5.7切线长定理同步练习（含解析）
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5.7切线长定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α
3．如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为
A．60 B．55 C．45 D．50
4．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
6．如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38° B．28° C．30° D．40°
7．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长为( )
A．8 B．12 C．16 D．不能确定
8．如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2
C．2，6 D．1，6
9．一个钢管放在V形架内，下图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60，则OP =( )
A．50 cm B．25cm C．cm D．50cm
10．如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，从外一点P引的两条切线，切点分别是A、B，若，则弦的长是（ ）
A． B． C．5 D．
12．如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题
13．如图，为的直径，点在的延长线上，分别与相切于点，若，，则 ．
14．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于 ．
15．如图，，是的切线，切点分别为A，B．若，，则的长为 ．
16．如图，已知四边形的每条边都与相切，且，，则四边形的周长为 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P60°，PA，则AB的长为 ．
三、解答题
18．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
19．如图，、是的切线，切于点，的周长为，
求：
（1）的长；
（2）的度数．
20．如图，在中，，⊙是的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙的半径．
21．如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分．
(1)求证：CD是半圈O的切线．
(2)若，，求BC和AB的长．
22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，若，，，求的长．
23．如图，⊙O是GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；
（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AB相交于点E.
(1)判断直线BC与⊙D的位置关系，并证明你的结论.
(2)若AC＝3，BC＝5，求BE的长.
《5.7切线长定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D C C C C A A
题号 11 12
答案 C B
1．D
【详解】解：∵AB切⊙O于B
∴∠ABO=90°
∵OB=6，AO=10，
∴AB=，
∵AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，
∴AB=AC，ED=EB，FD=FC，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AF+FD+DE+AE=AF+FC+AE+EB=AC+AB=8+8=16．
故选D．
2．D
【分析】根据切线性质，证得≌，通过等量代换得出，再根据等腰三角形的性质，由∠P＝α，求得即可．
【详解】解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴，即
在与中，
∵
∴≌（SAS），
∴，
在中，
,
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在中，，即，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得是解题关键．
3．D
【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：四边形外切于，切点分别为、、、，
，，，，
，
四边形的周长为：，
故选：D．
4．D
【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．C
【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可．
【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长是
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长．
6．C
【分析】根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论．
【详解】解：∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB＝PC，
∵∠P＝44°，
∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠D＝98°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，
∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据切线长定理得到AD=AE，BD=BF，CF=CE，再根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵AD，AE是圆的切线，
∴AD=AE，
同理，BD=BF，CF=CE，
∴三角形ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BD+AC+CE=AD+AE=2AD=16，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟知切线长定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共两个；
根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
故选C．
【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．
9．A
【分析】根据相切可得△OMP是直角三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵圆与V形架的两边相切，即是的切线，
，
∴△OMP是直角三角形，∠OPN=∠MPN=30°，
∴OP=2ON=50cm．
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理；含30度角的直角三角形的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
10．A
【分析】直接利用切线长定理得出，，，进而求出的长．
【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．
11．C
【分析】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】解：∵，为的切线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
【详解】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故选：B．
13．2
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，也考查了等腰三角形的判定定理．
由条件可得，再由切线长定理可得：，所以，问题的解．
【详解】解：∵分别与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
14．1
【分析】根据切线的性质求得，，再由直角三角形的性质得．
【详解】解：∵是的两条切线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
15．3
【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据，是的切线，得出，进而得出，即可求证为等边三角形，即可解答．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：3．
16．34
【分析】设M、N、E、F四点为切点，根据切线长定理可得，，，，即可得四边形的周长，问题得解．
【详解】如图，设M、N、E、F四点为切点，
根据切线长定理有：，，，，
∵四边形的周长：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，掌握切线长定理是解答本题的关键．
17．2
【分析】根据AB是⊙O的直径，推出∠ACB=90°，根据 PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，推出∠PAB=90°，PC=PA，根据∠P=60°，推出△PAC是等边三角形，得到∠CAP=60°，AC=PA=，推出∠BAC=90°-60°=30°，推出cos∠BAC=，得到，解得AB=2．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，
∴∠PAB=90°=∠ACB，PC=PA，
又∵∠P=60°，
∴△PAC是等边三角形，
∴∠CAP=60°，AC=PA=，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∴cos∠BAC=，
即，解得AB=2．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，等边三角形，圆周角，锐角三角函数，解决问题的关键是熟练掌握圆的切线性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理推论，余弦定义及30°的余弦值．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD；
（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD
∴∠ADE=∠ABD；
考点：切线的判定与性质．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）先根据切线长定理可得，再根据的周长即可得；
（2）先根据三角形的外角性质、角的和差可得，再根据切线长定理得出，然后根据角的和差、三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）由切线长定理得：
的周长为12
，即
解得；
（2）
解得
是的切线
同理：
．
【点睛】本题考查了切线长定理、三角形的外角性质等知识点，熟记切线长定理是解题关键．
20．4
【分析】求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
【详解】解：连接，，，则，设．
在中，，
∴．
∵分别与，，相切于点D，E，F，
∴．
又∵，
∴四边形为正方形．
∴．
∵．．
∴．
而，
∴．
∴，
即的半径为4．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点O作OE⊥DC，垂足为E．由角平分线的性质定理得到OE=OB，从而可知DC是半圆O的切线；
（2）由切线长定理可知：DE=DA，EC=CB，从而可求得BC的长．
【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E．
∵BC是半圆O的切线，
∴．
∵CO平分，
∴，
∴CD是半圆O的切线．
（2）解：∵AD，CD，BC是半圆O的切线，
∴，．
∵，
∴，
∴．
如图，过点D作于点F，故四边形DABF为矩形，
∴，，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据切线的性质定理得到，平分．根据等腰三角形的性质即可得到于，即．
（2）连接、．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到．进而得到．在中，解直角三角形即可.
