5.4圆周角和圆心角的关系同步练习（含解析）

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5.4圆周角和圆心角的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )
A．22° B．26° C．32° D．68°
2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝20°，则∠BOD的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．如图，已知是的直径，若，点在上，则等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
5．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
7．如图，的内接四边形中，，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　）
A． B．2 C．2 D．3
9．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF
10．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED的度数为（　　）
A．90° B．120° C．135° D．150°
11．如图，在中，弦=弦，则图中相等的圆周角的对数是（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
12．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
二、填空题
13．如图，为的直径，点，，在上，且，，则的度数为 ．
14．下面是“作一个角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点A． 求作：，使得． 作法：如图， （1）作射线； （2）在射线取一点O，以O为圆心，为半径作圆，与射线相交于点C； （3）以C为圆心，C为半径作弧，与交于点D，作射线． 则即为所求的角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
15．如图，线段，以线段为斜边作，，的平分线与线段的垂直平分线交于点，则线段的取值范围为 ．
16．如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ．
17．如图，在中，，，半径，则 ．
三、解答题
18．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接于点G．
(1)作于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若正方形的面积等于8，，求的长．
19．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
20．已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R．
(1)若，，求：
①______（用R的代数式表示）；
②的半径长．
(2)求证：．
21．如图，已知点在上，，连接，．求证：．

22．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断和是否相等，并说明理由．
23．“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：
实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如实例图一），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．他利用直角边为a和b，斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形（如实例图一），由得，化简得：．

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上载取，则的长就是该方程的一个正根（如实例图二）．

根据以上阅读材料回答下面的问题：
(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______．乙图要证明的数学公式是______；

(2)如图2，利用欧几里得的方法求方程的一个正根．

(3)如图3，已知，为直径，点C为圆上一点，过点C作于点D，连接，设，，请利用图3证明：．

24．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
《5.4圆周角和圆心角的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D C B C B C D B
题号 11 12
答案 D B
1．A
【详解】试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC可得：∠OBC=∠OCB=22°.
考点：圆周角的计算
2．D
【分析】根据垂径定理，由弧等得圆心角相等∠COB=∠DOB，根据圆周角定理求即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，
∴
∴∠COB=∠DOB，
∵∠COB=2∠CAB，∠CAB=20°，
∴∠BOD=∠BOC=2×20°=40°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧，弦的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．D
【分析】由是的直径，可得的值，又由，则可得，由圆周角定理可得.
【详解】由是的直径，可得，又由，则可得，由圆周角定理可得.故选择D项.
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理.
4．C
【详解】解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．
5．B
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到再根据得到三角形是等腰三角形，即，从而求得即可得出的度数．
【详解】解：如图所示：连接CD，
∵在中，
即的度数是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，解题时，综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．
6．C
【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.
【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r，
故OE=r-1，
∵AB=10，∴AE=5，
由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，
解得r=13，故CD=2r=26
故选C
【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.
7．B
【分析】直接利用圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质．掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．C
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
9．D
【分析】在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可．
【详解】如图，在弧EF上取一点M，使，

