5.3垂径定理同步练习（含解析）
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5.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON垂直AB，垂足为N，则ON的长度为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）
A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm
3．如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，是弦，，半径为4，．则的长（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的弦交直径于E，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
7．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
8．如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】
A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
10．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（ ）
A．8 B．2 C．2或8 D．3或7
11．在Rt△ ABC中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（ ）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
二、填空题
13．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于 ，OM的长为 ．
14．如图所示，在内有折线，其中，则的长为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
16．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是 cm．
17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=cm，则AB= cm．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中的上，有弦，取的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，称点Q为弦的“中点对应点”．设是以为圆心，半径为2的圆．
(1)已知弦长度为2，点Q为弦的“中点对应点”．
①当轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段的长度；
②当在圆上运动时，直接写出线段的取值范围．
(2)已知点，点N为上的一动点，设直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段上存在弦的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．
19．在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽为，当油面宽为时，油上升了多少厘米？
王源的解题步骤如下：
[解]连接，过点作于点．
于点，且为弦，．
当时，在中，．
当时，在中，．
．即油上升了．
请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．
20．如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点．
(1)求的度数；
(2)证明：是的中点．
21．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．
（1）求OD的长．
（2）求EC的长．
22．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
24．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
《5.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C D B B B D C
题号 11 12
答案 A C
1．B
【分析】根据⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【详解】解：由题意可得，
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的主要内容，利用垂径定理解答问题．
2．C
【分析】连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，先根据钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm求出OA及OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，由垂径定理即可得出结论．
【详解】
解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OA=5mm，OD=8-5=3mm，
∵OD⊥AB，
∴在Rt△OAD中，AD===4mm，
∴AB=2AD=8mm．
故选C．
【点睛】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．C
【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案．
【详解】解：是的直径，为弦，于点E，
，，
B、D选项结论成立，不符合题意；
，
，
A选项结论成立，不符合题意；
无法判断，
C选项结论不成立，符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键．
4．C
【分析】作于点C，连接，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得，根据勾股定理可得的长，再根据垂径定理可得的长．
【详解】解：如图，作于点C，连接，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理以及勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．D
【分析】过点O作于点F，先根据已知条件求出，则，再根据垂径定理得到，则，利用勾股定理求出即可求出．
【详解】解：过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴由垂径定理可知：，
∴，
∴由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理相关知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．B
【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.
【详解】A.直径是弦，正确.
B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,
∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.
C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.
D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
7．B
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．
【详解】解：∵直径AB⊥弦CD
∴CE＝DE
故选B.
【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．
8．B
【分析】设这个门拱的半径为r，则OB=r-1，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】设这个门拱的半径为r，则OB=r 1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC=CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC+OB=OC,即2+(r 1) =r，解得r=2.5m.
故选B.
【点睛】此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于求出BC的长.
9．D
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
∵B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D．
10．C
【详解】如图，连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴根据垂径定理，CE=DE=CD=×8=4．
在Rt△OCE中，OC=AB=5，
∴根据勾股定理，．
当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE=5﹣3=2；
当点E在半径OA上时，BE=OB+OE=5+3=8．
∴BE的长为2或8．
故选：C．
11．A
【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【详解】解：如图，过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，
∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AC BC＝AB CF，
∴CF＝，
∴OG＝CF OC＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点睛】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
12．C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
【详解】解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，
∴，本选项错误不符合题意；
B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
13． 5cm 3cm
【分析】如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，由已知可得AD=10cm，BC=8cm，然后利用勾股定理求得OM的长即可.
【详解】
如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，
由已知可得AD=10cm，BC=8cm，
∴OA=OB=5cm，BM=4cm，
则OM==3cm.
故答案为5cm；3cm.
