5.6直线和圆的位置关系同步练习（含解析）

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5.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，点为中点．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ）

A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
2．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交
3．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．3
5．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
6．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线
C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线
7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则直线L与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
11．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与⊙O有交点，则下列结论正确的是（　　）
A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r
12．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　）
A．DE=DO B．AB=AC
C．CD=DB D．AC∥OD
二、填空题
13．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为 ．
14．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
15．如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为 ．
16．已知⊙O的半径为5 cm，点O到直线的距离为d，
当d=4 cm时，直线与⊙O ；
当d= 时，直线与⊙O相切；
当d=6 cm时，直线与⊙O ．
17．如图，已知的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，请写出所有符合条件的点P的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．

19．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．
20．如图，的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D．E分别是∠ACB的平分线与，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由．
21．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
22．如图，是的直径，．求证：是的切线．
23．如图，中，，．P是底边上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，为半径的与射线交于点D，射线交射线于点E．
（1）若点E在线段的延长线上，设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）连接，若，求的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD＝AC，CD的延长线交⊙O于点E．
(1)点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，，求∠CAE的度数．
《5.6直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D D A C B A
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质等，连接，根据等腰三角形的性质可得，根据切线的判定定理即可确定，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，点为中点，
，
以点为圆心，长为半径作，
点到的距离等于的半径，
与的位置关系是相切，
故选：C．
2．A
【分析】根据圆心到直线的距离小于半径即可求解．
【详解】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝5cm，r＝6cm，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径是解题的关键．
3．B
【分析】延长CB到G，使BG=DE，连接AG．根据全等三角形的性质得到AG=AE，∠DAE=∠BAG，求得∠GAF=∠EAF=45°．证得△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质即可得到EF=DE+BF；故①正确；在AG上截取AH=AM．根据全等三角形的性质得到BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，证得∠HBN=90°．根据勾股定理得到BH2+BN2=HN2．根据全等三角形的性质得到MN=HN．等量代换得到BN2+DM2=MN2；故②正确；根据平行线的性质得到∠DEA=∠BAM．推出∠AEF=∠ANM，又∠MAN=∠FAE，于是得到△AMN∽△AFE，故③正确；过A作AP⊥EF于P，根据角平分线的性质得到AP=AD，于是得到与EF相切；故④正确；由∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，于是得到MN不一定平行于EF，故⑤错误．
【详解】解：延长CB到G，使BG=DE，连接AG．
在△ABG和△ADE中，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°
∴∠GAF=∠EAF=45°．
在△AFG和△AFE中，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF=BG+BF，
又∵DE=BG，
∴EF=DE+BF；故①正确；
在AG上截取AH=AM，连接BH、HN，
在△AHB和△AMD中，
∴△AHB≌△AMD，
∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，
又∵∠ABD=45°，
∴∠HBN=90°．
∴BH2+BN2=HN2．
在△AHN和△AMN中，
∴△AHN≌△AMN，
∴MN=HN．
∴BN2+DM2=MN2；故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAM．
∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMN=180°-∠MAN-∠AMN=∠AND，
∴∠AEF=∠ANM，
又∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE，故③正确；
过A作AP⊥EF于P，
∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，
∴AP=AD，
与EF相切；故④正确；
∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，
∴∠AMN不一定等于∠AEF，
∴MN不一定平行于EF，故⑤错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．A
【详解】分析：点P，可以看作是以O为圆心，以为半径的圆上的一点，当AP与这个圆相切时BC取最大值，利用中位线定理得出结论即可.
解析：当OP⊥AB时，BC最长，∴AP=BP,∵AC为直径，所以BC⊥AB，∴OP=BC,∴BC= 2.
故选A.
点睛：本题的关键在于找到最值的接点，利用切线的性质找到点P的位置，从而确定BC的最值，利用中位线定理得出BC的长.
5．D
【详解】试题分析：连接OA，如图：
∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D．
考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系．
6．D
【分析】根据圆的切线的判定定理进行判断即可.
【详解】解：A. 经过半径外端的直线，但直线不一定垂直半径，故不能判断该直线是圆的切线；
B. 垂直于半径的直线，但直线不是经过半径外端，故不能判断该直线是圆的切线；
C. 与圆有公共点的直线，直线与圆相交也有公共点，故不能判断该直线是圆的切线；
D. 圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线，能判断该直线是圆的切线.
故选D.
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆的切线必须与半径垂直，且过半径的外端.
7．A
【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，进而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【详解】如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴sinE=sin30°=.
故选A.
8．C
【分析】过点作于，过点作轴于，交于，连接．分别求出、，相加即可．
【详解】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接．
，，半径为2，
，，
根据勾股定理得：，
点在直线上，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
的圆心是，
．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．
9．B
【分析】本题考查了切线的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的性质，切记切线垂直于过切点的半径，直角三角形两锐角互余，本题先求出，再利用切线的性质得到，由此可以求出．
【详解】，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：B．
10．A
【分析】将圆心到直线距离与半径比较，即可解答．
【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为2，，
∴直线L与的位置关系是相交，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．
11．B
【分析】根据直线l与⊙O有交点，则可知直线和圆相切或相交．
【详解】解：∵直线l与⊙O有交点，
∴直线与圆相交或相切，
∴d≤r．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,熟悉直线与圆的位置关系是解题关键.
12．A
【详解】：根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．故选A.
13．2
【分析】根据圆心到直线的距离是1.4＜圆的半径，则直线和圆相交，所以公共点的个数为2个．
【详解】∵圆心到直线的距离是1.4＜圆的半径，
∴直线和圆相交，即有2个公共点．
故答案为2.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的知识，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，①当d＞r时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点；②当d=r时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点；③当d＜r时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点.
14．60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
15．10
【分析】作出如图的辅助线，推出四边形OFBG是正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r，ME=r -2，ON=r-1，证明Rt△OME≌Rt△OND，得到OM= ON=r-1，在Rt△OME中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：取DE的中点O，连接OF、OG，延长GO与AE的延长线相交于点M，过点D作DN⊥MG于点N，
∵BC切⊙O于点G，∴CG⊥BG，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABGM、四边形GCDN和四边形OFBG都是矩形，
∵OF=OG，
∴四边形OFBG是正方形，
设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r，
∵AE=2，CD=1，
∴ME=r -2，ON=r-1，
在Rt△OME和Rt△OND中，，
∴Rt△OME≌Rt△OND，
∴OM= ON=r-1，
在Rt△OME中，OE2=ME2+OM2，
∴r2=( r -2)2+( r-1)2，
解得：r=1(舍去)或5，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16． 相交 5 相离
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】根据圆心到直线的距离4小于圆的半径5，则直线和圆相交；
根据圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=5时，则直线和圆相切；
根据圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线和圆相离.
故答案为(1). 相交 (2). 5 (3). 相离
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系， r是圆的半径，d是圆心到直线的距离，d＞r时，直线与圆相离，d=r时，直线与圆相切，d＜r时，直线与圆相交；再结合已知数据，通过比较d与半径5cm的大小，即可得到答案.
17．或或
【分析】本题考查了切线的性质，二次函数的综合．熟练掌握切线的性质，二次函数的综合是解题的关键．
由切线的性质可知，当与x轴相切时，，分当时，当时，求解对应的的值，进而可得符合条件的点P的坐标．
【详解】解：由切线的性质可知，当与x轴相切时，，
当时，，
解得，或，
∴或；
当时，，
解得，，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或；
故答案为：或或．
18．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）由△CDB∽△CAD，可得，推出CD2=CB CA，可得（3）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3，，设BD=k，AD=2k，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解决问题．
【详解】（1）证明：连结OC，如图，

∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴，
∴CD2=CB CA，
∴（3）2=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA﹣BC=3，,设BD=k，AD=2k，
在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，
∴k=，
∴AD=．
19．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．
【详解】解：（1）连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CFA=∠DFO，
∴∠CAF=∠DFO，
而OA=OD，
∴∠OAD=∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵圆的半径R=5，EF=3，
∴OF=2，
在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，
∴DF=．
【点睛】本题考查切线的判定,垂径定理，勾股定理解直角三角形，解题的关键是作出辅助线.
20．（1），AD=；（2）直线PC与圆相切，理由见解析
【分析】（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB＝90°，利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则ΔADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）连结OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，在直角三角形ACB中，AB=10，BC=5，可求出∠CAB=30 ，进而求出∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为O的切线．
【详解】（1）连结BD，如图所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝5cm，
∴AC＝（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB cos45 =AB＝（cm）；
（2）直线PC与圆相切，理由：
连接OC，
在直角三角形ACB中，AB=10，BC=5，
∴，
∵OA=OC，
，
∴，
∵，
∴，
，
∵PC=PE，
∴，
，
∴直线PC是圆的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，是圆的综合题，综合性比较强，难度适中，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论．
（2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案．
【详解】（1）和是所对圆周角，
；
AB是圆的直径，
，
在中，，
，
，
，
，AE是⊙O的切线．
（2）如图：
AB是圆的直径，DC平分∠ACB，
，，
，
，是直角三角形；
，，
．
【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
22．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线
【详解】证明：∵AT＝AB，
∴∠T＝∠ABT＝45°，
∴∠TAB＝90°，即AB丄TA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AT是⊙O的切线．
【点睛】本题考查切线的判定定理，等腰三角形等边对等角．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
23．（1）；；（2）或或
【分析】（1）首先过点A作于点F，过点P作于点H，由，，得出，再由圆的性质得出，进而得出，，，即可列出y关于x的函数关系式，然后根据即可得出x的取值范围；
（2）首先分类讨论点D，在线段上时和在延长线上时，然后分别求出△ABC和△APE的面积，建立方程即可得出BP.
【详解】（1）过点A作于点F，过点P作于点H
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）当D点在线段上时，连，
∵
∴
∴
代入得
当D在延长线上时
∴
∴
∵
∴
∴
∴或
∴或
综上：或或
【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握，即可解题.
24．(1)见解析
(2)45°
【分析】（1）要证明BF是⊙O的切线，只要求出∠OBF=90°即可，先根据直径所对的圆周角是直角，求出∠ACB=90°，再利用等边对等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠F，即可解答；
（2）根据直径的长可得出半径的长，所以连接OC，OE，然后利用勾股定理的逆定理证明△COE是直角三角形，最后利用圆周角定理即可解答．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDF，
∴∠ACD=∠BDF，
∵BC=BF，
∴∠BCD=∠F，
∴∠BDF+∠F=90°，
∴∠FBD=180°-（∠FDB+∠F）=90°，
∵OB是圆O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）连接CO，EO，
∵AB=2，
∴OC=OE=1，
∵CE=，
∴CO2+EO2=2，CE2=（）2=2，
∴CO2+EO2=CE2，
∴∠COE=90°，
∴∠CAE=∠COE=45°．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目个已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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