5.2圆的对称性同步练习（含解析）
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5.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设⊙O的半径为r，P到圆心的距离为d不大于r，则点P在( )
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．不在⊙O内 D．不在⊙O外
2．如下图，当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为( )
A． B． C．5 D．4
3．下列命题中正确的是（ ）
A．过圆心的线段叫做圆的直径 B．面积相等的两个圆是等圆
C．大于半圆的弧叫劣弧 D．平分弦的直径垂直于这条弦
4．如图AB为⊙O的定直径，过圆上一点C作弦，的平分线交⊙O于点P，当点C（不包括A，B两点）在⊙O上移动时，点P（ ）
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变
C．等分弧DB D．随C点移动而移动
5．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图．
将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图．
将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图．
连结AE、AF、BE、BF，如图．
经过以上操作，小芳得到了以下结论：
；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( )
A．AB＞CD B．AB＝CD
C．AB＜CD D．AB＝2CD
7．⊙O外一点到该圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是( )
A．2.5cm B．3.5cm C．4.5cm D．5cm
8．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．相等的弦所对的圆周角也相等
9．如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．16 D．8
11．如图，AB是的直径，弦，垂足为P，若，，则的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
二、填空题
12．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是
13．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，若AB=4，OC=，∠OCB=45°，则的半径为 .
14．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝ ．
15．在同圆或等圆中 弧叫等弧．
16．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于 ，OM的长为 ．
三、解答题
17．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）旋转中心是点________，旋转了________度．
（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？
（3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为________，并判断点C与⊙M的位置关系为_________．
18．如图所示，的弦， 垂直于，，，，求的半径.
19．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝，∠D＝30°．
(1)求证AD是⊙O的切线；
(2)若AC＝6，求AD的长．
20．【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．
【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．
【应用】
（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分．
21．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
《5.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B D B A D B A
题号 11
答案 A
1．D
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：已知点P到圆心O的距离d不大于r，当大于r时点P在圆外，因而则点P不在⊙O外．
故选D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
2．A
【详解】试题分析：根据垂径定理可将弦长的一半求出，由于刻度尺的一边与圆相切，可将弦心距表示出来，根据勾股定理可将该圆的半径求出．
解：过圆心作弦的垂线，设该圆的半径为R，则弦心距为R-3，
由勾股定理得：R2=（R-3）2+（×8）2，得：R=cm，
即该圆半径为cm．
故选A.
考点：垂径定理.
3．B
【分析】运用直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理逐一判断．
【详解】A、直径是经过圆心的弦，两端点要在圆上，错误；
B、圆的面积相等，则它们的半径相等，是等圆，正确；
C、大于半圆的弧叫优弧，错误；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，错误；
故选B．
【点睛】本题考查了直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理．
4．B
【分析】连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，可得 所以有，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．从而可得答案．
【详解】解：连OP，如图，
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠2，
OC=OP，
∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴，
又∵弦CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的对称性，掌握以上知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；
根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；
设圆的半径为r，求出EN= ，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．
【详解】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD=90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF=90°，
∴∠BMD=∠BNF=90°，
∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
∵ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则EN=， ∴EF=2EN=，
∴S四边形AEBF：S扇形BEMF=
故④正确，
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．
6．B
【详解】在同圆或等圆中，∵=，∴AB=CD.
故选B
点睛：同圆或等圆中，等弧对等弦．
7．A
【分析】根据点A到圆的最大距离与最小距离的差可得出圆的直径，进而得出半径的长．
【详解】如图所示，
半径OB=（PB-PA）÷2=2.5cm；
故圆的半径为2.5cm.
