5.8正多边形和圆同步练习（含解析）
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5.8正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ）
A． B．12r C．13r D．26r
2．下列说法中， 正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径必垂直弦
C．任何三角形有且仅有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且， ，则的长是( )
A． B． C． D．
5．用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
6．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
7．如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C．a2 D．3
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．正八边形的中心角是（ ）
A．45° B．135° C．360° D．1080°
11．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）
A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm
12．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．与相等
二、填空题
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是 ．
14．如图，已知是的内切圆，且，，则 ．
15．如图，已知为直径，若是内接正边形的一边，是内接正边形的一边，，则 ．
16．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ．
17．边长为1的正六边形的边心距是 ．
三、解答题
18．分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积．
19．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．
20．已知，点A，B分别在射线上运动，．
(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系 证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大 请说明理由，并求出面积的最大值．
21．【问题提出】
如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则________，半径的长为________．
（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为，求的最小值．
22．如图所示，AB是的直径，CB，CE分别切于点B、点D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC，OD．已知，，，请选用以上适当的数据，设计出计算的半径r的一种方案．
（1）你选用的已知数据是__________．
（2）写出求解过程（结果用字母表示）．
23．已知为的外接圆，．
(1)如图1，延长至点，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
24．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
《5.8正多边形和圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D D D C B B A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是的内切圆且半径为r，，，
，
，
则的面积为，
故选：C
2．C
【分析】根据圆的相关概念及性质进行判断即可，不共线的三点确定一个圆，垂直于弦的直径一定平分弦，但是平分弦的直径不一定垂直弦，任何三角形有且仅有一个外接圆，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故可能在三角形内部也可能在边上．
【详解】解：A．若三点在同一直线上，不能确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
B．两条直径互相平分但不一定垂直，选项说法错误，不符合题意；
C．根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，选项说法正确，符合题意；
D．等腰直角三角形的外心在三角形斜边的中点，不在三角形内，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的相关概念及性质，关键是熟记各种定义，理解三角形的外心，三角形的外接圆，以及垂径定理．
3．C
【分析】设的半径是，则，根据是的平分线，求出，进而得出，再根据相似比求出，从而得到的值．
【详解】解：连接、、，如图所示：
设的半径是，则，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即的值是，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系．解答本题的关键是熟练掌握正多边形的有关概念，并准确运用他们求线段长．
4．D
【分析】如图，连接、、，交于，先证明点、、共线，即，从而可得，在中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长，设⊙的半径为，则， ，
在中，利用勾股定理求得，在中，求得，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案.
【详解】连接、、，交于，如图，
等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，
平分， ， ，，
，
，
点、、共线，
即，
，
在中， ，
，
，
设⊙的半径为，则， ，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
5．D
【分析】根据三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即作三边的垂直平分线性即可，据此即可求解．
【详解】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形外心的定义，理解三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键．
6．D
【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP＝≠PA，于是得到结论．
【详解】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，
∴排除C选项，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：五边形为正五边形，
，，
，
，
故选C．
8．B
【分析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．
【详解】解：如图所示，
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB=60°，OA=OB=a，
则△OAB是正三角形，
∴AB=OA=a，OC=OA·sinA=a×，
∴S△OAB=AB·OC=×a×，
∴正六边形的面积=6×=.
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形，正多边形和圆的知识，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
9．B
【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．
【详解】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
10．A
【详解】试题解析：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A．
11．C
【详解】解：要用一个圆盖去盖住一个正方形的洞口，则圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，∵正方形边长为50cm，
由勾股定理可得正方形的对角线的长为：50cm．
故答案选C．
12．C
【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可．
【详解】解：如下图所示，连接．
点O是正六边形的中心，
，，，，．
，．
．
，
，．
故A选项不符合题意．
，
．
（AAS）．
，．
故D选项不符合题意．
．
故B选项不符合题意．
．
．
故C选项符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
13．
【详解】过点F作FM⊥AE于M，
∵∠AFE=120°
∴∠FAE=30°
∴,
.