【详解】（1）证明：∵、与相切于、．
∴，平分．
在等腰中，，平分．
∴于，即．
（2）解：连接、．
∵
∴
∴
同理：
∴．
在等腰中，．
∴．
∵与相切于．
∴．
∴．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
23．（1）6；（2）1
【分析】（1）由切线长定理可得，，，再由△PEF的周长为12，即可得到，由此即可得到答案；
（2）连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，由，可以得到，再利用勾股定理求出，由此进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，AP，BP，EF都是圆O的切线，
∴由切线长定理可得，，，
∵△PEF的周长为12，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，
∴OA=OB=OH=r，
由切线的性质可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，
∴
，
∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，
∴，，
∴即，
∴，
∴⊙O的半径为1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线长定理和切线的性质．
24．(1)直线BC与⊙D相切，理由见解析；(2)BE=1.
【分析】(1)过D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DA＝DF，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到AB＝＝4，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝3，求得BF＝2，根据切割线定理即可得到结论.
【详解】(1)直线BC与⊙D相切，
理由：过D作DF⊥BC于F，
∴∠CFD＝∠A＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴DA＝DF，
∴直线BC与⊙D相切；
(2)∵∠BAC＝90°，AC＝3，BC＝5，
∴AB＝＝4，
在Rt△ACD与Rt△FCD中,
∴Rt△ACD≌Rt△FCD(HL)，
∴CF＝AC＝3，
∴BF＝2，
∵BF是⊙D的切线，
∴BF2＝BA BE，
∴.
【点睛】此题考查圆的性质、切线的判定定理，（1）中直线BC与圆无交点，要证明切线时需从圆心向直线作垂线，证明垂线段等于半径即可；（2）中BE所在的线段为圆的割线故运用切割线定理求得线段BE的长度.
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5.7切线长定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α
3．如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为
A．60 B．55 C．45 D．50
4．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
6．如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（ ）
A．38° B．28° C．30° D．40°
7．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长为( )
A．8 B．12 C．16 D．不能确定
8．如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2
C．2，6 D．1，6
9．一个钢管放在V形架内，下图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60，则OP =( )
A．50 cm B．25cm C．cm D．50cm
10．如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，从外一点P引的两条切线，切点分别是A、B，若，则弦的长是（ ）
A． B． C．5 D．
12．如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题
13．如图，为的直径，点在的延长线上，分别与相切于点，若，，则 ．
14．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，，则的半径等于 ．
15．如图，，是的切线，切点分别为A，B．若，，则的长为 ．
16．如图，已知四边形的每条边都与相切，且，，则四边形的周长为 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P60°，PA，则AB的长为 ．
三、解答题
18．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
19．如图，、是的切线，切于点，的周长为，
求：
（1）的长；
（2）的度数．
20．如图，在中，，⊙是的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙的半径．
21．如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分．
(1)求证：CD是半圈O的切线．
(2)若，，求BC和AB的长．
22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，若，，，求的长．
23．如图，⊙O是GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；
（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AB相交于点E.
(1)判断直线BC与⊙D的位置关系，并证明你的结论.
(2)若AC＝3，BC＝5，求BE的长.