故选A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知圆外一点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解答此题的关键．
8．D
【详解】试题分析：A．过圆心的弦是圆的直径，说法正确；
B．等弧的长度一定相等，说法正确；
C．周长相等的两个圆是等圆，说法正确；
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧；
故选D．
考点：圆的认识．
9．B
【分析】连接、，由，得到，所以①错误；由是直径，得到，利用勾股定理求出的长，进而可判断，，故②③正确，由得到，所以④正确．
【详解】解：连接、，如图，
，，
，即，
而，
，
，所以①错误；
∵是直径，
，
，
，
，所以②正确；
，所以③正确；
，
，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同弧或等弧所对的弦相等，解题的关键是弧长与弦长的相互转化．
10．A
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2求出CO及OP的长，再根据勾股定理可求出AP的长，进而得出结论．
【详解】连接OA，
∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，
∴CO＝6，PO=4，
∵AB⊥CD，
∴AP= == ，
∴AB＝2AP＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
11．A
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
【详解】连接OC，
∵CD⊥AB，CD=16，
∴PC=CD=×16=8，
在Rt△OCP中，
∵PC=8，OP=6，
∴OC= .
故选A.
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
12．6
【详解】由题意，得
该圆的半径为：. 理由如下.
如图，设圆心为点O，该圆内的点为点P，过点P作直径CD，过点P作弦AB⊥CD.
不妨在圆周上任意取异于点D与点C的两点D1，D2. 连接OD1，OD2，PD1，PD2.
设该圆的半径为r，则OD=OC=OD1=OD2=r.
点P到点D的距离PD=OD-OP=r-OP，点P到点C的距离PC=OC+OP=r+OP.
∴PC>PD.
在△OPD1中，PD1>OD1-OP=r-OP=PD；在△OPD2中，PD2>OD2-OP=r-OP=PD.
∴PD1>PD，PD2>PD，PC>PD.
∴点P到点D的距离PD是点P与圆周上的点的最小距离.
在△OPD1中，PD1∴PD1∴点P到点C的距离PC是点P与圆周上的点的最大距离.
综上所述，对于圆内的一点，它到圆周上的点的最大距离与最小距离之和恰好等于圆的直径，故该圆的半径为上述最大距离与最小距离之和的一半.
故本题应填写：6.
点睛：
本题综合考查了圆的相关性质. 利用三角形三边的关系可以证明：若已知圆内一点到圆周上的点的最大距离和最小距离，则该圆的半径等于上述最大距离与最小距离之和的一半；若已知圆外一点到圆周上的点的最大距离和最小距离，则该圆的半径等于上述最大距离与最小距离之差的一半. 另外，三角形三边的关系是解决平面几何中最值问题的一个重要方法，需要充分理解和掌握.
13．
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，由垂径定理可得BD=2；在Rt△OCD中，求得OD=1；在Rt△ODB中，利用勾股定理求得OB的长，由此即可求得⊙O的半径.
【详解】过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，
∵AB=4，OD⊥AB，
∴BD=2;
在Rt△OCD中，OC=，∠OCB=45°，
∴OD=1，
在Rt△ODB中，OD=1,BD=2，
∴OB=.
即⊙O的半径为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键.
14．5
【详解】如图，OC是弦AB的弦心距，
∴AC=,
∴.
15．能完全重合的
【分析】根据等弧的定义解答即可.
【详解】在同圆或等圆中能完全重合的弧叫等弧，
故答案为能完全重合的
【点睛】本题考查圆的有关定义，熟练掌握等弧的定义是解题关键.
16． 5cm 3cm
【分析】如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，由已知可得AD=10cm，BC=8cm，然后利用勾股定理求得OM的长即可.
【详解】
如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，
由已知可得AD=10cm，BC=8cm，
∴OA=OB=5cm，BM=4cm，
则OM==3cm.
故答案为5cm；3cm.