故答案为.
14．115
【分析】根据是的内切圆，可得，，再利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：是的内切圆，且，，
，，
，
故答案为：115．
【点睛】本题考查了三角形内角和及内切圆，熟练掌握基础知识是解题的关键．
15．
【分析】连接OD，OC，BC，根据题意首先证明∠AOD=∠BOC，再根据题意，分别用含n的式子表示出∠AOD和∠COD，建立关于n的方程求解即可．
【详解】如图，连接OD，OC，BC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
又∵，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD=BC，∠AOD=∠BOC，
∵是内接正边形的一边，
∴，
同理：是内接正边形的一边，
∴，
由，
得：，
解得：，或（不符合题意，舍去）
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，理解正多边形与圆的关系是解题关键．
16．3
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，圆的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，
过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
17．
【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=1，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=，
在△OAM中，由勾股定理得：OM=
故答案为．
18．正三角形：边长，边心距OD＝，S△ABC＝＝R2；正方形：边长，边心距OE＝，S正方形ABCD＝2R2．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．
【详解】如图(1)所示：
在Rt△OBD中，
BD＝＝R，
∴边长BC=2BD=，边心距OD＝，S△ABC＝×R×(＋R)＝R2．
如图(2)所示：
在Rt△BCD中，BD＝2R，BD2＝BC2＋CD2，
∴BC＝＝R，边心距OE＝＝，S正方形ABCD＝R×R＝2R2．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，根据已知画出图形是解题关键．
19．AC=6．
【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可．
【详解】如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD=90°．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD=12．
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=6．
∴AC=6．
【点睛】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法．
20．(1)，证明见解析
(2)
(3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为
【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算．
【详解】（1）解：，证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
（2）解：如图1，
作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′=AB=6，
OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；
（3）解∶如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，
由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大，
∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，
又OC⊥AB于T，
∴TC=AT=BT=AB=3，
∵OC=OT+CT=OT+3，
∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大，
∴△AOB的面积最大，
∴∠BOT=∠AOB=22.5°，
∵OE= BE ，
∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ，
综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．
21．（1）；（2）①；②
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,求得，进而求得，根据即可求得；
（2）①根据已知条件可得，证明，即可求得；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值．
【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,
，，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知,,
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
的最小值为．
【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键．
22．（1）a，b；（2），其他情况见解析；
【分析】方案一：选用的已知数据是a，b，根据题意，是直角三角形，所以在中，利用勾股定理得到：，就可以求出半径的长度；
方案二：选用的已知数据是a，b，c，利用，得到，由此可得到半径的长度；
方案三：选用的已知数是a，b，c，在种，利用勾股定理得到：，就可以求出半径的长度；
方案四：选用的已知数是a，b，c，根据角的关系，得到，所以，由此推出，即可求出半径的长度．
【详解】解：方案一 （1）选用的已知数据是a，b．
（2）求解过程：
∵CE分别切于点D，
∴．
在中，，，，且，
即，
解得（舍负值）．
方案二 （1）选用的已知数据是a，b，c．
（2）求解过程：
∵CB，CE分别切于点B、点D，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即，
解得（舍负值）．
说明：在和中，分别表示，也可得到上述方程（或等价形式）．
方案三 （1）选用的已知数是a，b，c．
（2）求解过程：
∵CB，CE分别切于点B、点D，
∴，．
在中，，，，且，
即，
解得（含负值）．
方案四 （1）选用的已知数是a，b，c．
（2）求解过程：
如图，连接AD．
CB，CE分别切于点B、点D，
∴，，．
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，即，
∴．
23．(1)①见解析；②；
(2)，理由见解析
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．
【详解】（1）①，，
．
∴∠B=∠DCB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，
∴∠DCB+∠DCA=90°．
为直角三角形；
②连接，，如图，
，
，
且．
的半径为4，
．
设，则，
，
，
．
解得：．
．
由①知：，
，
．
，
．
（2），，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
24．．
【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角．
【详解】∵周角是360°，
∴，
，
．
【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比．
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5.8正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ）
A． B．12r C．13r D．26r
2．下列说法中， 正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径必垂直弦
C．任何三角形有且仅有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且， ，则的长是( )