《5.7切线长定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D C C C C A A
题号 11 12
答案 C B
1．D
【详解】解：∵AB切⊙O于B
∴∠ABO=90°
∵OB=6，AO=10，
∴AB=，
∵AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，
∴AB=AC，ED=EB，FD=FC，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AF+FD+DE+AE=AF+FC+AE+EB=AC+AB=8+8=16．
故选D．
2．D
【分析】根据切线性质，证得≌，通过等量代换得出，再根据等腰三角形的性质，由∠P＝α，求得即可．
【详解】解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴，即
在与中，
∵
∴≌（SAS），
∴，
在中，
,
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在中，，即，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得是解题关键．
3．D
【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：四边形外切于，切点分别为、、、，
，，，，
，
四边形的周长为：，
故选：D．
4．D
【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．C
【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可．
【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长是
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长．
6．C
【分析】根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论．
【详解】解：∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB＝PC，
∵∠P＝44°，
∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠D＝98°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，
∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据切线长定理得到AD=AE，BD=BF，CF=CE，再根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵AD，AE是圆的切线，
∴AD=AE，
同理，BD=BF，CF=CE，
∴三角形ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BD+AC+CE=AD+AE=2AD=16，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟知切线长定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共两个；
根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
故选C．
【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．
9．A
【分析】根据相切可得△OMP是直角三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵圆与V形架的两边相切，即是的切线，
，
∴△OMP是直角三角形，∠OPN=∠MPN=30°，
∴OP=2ON=50cm．
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理；含30度角的直角三角形的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
10．A
【分析】直接利用切线长定理得出，，，进而求出的长．
【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．
11．C
【分析】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】解：∵，为的切线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
【详解】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故选：B．
13．2
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，也考查了等腰三角形的判定定理．
由条件可得，再由切线长定理可得：，所以，问题的解．
【详解】解：∵分别与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
14．1
【分析】根据切线的性质求得，，再由直角三角形的性质得．
【详解】解：∵是的两条切线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
15．3
【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据，是的切线，得出，进而得出，即可求证为等边三角形，即可解答．
【详解】解：∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：3．
16．34
【分析】设M、N、E、F四点为切点，根据切线长定理可得，，，，即可得四边形的周长，问题得解．
【详解】如图，设M、N、E、F四点为切点，
根据切线长定理有：，，，，
∵四边形的周长：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，掌握切线长定理是解答本题的关键．
17．2
【分析】根据AB是⊙O的直径，推出∠ACB=90°，根据 PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，推出∠PAB=90°，PC=PA，根据∠P=60°，推出△PAC是等边三角形，得到∠CAP=60°，AC=PA=，推出∠BAC=90°-60°=30°，推出cos∠BAC=，得到，解得AB=2．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，
∴∠PAB=90°=∠ACB，PC=PA，
又∵∠P=60°，
∴△PAC是等边三角形，
∴∠CAP=60°，AC=PA=，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∴cos∠BAC=，
即，解得AB=2．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，等边三角形，圆周角，锐角三角函数，解决问题的关键是熟练掌握圆的切线性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理推论，余弦定义及30°的余弦值．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD；
（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD
∴∠ADE=∠ABD；
考点：切线的判定与性质．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）先根据切线长定理可得，再根据的周长即可得；
（2）先根据三角形的外角性质、角的和差可得，再根据切线长定理得出，然后根据角的和差、三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）由切线长定理得：
的周长为12
，即
解得；
（2）
解得
是的切线
同理：
．
【点睛】本题考查了切线长定理、三角形的外角性质等知识点，熟记切线长定理是解题关键．
20．4
【分析】求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
【详解】解：连接，，，则，设．
在中，，
∴．
∵分别与，，相切于点D，E，F，
∴．
又∵，
∴四边形为正方形．
∴．
∵．．
∴．
而，
∴．
∴，
即的半径为4．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点O作OE⊥DC，垂足为E．由角平分线的性质定理得到OE=OB，从而可知DC是半圆O的切线；
（2）由切线长定理可知：DE=DA，EC=CB，从而可求得BC的长．
【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E．
∵BC是半圆O的切线，
∴．
∵CO平分，
∴，
∴CD是半圆O的切线．
（2）解：∵AD，CD，BC是半圆O的切线，
∴，．
∵，
∴，
∴．
如图，过点D作于点F，故四边形DABF为矩形，
∴，，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据切线的性质定理得到，平分．根据等腰三角形的性质即可得到于，即．
（2）连接、．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到．进而得到．在中，解直角三角形即可.
【详解】（1）证明：∵、与相切于、．
∴，平分．
在等腰中，，平分．
∴于，即．
（2）解：连接、．
∵
∴
∴
同理：
∴．
在等腰中，．
∴．
∵与相切于．
∴．
∴．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
23．（1）6；（2）1
【分析】（1）由切线长定理可得，，，再由△PEF的周长为12，即可得到，由此即可得到答案；
（2）连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，由，可以得到，再利用勾股定理求出，由此进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，AP，BP，EF都是圆O的切线，
∴由切线长定理可得，，，
∵△PEF的周长为12，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，
∴OA=OB=OH=r，
由切线的性质可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，
∴
，
∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，
∴，，
∴即，
∴，
∴⊙O的半径为1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线长定理和切线的性质．
24．(1)直线BC与⊙D相切，理由见解析；(2)BE=1.
【分析】(1)过D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DA＝DF，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到AB＝＝4，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝3，求得BF＝2，根据切割线定理即可得到结论.
【详解】(1)直线BC与⊙D相切，
理由：过D作DF⊥BC于F，
∴∠CFD＝∠A＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴DA＝DF，
∴直线BC与⊙D相切；
(2)∵∠BAC＝90°，AC＝3，BC＝5，
∴AB＝＝4，
在Rt△ACD与Rt△FCD中,
∴Rt△ACD≌Rt△FCD(HL)，
∴CF＝AC＝3，
∴BF＝2，
∵BF是⊙D的切线，
∴BF2＝BA BE，
∴.
【点睛】此题考查圆的性质、切线的判定定理，（1）中直线BC与圆无交点，要证明切线时需从圆心向直线作垂线，证明垂线段等于半径即可；（2）中BE所在的线段为圆的割线故运用切割线定理求得线段BE的长度.
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