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识点，垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
17．（1）A，90；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）EF的一半，点C在⊙M上
【分析】（1）利用旋转的定义直接填写即可；
（2）可证明△ADE≌△ABF，可得出AE＝AF，且可求得∠EAF＝90°；
（3）由（2）可知M在EF的中点上，所以半径为EF的一半，利用圆周角定理可知点C在圆上．
【详解】（1）由旋转的定义可知旋转中心为A，AD从AD到AB，可知旋转了90°．
故答案为A；90；
（2）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°．
∵△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF，∠DAB＝∠EAF＝90°，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形；
（3）∵△AEF为等腰直角三角形，∴M点在EF的中点，其外接圆如图，∵∠ECF＝90°，∴点C在⊙M上．
故答案为EF的一半；点C在⊙M上．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的图形全等是解题的关键．注意直角三角形的外心在斜边的中点上．
18．圆的半径为
【分析】过作弦心距，，连结,根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出OC的长
【详解】过作弦心距，，连结
又，，
由垂径定理知
∵，垂直于，
∴为矩形，，
在中，由勾股定理
得出，即圆的半径为
【点睛】本题考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OC是解决问题的关键．
19．(1) 证明见解析； (2) ．
【详解】试题分析：（1）要证明AD是⊙O的切线，只要证明∠OAD=90°即可；
（2）根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=6，则可以利用勾股定理求得AD的长．
解：(1) 如图所示，连接OA．∵sin B＝，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切线．
(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形．∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝．
20．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）在圆上取相等的两段弧，使，则有，然后过圆心分别作弦、的垂线，垂足分别为，，然后通过三角形全等证明弦心距；
（2）过点作，，垂足分别为、，结合（1）的结论证明，利用全等三角形的性质得到．
【详解】（1）已知：，于点，于点．
求证：．
证明：∵，∴．
∵，，
∴，，∴．
在和中，，
∴（HL），
∴．
（2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接．
由（1）可知，当时，．
在和中，，
∵
∴（HL），
∴，即平分．
【点睛】本题考查圆的弦、弦心距等相关问题，解答时，垂径定理、直角三角形全等的证明等知识点的运用是关键．
21．(1)56°；(2)．
【详解】试题分析：（1）根据垂径定理得到=，根据圆周角定理解答；
（2）根据圆周角定理得到∠C=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，根据余弦的定义求出BE即可．
试题解析：（1）∵OA⊥BC，
∴=，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，
∴∠B=30°，
∴BE==，
∴⊙O的半径为．
考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
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5.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设⊙O的半径为r，P到圆心的距离为d不大于r，则点P在( )
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．不在⊙O内 D．不在⊙O外
2．如下图，当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为( )
A． B． C．5 D．4
3．下列命题中正确的是（ ）
A．过圆心的线段叫做圆的直径 B．面积相等的两个圆是等圆
C．大于半圆的弧叫劣弧 D．平分弦的直径垂直于这条弦
4．如图AB为⊙O的定直径，过圆上一点C作弦，的平分线交⊙O于点P，当点C（不包括A，B两点）在⊙O上移动时，点P（ ）
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变
C．等分弧DB D．随C点移动而移动
5．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图．
将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图．
将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图．
连结AE、AF、BE、BF，如图．
经过以上操作，小芳得到了以下结论：
；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( )
A．AB＞CD B．AB＝CD
C．AB＜CD D．AB＝2CD
7．⊙O外一点到该圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是( )
A．2.5cm B．3.5cm C．4.5cm D．5cm
8．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆
D．相等的弦所对的圆周角也相等
9．如图，在⊙O中，是直径，点C，D，E在圆上，，，，．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．16 D．8
11．如图，AB是的直径，弦，垂足为P，若，，则的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
二、填空题
12．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是
13．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，若AB=4，OC=，∠OCB=45°，则的半径为 .
14．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝ ．
15．在同圆或等圆中 弧叫等弧．
16．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于 ，OM的长为 ．
三、解答题
17．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）旋转中心是点________，旋转了________度．
（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？为什么？
（3）请用尺规作图画出△AEF的外接圆，标明圆心M的位置，量出半径的长度为________，并判断点C与⊙M的位置关系为_________．
18．如图所示，的弦， 垂直于，，，，求的半径.