A． B． C． D．
5．用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
6．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
7．如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C．a2 D．3
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．正八边形的中心角是（ ）
A．45° B．135° C．360° D．1080°
11．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）
A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm
12．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．与相等
二、填空题
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是 ．
14．如图，已知是的内切圆，且，，则 ．
15．如图，已知为直径，若是内接正边形的一边，是内接正边形的一边，，则 ．
16．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ．
17．边长为1的正六边形的边心距是 ．
三、解答题
18．分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积．
19．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．
20．已知，点A，B分别在射线上运动，．
(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系 证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大 请说明理由，并求出面积的最大值．
21．【问题提出】
如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则________，半径的长为________．
（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为，求的最小值．
22．如图所示，AB是的直径，CB，CE分别切于点B、点D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC，OD．已知，，，请选用以上适当的数据，设计出计算的半径r的一种方案．
（1）你选用的已知数据是__________．
（2）写出求解过程（结果用字母表示）．
23．已知为的外接圆，．
(1)如图1，延长至点，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
24．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
《5.8正多边形和圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D D D C B B A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是的内切圆且半径为r，，，
，
，
则的面积为，
故选：C
2．C
【分析】根据圆的相关概念及性质进行判断即可，不共线的三点确定一个圆，垂直于弦的直径一定平分弦，但是平分弦的直径不一定垂直弦，任何三角形有且仅有一个外接圆，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故可能在三角形内部也可能在边上．
【详解】解：A．若三点在同一直线上，不能确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
B．两条直径互相平分但不一定垂直，选项说法错误，不符合题意；
C．根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，选项说法正确，符合题意；
D．等腰直角三角形的外心在三角形斜边的中点，不在三角形内，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的相关概念及性质，关键是熟记各种定义，理解三角形的外心，三角形的外接圆，以及垂径定理．
3．C
【分析】设的半径是，则，根据是的平分线，求出，进而得出，再根据相似比求出，从而得到的值．
【详解】解：连接、、，如图所示：
设的半径是，则，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即的值是，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系．解答本题的关键是熟练掌握正多边形的有关概念，并准确运用他们求线段长．
4．D
【分析】如图，连接、、，交于，先证明点、、共线，即，从而可得，在中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长，设⊙的半径为，则， ，
在中，利用勾股定理求得，在中，求得，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案.
【详解】连接、、，交于，如图，
等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，
平分， ， ，，
，
，
点、、共线，
即，
，
在中， ，
，
，
设⊙的半径为，则， ，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
5．D
【分析】根据三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即作三边的垂直平分线性即可，据此即可求解．
【详解】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形外心的定义，理解三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键．
6．D
【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP＝≠PA，于是得到结论．
【详解】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，
∴排除C选项，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：五边形为正五边形，
，，
，
，
故选C．
8．B
【分析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．
【详解】解：如图所示，
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB=60°，OA=OB=a，
则△OAB是正三角形，
∴AB=OA=a，OC=OA·sinA=a×，
∴S△OAB=AB·OC=×a×，
∴正六边形的面积=6×=.
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形，正多边形和圆的知识，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
9．B
【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．
【详解】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
10．A
【详解】试题解析：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A．
11．C
【详解】解：要用一个圆盖去盖住一个正方形的洞口，则圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，∵正方形边长为50cm，
由勾股定理可得正方形的对角线的长为：50cm．
故答案选C．
12．C
【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可．
【详解】解：如下图所示，连接．
点O是正六边形的中心，
，，，，．
，．
．
，
，．
故A选项不符合题意．
，
．
（AAS）．
，．
故D选项不符合题意．
．
故B选项不符合题意．
．
．
故C选项符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
13．
【详解】过点F作FM⊥AE于M，
∵∠AFE=120°
∴∠FAE=30°
∴,
.
故答案为.