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识点，垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
14．
【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，连接OB，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD的长，进而可得BD，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．
【详解】解：过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，如图所示：
∴BE=CE，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴OH=4，
∵∠HDB=90°，
∴∠HOE=30°，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
15．4
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
16．100
【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．
【详解】如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．
设AO=OB=r
则OC=r-20，BC=
有
化简得r=50
故新管道直径为100cm．
故答案为：100．
【点睛】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．
17．
【分析】根据∠D=30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB=2AH计算出AB．
【详解】在中，∠D=30°
∴
∴cm
∵弦AB⊥CD
∴cm
故答案为：
【点睛】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
18．(1)①图见解析，；②；
(2)．
【分析】（1）①连接、，由题意可得，求得点的坐标，即可求解，由旋转的性质可得，利用勾股定理即可求解；②确定点的运动轨迹，即可求解；
（2）如图，在上，记与轴的交点记为，，当靠近时，为分界点，可得此时的最小值，当靠近时，如图，连接，设点，根据旋转的性质可得，弦的中点，求得点的坐标，根据，得到关于的一元二次方程，根据判别式，可得的最大值，从而即可求解．
【详解】（1）解：①连接、，如下图：
由题意可得：，，，，
由勾股定理可得：，
即，
将点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，则点，
由旋转的性质可得：；
②由①可得，则当在圆上运动时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
取点，连接，如下图，
由题意可得：，，，
∴
∴，
∴点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
则，
则的最小值为：，最大值为，
即．
（2）解：如图，∵在上，
记与轴的交点记为，，当靠近时，为分界点，
此时，，重合，，重合，，重合，
∴过，
∴，
当靠近时，如图，连接，
由题意设点，
根据旋转的性质可得，弦的中点
又，则，
由题意可得，即，
化简可得：，
由题意可得：，
解得：，
综上．
【点睛】此题考查了圆的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关基础性质．
19．王源的解题过程不正确．正确解题步骤见解析．油上升了或．
【分析】连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm和8cm时OC的长度，即可得出结论．
【详解】王源的解题过程不正确．正确解题步骤如下：
连接，过点作于点，如图所示．
∵于点，且为弦，．
当时，在中，，；
当时，在中，．
或．
答：油上升了或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC的长，根据OC的变化来得出结论．
20．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，，从而得出，推出是等边三角形，即可得出结论；
（2）证明出是等边三角形，结合得出，即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，为的直径，
，
垂直平分，
，
为的中点，过圆心，
，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，，
（2）解：为的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，即是的中点．
21．（1）5 （2）
【分析】(1)设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值；
(2)连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
【详解】解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
AC＝BC＝AB＝4，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
r＝5，
∴OD＝r＝5；
(2)连接BE，如图：
由(1)得：AE＝2r＝10，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
由勾股定理得：BE＝6，
在Rt△ECB中，EC＝＝＝2．
故答案为(1)5；(2).
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．(1)见解析;(2) 169πcm .
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长，由圆的面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x 8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122＋（x 8）2，
解得：x＝13．
即：圆的半径为13cm．
所以圆的面积为：×132＝169（cm2）．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
23．（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为5．
【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图．
依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
（2）如图，连接OD，
∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝8，
∴PD＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24．OE=OF，证明见解析.
【详解】试题分析：
过O作OM⊥AB于M，
∴AM=BM
∵AE=BF
∴EM="FM"
即OM垂直平分EF
∴OE=OF
考点：本题考查的是垂径定理，垂直平分线的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
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5.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON垂直AB，垂足为N，则ON的长度为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）
A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm
3．如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，是弦，，半径为4，．则的长（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的弦交直径于E，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
7．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
8．如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】
A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
10．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（ ）
A．8 B．2 C．2或8 D．3或7
11．在Rt△ ABC中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（ ）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
二、填空题
13．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于 ，OM的长为 ．
14．如图所示，在内有折线，其中，则的长为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
16．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是 cm．
17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=cm，则AB= cm．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中的上，有弦，取的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，称点Q为弦的“中点对应点”．设是以为圆心，半径为2的圆．
(1)已知弦长度为2，点Q为弦的“中点对应点”．
①当轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段的长度；
②当在圆上运动时，直接写出线段的取值范围．
(2)已知点，点N为上的一动点，设直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段上存在弦的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．
19．在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽为，当油面宽为时，油上升了多少厘米？
王源的解题步骤如下：
[解]连接，过点作于点．
于点，且为弦，．
当时，在中，．
当时，在中，．
．即油上升了．
请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．
20．如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点．
(1)求的度数；
(2)证明：是的中点．
21．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．
（1）求OD的长．
（2）求EC的长．
22．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．
（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
24．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
《5.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C D B B B D C
题号 11 12
答案 A C
1．B
【分析】根据⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【详解】解：由题意可得，
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的主要内容，利用垂径定理解答问题．
2．C
【分析】连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，先根据钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm求出OA及OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，由垂径定理即可得出结论．
【详解】
解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OA=5mm，OD=8-5=3mm，
∵OD⊥AB，
∴在Rt△OAD中，AD===4mm，
∴AB=2AD=8mm．
故选C．
【点睛】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．C
【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案．
【详解】解：是的直径，为弦，于点E，
，，
B、D选项结论成立，不符合题意；
，
，
A选项结论成立，不符合题意；
无法判断，
C选项结论不成立，符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键．
4．C
【分析】作于点C，连接，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得，根据勾股定理可得的长，再根据垂径定理可得的长．
【详解】解：如图，作于点C，连接，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理以及勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．D
【分析】过点O作于点F，先根据已知条件求出，则，再根据垂径定理得到，则，利用勾股定理求出即可求出．
【详解】解：过点O作于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴由垂径定理可知：，
∴，
∴由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理相关知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．B
【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.
【详解】A.直径是弦，正确.
B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,
∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.
C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.
D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
7．B
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．
【详解】解：∵直径AB⊥弦CD
∴CE＝DE
故选B.