19．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝，∠D＝30°．
(1)求证AD是⊙O的切线；
(2)若AC＝6，求AD的长．
20．【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．
【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．
【应用】
（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分．
21．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
《5.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B D B A D B A
题号 11
答案 A
1．D
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：已知点P到圆心O的距离d不大于r，当大于r时点P在圆外，因而则点P不在⊙O外．
故选D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
2．A
【详解】试题分析：根据垂径定理可将弦长的一半求出，由于刻度尺的一边与圆相切，可将弦心距表示出来，根据勾股定理可将该圆的半径求出．
解：过圆心作弦的垂线，设该圆的半径为R，则弦心距为R-3，
由勾股定理得：R2=（R-3）2+（×8）2，得：R=cm，
即该圆半径为cm．
故选A.
考点：垂径定理.
3．B
【分析】运用直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理逐一判断．
【详解】A、直径是经过圆心的弦，两端点要在圆上，错误；
B、圆的面积相等，则它们的半径相等，是等圆，正确；
C、大于半圆的弧叫优弧，错误；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，错误；
故选B．
【点睛】本题考查了直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理．
4．B
【分析】连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，可得 所以有，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．从而可得答案．
【详解】解：连OP，如图，
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠2，
OC=OP，
∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴，
又∵弦CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的对称性，掌握以上知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；
根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；
设圆的半径为r，求出EN= ，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．
【详解】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD=90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF=90°，
∴∠BMD=∠BNF=90°，
∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
∵ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则EN=， ∴EF=2EN=，
∴S四边形AEBF：S扇形BEMF=
故④正确，
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．
6．B
【详解】在同圆或等圆中，∵=，∴AB=CD.
故选B
点睛：同圆或等圆中，等弧对等弦．
7．A
【分析】根据点A到圆的最大距离与最小距离的差可得出圆的直径，进而得出半径的长．
【详解】如图所示，
半径OB=（PB-PA）÷2=2.5cm；
故圆的半径为2.5cm.
故选A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知圆外一点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解答此题的关键．
8．D
【详解】试题分析：A．过圆心的弦是圆的直径，说法正确；
B．等弧的长度一定相等，说法正确；
C．周长相等的两个圆是等圆，说法正确；
D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧；
故选D．
考点：圆的认识．
9．B
【分析】连接、，由，得到，所以①错误；由是直径，得到，利用勾股定理求出的长，进而可判断，，故②③正确，由得到，所以④正确．
【详解】解：连接、，如图，
，，
，即，
而，
，
，所以①错误；
∵是直径，
，
，
，
，所以②正确；
，所以③正确；
，
，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同弧或等弧所对的弦相等，解题的关键是弧长与弦长的相互转化．
10．A
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2求出CO及OP的长，再根据勾股定理可求出AP的长，进而得出结论．
【详解】连接OA，
∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，
∴CO＝6，PO=4，
∵AB⊥CD，
∴AP= == ，
∴AB＝2AP＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
11．A
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
【详解】连接OC，
∵CD⊥AB，CD=16，
∴PC=CD=×16=8，
在Rt△OCP中，
∵PC=8，OP=6，
∴OC= .
故选A.
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
12．6
【详解】由题意，得
该圆的半径为：. 理由如下.
如图，设圆心为点O，该圆内的点为点P，过点P作直径CD，过点P作弦AB⊥CD.
不妨在圆周上任意取异于点D与点C的两点D1，D2. 连接OD1，OD2，PD1，PD2.
设该圆的半径为r，则OD=OC=OD1=OD2=r.
点P到点D的距离PD=OD-OP=r-OP，点P到点C的距离PC=OC+OP=r+OP.
∴PC>PD.
在△OPD1中，PD1>OD1-OP=r-OP=PD；在△OPD2中，PD2>OD2-OP=r-OP=PD.
∴PD1>PD，PD2>PD，PC>PD.
∴点P到点D的距离PD是点P与圆周上的点的最小距离.
在△OPD1中，PD1
综上所述，对于圆内的一点，它到圆周上的点的最大距离与最小距离之和恰好等于圆的直径，故该圆的半径为上述最大距离与最小距离之和的一半.
故本题应填写：6.