14．115
【分析】根据是的内切圆，可得，，再利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：是的内切圆，且，，
，，
，
故答案为：115．
【点睛】本题考查了三角形内角和及内切圆，熟练掌握基础知识是解题的关键．
15．
【分析】连接OD，OC，BC，根据题意首先证明∠AOD=∠BOC，再根据题意，分别用含n的式子表示出∠AOD和∠COD，建立关于n的方程求解即可．
【详解】如图，连接OD，OC，BC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
又∵，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD=BC，∠AOD=∠BOC，
∵是内接正边形的一边，
∴，
同理：是内接正边形的一边，
∴，
由，
得：，
解得：，或（不符合题意，舍去）
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，理解正多边形与圆的关系是解题关键．
16．3
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，圆的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，
过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
17．
【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=1，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=，
在△OAM中，由勾股定理得：OM=
故答案为．
18．正三角形：边长，边心距OD＝，S△ABC＝＝R2；正方形：边长，边心距OE＝，S正方形ABCD＝2R2．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．
【详解】如图(1)所示：
在Rt△OBD中，
BD＝＝R，
∴边长BC=2BD=，边心距OD＝，S△ABC＝×R×(＋R)＝R2．
如图(2)所示：
在Rt△BCD中，BD＝2R，BD2＝BC2＋CD2，
∴BC＝＝R，边心距OE＝＝，S正方形ABCD＝R×R＝2R2．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，根据已知画出图形是解题关键．
19．AC=6．
【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可．
【详解】如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD=90°．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD=12．
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=6．
∴AC=6．
【点睛】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法．
20．(1)，证明见解析
(2)
(3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为
【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算．
【详解】（1）解：，证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
（2）解：如图1，
作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′=AB=6，
OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；
（3）解∶如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，
由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大，
∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，
又OC⊥AB于T，
∴TC=AT=BT=AB=3，
∵OC=OT+CT=OT+3，
∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大，
∴△AOB的面积最大，
∴∠BOT=∠AOB=22.5°，
∵OE= BE ，
∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ，
综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．
21．（1）；（2）①；②
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,求得，进而求得，根据即可求得；
（2）①根据已知条件可得，证明，即可求得；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值．
【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,
，，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知,,
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
的最小值为．
【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键．
22．（1）a，b；（2），其他情况见解析；
【分析】方案一：选用的已知数据是a，b，根据题意，是直角三角形，所以在中，利用勾股定理得到：，就可以求出半径的长度；
方案二：选用的已知数据是a，b，c，利用，得到，由此可得到半径的长度；
方案三：选用的已知数是a，b，c，在种，利用勾股定理得到：，就可以求出半径的长度；
方案四：选用的已知数是a，b，c，根据角的关系，得到，所以，由此推出，即可求出半径的长度．
【详解】解：方案一 （1）选用的已知数据是a，b．
（2）求解过程：
∵CE分别切于点D，
∴．
在中，，，，且，
即，
解得（舍负值）．
方案二 （1）选用的已知数据是a，b，c．
（2）求解过程：
∵CB，CE分别切于点B、点D，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即，
解得（舍负值）．
说明：在和中，分别表示，也可得到上述方程（或等价形式）．
方案三 （1）选用的已知数是a，b，c．
（2）求解过程：
∵CB，CE分别切于点B、点D，
∴，．
在中，，，，且，
即，
解得（含负值）．
方案四 （1）选用的已知数是a，b，c．
（2）求解过程：
如图，连接AD．
CB，CE分别切于点B、点D，
∴，，．
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，即，
∴．
23．(1)①见解析；②；
(2)，理由见解析
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．
【详解】（1）①，，
．
∴∠B=∠DCB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，
∴∠DCB+∠DCA=90°．
为直角三角形；
②连接，，如图，
，
，
且．
的半径为4，
．
设，则，
，
，
．
解得：．
．
由①知：，
，
．
，
．
（2），，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
24．．
【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角．
【详解】∵周角是360°，
∴，
，
．
【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比．
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