【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．
8．B
【分析】设这个门拱的半径为r，则OB=r-1，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】设这个门拱的半径为r，则OB=r 1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC=CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC+OB=OC,即2+(r 1) =r，解得r=2.5m.
故选B.
【点睛】此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于求出BC的长.
9．D
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
∵B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D．
10．C
【详解】如图，连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴根据垂径定理，CE=DE=CD=×8=4．
在Rt△OCE中，OC=AB=5，
∴根据勾股定理，．
当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE=5﹣3=2；
当点E在半径OA上时，BE=OB+OE=5+3=8．
∴BE的长为2或8．
故选：C．
11．A
【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【详解】解：如图，过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，
∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AC BC＝AB CF，
∴CF＝，
∴OG＝CF OC＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点睛】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
12．C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
【详解】解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，
∴，本选项错误不符合题意；
B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
13． 5cm 3cm
【分析】如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，由已知可得AD=10cm，BC=8cm，然后利用勾股定理求得OM的长即可.
【详解】
如图，过⊙O内一点M的最长的弦为直角AD，最短的弦为垂直OM的弦BC，
由已知可得AD=10cm，BC=8cm，
∴OA=OB=5cm，BM=4cm，
则OM==3cm.
故答案为5cm；3cm.
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识点，垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
14．
【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，连接OB，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD的长，进而可得BD，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．
【详解】解：过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，如图所示：
∴BE=CE，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴OH=4，
∵∠HDB=90°，
∴∠HOE=30°，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
15．4
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
16．100
【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．
【详解】如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．
设AO=OB=r
则OC=r-20，BC=
有
化简得r=50
故新管道直径为100cm．
故答案为：100．
【点睛】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．
17．
【分析】根据∠D=30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB=2AH计算出AB．
【详解】在中，∠D=30°
∴
∴cm
∵弦AB⊥CD
∴cm
故答案为：
【点睛】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
18．(1)①图见解析，；②；
(2)．
【分析】（1）①连接、，由题意可得，求得点的坐标，即可求解，由旋转的性质可得，利用勾股定理即可求解；②确定点的运动轨迹，即可求解；
（2）如图，在上，记与轴的交点记为，，当靠近时，为分界点，可得此时的最小值，当靠近时，如图，连接，设点，根据旋转的性质可得，弦的中点，求得点的坐标，根据，得到关于的一元二次方程，根据判别式，可得的最大值，从而即可求解．
【详解】（1）解：①连接、，如下图：
由题意可得：，，，，
由勾股定理可得：，
即，
将点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，则点，
由旋转的性质可得：；
②由①可得，则当在圆上运动时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
取点，连接，如下图，
由题意可得：，，，
∴
∴，
∴点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
则，
则的最小值为：，最大值为，
即．
（2）解：如图，∵在上，
记与轴的交点记为，，当靠近时，为分界点，
此时，，重合，，重合，，重合，
∴过，
∴，
当靠近时，如图，连接，
由题意设点，
根据旋转的性质可得，弦的中点
又，则，
由题意可得，即，
化简可得：，
由题意可得：，
解得：，
综上．
【点睛】此题考查了圆的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关基础性质．
19．王源的解题过程不正确．正确解题步骤见解析．油上升了或．
【分析】连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm和8cm时OC的长度，即可得出结论．
【详解】王源的解题过程不正确．正确解题步骤如下：
连接，过点作于点，如图所示．
∵于点，且为弦，．
当时，在中，，；
当时，在中，．
或．
答：油上升了或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC的长，根据OC的变化来得出结论．
20．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，，从而得出，推出是等边三角形，即可得出结论；
（2）证明出是等边三角形，结合得出，即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，为的直径，
，
垂直平分，
，
为的中点，过圆心，
，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，，
（2）解：为的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，即是的中点．
21．（1）5 （2）
【分析】(1)设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值；
(2)连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
【详解】解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
AC＝BC＝AB＝4，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
r＝5，
∴OD＝r＝5；
(2)连接BE，如图：
由(1)得：AE＝2r＝10，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
由勾股定理得：BE＝6，
在Rt△ECB中，EC＝＝＝2．
故答案为(1)5；(2).
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．(1)见解析;(2) 169πcm .
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长，由圆的面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x 8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122＋（x 8）2，
解得：x＝13．
即：圆的半径为13cm．
所以圆的面积为：×132＝169（cm2）．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
23．（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为5．
【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论．
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图．
依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
（2）如图，连接OD，
∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，
∴∠OPD＝90°，PD＝CD，
∵CD＝8，
∴PD＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2，
在Rt△ODP中，∠OPD＝90°，
∴OD2＝OP2+PD2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24．OE=OF，证明见解析.
【详解】试题分析：
过O作OM⊥AB于M，
∴AM=BM
∵AE=BF
∴EM="FM"
即OM垂直平分EF
∴OE=OF
考点：本题考查的是垂径定理，垂直平分线的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
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