点睛：
本题综合考查了圆的相关性质. 利用三角形三边的关系可以证明：若已知圆内一点到圆周上的点的最大距离和最小距离，则该圆的半径等于上述最大距离与最小距离之和的一半；若已知圆外一点到圆周上的点的最大距离和最小距离，则该圆的半径等于上述最大距离与最小距离之差的一半. 另外，三角形三边的关系是解决平面几何中最值问题的一个重要方法，需要充分理解和掌握.
13．
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，由垂径定理可得BD=2；在Rt△OCD中，求得OD=1；在Rt△ODB中，利用勾股定理求得OB的长，由此即可求得⊙O的半径.
【详解】过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，
∵AB=4，OD⊥AB，
∴BD=2;
在Rt△OCD中，OC=，∠OCB=45°，
∴OD=1，
在Rt△ODB中，OD=1,BD=2，
∴OB=.
即⊙O的半径为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键.
14．5
【详解】如图，OC是弦AB的弦心距，
∴AC=,
∴.
15．能完全重合的
【分析】根据等弧的定义解答即可.
【详解】在同圆或等圆中能完全重合的弧叫等弧，
故答案为能完全重合的
【点睛】本题考查圆的有关定义，熟练掌握等弧的定义是解题关键.
16． 5cm 3cm
【分析】如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，由已知可得AD=10cm，BC=8cm，然后利用勾股定理求得OM的长即可.
【详解】
如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，
由已知可得AD=10cm，BC=8cm，
∴OA=OB=5cm，BM=4cm，
则OM==3cm.
故答案为5cm；3cm.
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识点，垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
17．（1）A，90；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）EF的一半，点C在⊙M上
【分析】（1）利用旋转的定义直接填写即可；
（2）可证明△ADE≌△ABF，可得出AE＝AF，且可求得∠EAF＝90°；
（3）由（2）可知M在EF的中点上，所以半径为EF的一半，利用圆周角定理可知点C在圆上．
【详解】（1）由旋转的定义可知旋转中心为A，AD从AD到AB，可知旋转了90°．
故答案为A；90；
（2）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°．
∵△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF，∠DAB＝∠EAF＝90°，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形；
（3）∵△AEF为等腰直角三角形，∴M点在EF的中点，其外接圆如图，∵∠ECF＝90°，∴点C在⊙M上．
故答案为EF的一半；点C在⊙M上．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的图形全等是解题的关键．注意直角三角形的外心在斜边的中点上．
18．圆的半径为
【分析】过作弦心距，，连结,根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出OC的长
【详解】过作弦心距，，连结
又，，
由垂径定理知
∵，垂直于，
∴为矩形，，
在中，由勾股定理
得出，即圆的半径为
【点睛】本题考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OC是解决问题的关键．
19．(1) 证明见解析； (2) ．
【详解】试题分析：（1）要证明AD是⊙O的切线，只要证明∠OAD=90°即可；
（2）根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=6，则可以利用勾股定理求得AD的长．
解：(1) 如图所示，连接OA．∵sin B＝，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切线．
(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形．∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝．
20．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）在圆上取相等的两段弧，使，则有，然后过圆心分别作弦、的垂线，垂足分别为，，然后通过三角形全等证明弦心距；
（2）过点作，，垂足分别为、，结合（1）的结论证明，利用全等三角形的性质得到．
【详解】（1）已知：，于点，于点．
求证：．
证明：∵，∴．
∵，，
∴，，∴．
在和中，，
∴（HL），
∴．
（2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接．
由（1）可知，当时，．
在和中，，
∵
∴（HL），
∴，即平分．
【点睛】本题考查圆的弦、弦心距等相关问题，解答时，垂径定理、直角三角形全等的证明等知识点的运用是关键．
21．(1)56°；(2)．
【详解】试题分析：（1）根据垂径定理得到=，根据圆周角定理解答；
（2）根据圆周角定理得到∠C=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，根据余弦的定义求出BE即可．
试题解析：（1）∵OA⊥BC，
∴=，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，
∴∠B=30°，
∴BE==，
∴⊙O的半径为．
考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
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