则，
所以AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
所以AB+CD＞EF，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．
10．B
【分析】连接AC，根据菱形的性质得到△ABC、△ACD是等边三角形，求出∠BCD=120°，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】如图，连接AC
∴AC=AB=AD
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=AD=CD=AC
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴∠ACB=∠ACD=60°
∴∠BCD=120°
∵优弧
∴∠BED=∠BCD=120°
故选B．
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及圆周角定理．
11．D
【分析】根据弦和弦相等可得：∠1、∠2、∠3和∠4中任何两个角都相等，则有6对，又因为∠7=∠8，∠5=∠6，则相等的圆周角共有8对．
【详解】∵弦=弦
∴，
即
又∵，，
∴相等的圆周角共有8对．
故选：D．
【点睛】此题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键是熟练掌握上述知识．
12．B
【分析】先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解
【详解】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
13．
【分析】连接、，由圆周角定理得出，进而结合题意得出，由圆心角、弧、弦的关系定理，即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接、，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．
14．同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是三角形，等边三角形的内角是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．
【分析】根据尺规作图过程，进行证明，即可得出结论．
【详解】解：证明：连接CD，OD．
由圆的定义和尺规作图得：OD=OC=CD，（圆的半径都相等）
∴△OCD是等边三角形，（三边相等的三角形是三角形）
∴∠DOC=60°，（等边三角形的内角是）
∴．（一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半）
故答案为：同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是三角形，等边三角形的内角是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．
【点睛】本题考查了尺规作图的综合应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．
15．
【分析】因为AB是直角三角形的斜边，可以看成是点C在以AB为直径的圆上，通过可以判断点C在圆弧EB之间，而在点E、点B位置是极限位置，求出在这两点时CM的值即可．
【详解】∵AB是直角三角形ABC的斜边，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∵，DM是AB的垂直平分线，
∴点C在圆弧ECB之间的圆弧上，
∵CN是∠ACB的平分线，
∴CN与圆弧AB相交于的中点，
∵DM是AB的垂直平分线，
∴DM与圆弧AB相交于的中点，
所以CN、DM、交于一点，即M点，
∵AB=4，
∴BD=DM=2，
如图1，当B，重合时，CM最小，
，
因为此时三角形不存在（成为线段），所以应取，
如图2，当点C在E点时，CM最大，为圆D的直径，
∴，
因为此时AC=BC，不符题意，所以应取，
所以CM的范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆直角三角形，熟练运用直径所对的圆周角为直角、等弧对等角、垂径定理是解题关键．
16．或或
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接，
∵点C为半圆上的四等分点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段上时，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段延长线上时，
∵，
∴，
设，则
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
17．2
【分析】连结OA、OB、AC、BC，则由AC=BC可以推得弧AC=弧BC，由垂径定理可得AD=BD，OD⊥AB，再根据勾股定理可以得到OD的值，最后可以算得CD的值．
【详解】解：连结OA、OB、AC、BC，
∵AC=BC，
∴弧AC=弧BC，
∴OD⊥AB，AD=BD=4，
∵OA=5，
∴在RT△OAD中，OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握垂径定理、等弦对等弧的性质及勾股定理的应用是解题关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的垂直平分线交于点O，以为半径作半圆交于点F，连接，则；
（2）由正方形的面积等于8可得，即，由勾股定理求出，证明得，再证明得，从而可求出．
【详解】（1）如图所示，即为所求，
（2）∵正方形的面积等于8，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
又，
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，求出的长是解答本题的关键．
19．证明见解析
【分析】延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论.
【详解】延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．
【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.
20．(1)①；②5
(2)见解析
【分析】（1）①利用减去即可表示；②连接，设的半径为．在中，根据，构建方程即可解决问题；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可．
【详解】（1）解：①设的半径为．
∴；
②连接．
，
，
在中，，
，
解得．
（2）证明：连接，
弦
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，以及圆内接四边形的性质，掌握相应定理，学会添加常用辅助线是解题的关键．
21．证明见解析．
【分析】由得到，由得到即可得到结论．
【详解】证明：
，
，
即
．
【点睛】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，熟练掌握同圆或等圆中弧、弦之间的关系的关系是解题的关键．
22．，理由见试题解析
【分析】由AB=AE，得出∠B=∠AEB，根据平行四边形的性质可得∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，从而得到∠GAF=∠FAE，再由弧、弦的关系定理得出 ．
【详解】，理由：连接AE．
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
∴．
23．(1)完全平方公式，平方差公式
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）利用面积法解决问题即可；
（2）如图2，由勾股定理求得的长，即可求得的长，即可解决问题；
（3）如图3，证明，可得，再由勾股定理可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
∴，
，，
∴，即，
∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的数学公式是平方差公式，
故答案为：完全平方公式，平方差公式；
（2）解；如图，由题意可得：，
∴，，，
∴，，
∴方程的一个正根为：；

（3）解：连接、，∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，，
∴，即，
又∵，
∴．

【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，理解题意，学会利用面积法解决问题，学会用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
24．（1）∠A=90°﹣α；（2）∠A=60°．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF=180°-∠BCF-∠F，所以∠A+∠E=180-∠A-∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°-α；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
【详解】（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣×60°=60°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
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