD，
∴AP=AQ，
设PC=x，则AP=2+x，AQ=AB-BQ=2-x，
∴2+x=2-x，
x=-1，
∴BQ=CP=-1，OQ=1，
Rt△ODQ中，DQ=PD==2，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，
∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD=∠DCB，
∴∠ACE=∠ECB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ECB=45°，
过E作EF⊥AP于F，
∴△EFC是等腰直角三角形，
设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，
∵EF∥PD，
∴△AFE∽△APD，
∴，
∴，
∴a=3-，
∴CE=a=（3-）=3-.
故选D．
【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC是关键．
11．A
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=64°，
∴∠BOD=2∠A=128°.
故选A.
12．B
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
13．
【详解】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
【解答】解：如图是圆锥的轴截面，，有，，，
在中，由勾股定理知，，
则底面周长，圆锥侧面展开图的面积．
故答案为：．
．
【点睛】本题考查圆锥的计算，正确利用勾股定理，圆的周长公式，扇形的面积公式求解是解题关键．
14．60
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
【详解】连接OC、OD，
∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为60．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15．8
【分析】如图，连接OA，OB，OC，延长AO交BC于点H．根据S阴＝S△ABC﹣S△OBC +S扇形OBC，求解即可．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，延长AO交BC于点H．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=4，
∴OA=4，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
∴OH＝2，
∴AH=4+2，
∴S△ABC BC AH4×（4+2）＝8+4，S△OBC4，S扇形OBC
∴S阴＝S△ABC﹣S△OBC+ S扇形OBC＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，求扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，根据题意得到S阴＝S△ABC﹣S△OBC+ S扇形OBC是解题的关键．
16．215．
【详解】解：连接CE
∵五边形ABCDE为内接五边形
∴四边形ABCE为内接四边形
∴∠B+∠AEC=180°
又∵∠CAD＝35
∴∠CED＝35°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°
故答案为：215．
【点睛】本题考查正多边形和圆．
17． 底面 侧面 圆 曲面 高 母线
【解析】略
18．∠ABD=102°．
【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数．
【详解】解：∠AOB＝96°，
∴∠ACB＝48°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，
又∵点D是的中点，
∴，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键．
19．（1）A到BC的距离为2，BC的长度为；（2）
【分析】（1）过点作于点，利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AD，利用勾股定理求出BD和CD，从而求出BC；
（2）根据圆锥侧面积公式：S侧面积=（其中r为底面半径，l为母线长）计算即可．
【详解】（1）如图，过点作于点．
在中，
．
∴点到直线的距离为2
在中，
，
．
（2）将绕线段所在直线旋转一周，所得几何体的表面积为
【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和求圆锥侧面积，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理和圆锥侧面积公式是解决此题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据得到，然后根据圆内接四边形的性质和平角的概念得到，进而可证明；
（2）首先根据得到，代数求出，然后根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，然后根据正切值的求法求解即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵四边形是的内接四边形
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴为直角三角形
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，圆与三角形综合题，勾股定理的逆定理，三角函数等知识，解题的关键是根据题意证明出．
21．(1)即圆心O到AQ的距离为4cm；(2)EF=6cm.
【详解】试题分析：
（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．
试题解析：
（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH=AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH==3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm．
考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
22．图（2）是半圆形．理由见解析
【分析】根据的圆周角所对的弦是直径进行判断．
【详解】解：因为的圆周角所对的弦是直径，
所以图（2）中的圆弧为半圆形．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．属于基础题，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
23．2个
【分析】先作的垂直平分线，再以点为圆心，为半径作圆交于和，然后分别以和为圆心，以为半径作圆即可．
【详解】解：这样的圆能画2个．如图：
作的垂直平分线，再以点为圆心，为半径作圆交于和，然后分别以和为圆心，以为半径作圆，
则和为所求圆．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是找出圆心和．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，结合已知条件和角度的变换可得，即可证明是的切线，
（2）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得；
（3）连接，根据可求出，进而求得，最后结合三角函数进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
．
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：连接，如图，
是的半径，，
，
，
，
，
．
；
（3）解：连接，如图，
由（2）知：，
，，
．
，
，
．
是的直径，
．
，
．
．
，
．
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了三角函数的应用、圆周角定理和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
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