5.5确定圆的条件同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
5.5确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是(　　)
A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．圆周角是圆心角的一半 D．直径所对的圆周角是直角
2．下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
4．在同一个圆中画两条直径，依次连接四个端点得到的四边形是（ ）
A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形
5．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点
6．如图，每个小正方形的边长为1，格点A、B、C在同一圆弧上，若点A的坐标为(﹣2，3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．(﹣1，1) B．(﹣3，0) C．(﹣3，1) D．(0，1)
7．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．下列说法错误的是（ ）．
A．经过已知点和的圆的圆心轨迹是线段的垂直平分线
B．到点的距离等于的点的轨迹是以点为圆心，长为半径的圆
C．与直线距离为3的点的轨迹是平行于直线且和距离为3的两条直线
D．以线段为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段的垂直平分线
9．设⊙O的半径为r，P到圆心的距离为d不大于r，则点P在( )
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．不在⊙O内 D．不在⊙O外
10．下列命题正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆内接平行四边形一定是矩形
D．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
11．如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
二、填空题
13．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ．
14．过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆．
15．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
16．已知在平面内有不重合的四个点，它们一共可以确定 个圆．
17．不在同一条直线上的 个点确定一个圆．
三、解答题
18．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．用直尺和圆规作出所在圆的圆心O（要求保留作图痕迹，不写作法）；

19．如图，在中，．
(1)请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
(2)在（1）的条件下，已知，将线段AB绕点A逆时针旋转后与⊙O交于点E．试证明：B、C、E三点共线．
20．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．

(1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R．
21．如图，在等边中，点、分别在、边上．
(1)在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）
(2)若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明．
22．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
23．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．

24．“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），
∵，∴，
∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点A，，所确定的上（依据2），
∴点A，，，四点在同一个圆上．
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________________________________________________；
依据2：__________________________________________________．
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
拓展探究：
（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆．
《5.5确定圆的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D B D D D C
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；
C、同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，故错误，不符合题意；
D、直径所对的圆周角是直角，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆的认识及圆周角定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
2．D
【分析】根据确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①不在同一直线的三点确定一个圆，故①错误；
②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故②错误；
③在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故③错误；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故④错误.
故选D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理等知识．
3．C
【分析】根据等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形的知识进行判断即可．
【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查了等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形等相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
4．D
【分析】根据顺次连接圆内两条直径的4个端点，得出四边形的对角线相等且互相平分，即可得出四边形的形状；接下来根据圆的直径所对的圆周角是直角，结合上步得到的结论即可进一步确定四边形形状.
【详解】∵顺次连接圆内两条直径的4个端点，
∴此四边形的对角线相等且互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵直径所对的圆周角等于90°，
∴所得的四边形一定是矩形．
故选：D．
【点睛】考查圆周角以及矩形的判定，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
5．D
【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键．
6．B
【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【详解】如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（-2，3），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（-3，0）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．
7．D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
8．D
【分析】利于垂直平分线的定义、圆的定义、轨迹的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、经过已知点P和Q的圆的圆心轨迹是线段PQ的垂直平分线，正确；
B、到点A的距离等于2cm的点的轨迹是以点A为圆心，2cm长为半径的圆，正确；
C、与直线AB距离为3的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为3的两条直线，正确；
D、以线段AB为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点除外，所以此选项错误符合题意.
故选D．
【点睛】本题考查了轨迹的知识，解题的关键是能够了解轨迹的定义，要注意不重不漏．
9．D
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：已知点P到圆心O的距离d不大于r，当大于r时点P在圆外，因而则点P不在⊙O外．
故选D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
10．C
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、圆内接平行四边形一定是矩形正确，符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦相等则所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
11．C
【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C．
考点：确定圆的条件．
12．D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，

∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．1个或3个或4个
【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．
【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故答案为：1个或3个或4个．
【点睛】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．
14． 无数 无数 垂直平分线 一
【分析】利用过点作圆的个数即可求解．
【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，
故答案为：无数；无数；垂直平分线；一．
【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键．
15．不能
【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
判断三个点在不在一条直线上即可．
【详解】解：∵，，，在这条直线上，，
∴三个点，，不能确定一个圆．
故答案为：不能．
16．或或或
【分析】分三种情况讨论：（1）四点共线；（2）有三点共线；（3）任意三点不共线．
【详解】分三种情况讨论：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作0个圆；
（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3圆；
（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆．
故答案为0，1，3或4．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆，难度不大．
17．三
【解析】略
18．见解析.
【分析】根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，只需连接AC、BC，尺规作线段AC和BC的垂直平分线，其交点即为所求.
【详解】解：如图所示：

圆心O即为圆弧所在圆的圆心．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键.
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要作AB的垂直平分线，其与AC的交点即为圆心O，由此作图即可；
（2）先由圆周角定理求出，再由旋转的性质求出，从而得到，证明△OBC≌△OEC得到∠OCE=∠OCB=90°，则∠OCB+∠OCE=180°，即可证明B、C、E三点共线．
【详解】（1）解：如图所示，圆O即为所求；
（2）解：如图所示，连接CE，OE，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∴，
在△OBC和△OEC中，
，
∴△OBC≌△OEC（SAS），
∴∠OCE=∠OCB=90°，
∴∠OCB+∠OCE=180°，
∴B、C、E三点共线．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，画圆，圆周角定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知性格知识是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；

（2）连接,交于,
∵
，
，
在 中, ，
设的半径为，
在 中,
，
即，
，
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
21．(1)图见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆与相交的点即为所求；
（2）由（1）易知，设，建立方程，解方程即可．
【详解】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆，交于、
如图，点、即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点有两个，
当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点只有一个，
当该方程没有实数根时，对应满足条件的点不存在（这段话不需要写出来）
∵只能作出唯一的点，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似比建立方程．
22．（1）作图见解析；（2）圆的半径为13 cm．
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，
以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
23．证明见解析
【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
【详解】证明:如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．

【点睛】此题考查确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
24．（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过不在同一直线上的三点确定一个圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论．
【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．
故答案为：圆内接四边形对角互补 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
（2）∵，
∴点A，，，四点在同一个圆上，
∴，
∵，
∴．
答案：45°
（3）证明：∵，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴A，，，四点共圆．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)