石家庄市第一中学2025届高考第二次模拟考试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:由题知,,
所以.
故选:C
2. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设．
∵在上单调递减，
∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立．
（注意对数的真数在上大于0）
又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则）
解得．
则可得函数在区间上单调递减的充要条件是．
而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
故只需看是哪一个的真子集，结合选项只有C符合.
故选：C
3. 已知两个等比数列，的前n项积分别为，，若，则（ ）
A. 3 B. 27 C. 81 D. 243
【答案】D
【详解】，
故选：D．
4. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，即，
则，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
5. 设函数，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是
A. [－2，＋∞) B. (－∞，－2] C. (－∞，] D. (，＋∞)
【答案】C
【详解】y＝f(x)的图象如图所示，
∵f(f(a))≤2，∴f(a)≥－2，令，解得：，由函数图象可知a≤.
故选C.
6. 设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】根据题意，若，则且，或且，或且，
当且时，有，或，
或，或，共4种可能；
当且时，有，或，
或，或，共4种可能，
当且时，有，或，
或，或，或，
或，或，或，共8种可能，
满足的不同排列的个数为，
故选：B．
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】依题意，，，两式平方相加得，
即，由，得，则，即，
于是，，即，
两边平方整理得，又，解得，
所以.
故选：C
8. 已知，分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
如图所示，
设关于原点对称的点为，则为平行四边形，
由可知，，，三点共线，且，
设，则，在中，，解得，
注意到，
在中结合余弦定理可得，，
解得，则，所以，
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（ ）
A. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
B. 乙班成绩的第75百分位数为79
C. 甲班成绩的中位数为74
D. 甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值
【答案】ABC
【详解】对于A，由题图知甲班成绩的众数为79，乙班成绩的众数为75，故A错误．
对于B，因为，所以乙班成绩的第75百分位数为80，故B错误．
对于C，甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79，故中位数为79，故C错误．
因为甲班成绩平均数为：
，
乙班物理成绩的平均数的估计值为：
，故D正确．
故选：ABC
10. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（ ）
A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
B. 若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为
C. 若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为
【答案】ACD
【详解】对于A，由圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得，
，所以圆锥的高，
设圆锥的母线与底面所成角，则，故A对；
对于B，设圆锥内切圆柱底面半径为，高为，
则有，
所以圆柱体积为，
设，则，
所以当时，单调递增；当时，单调递减，
所以时y取得最大值，即时圆柱体积取得最大，此时圆柱的高，故B错.
对于C，当球的半径最大时，球为圆锥的内切球，设球的半径设为R，此时圆锥与球的轴截面如图，
因为,
又，所以，
正四面体可由正方体面的对角线切割得到，如图，正四面体外接球与相对应正方体外接球为同一个球，
当正四面体的棱长为时，其相对应的正方体棱长为，
所以外接球直径为，所以外接球半径为，
所以该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为，故C对；
对于D，设圆锥内接最大正方体棱长为a，则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如下，
则有，
所以正方体面的对角线长为，
所以以正方体顶点A为球心，半径为的球与正方体表面交线情况如下图所示，
所以交线有两组各有三条长度相等的曲线，第一组曲线如图（1），第二组曲线如图（2），
由上，，
所以，
所以，，
所以交线的总长度为. ，故D对.
故选：ACD.
简单几何体相交交线是直线还是曲线是容易出错的点，一般情况下经过曲面的交线是曲线，但交线过旋转体母线的是直线，如下图：
11. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美 对称美 和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
A. 方程，表示的曲线在第二和第四象限；
B. 曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
C. 曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D. 曲线上有个整点（横 纵坐标均为整数点）.
【答案】AB
【详解】A项：因为，所以、异号，在第二和第四象限，故A正确；
B项：因为，当且仅当时等号成立，
所以，，
即，，故B正确；
C项：以为圆心、为半径的圆的面积为，
显然曲线构成的四叶玫瑰线面积小于圆的面积，故C错误；
D项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，
因为曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过，
所以可将、、、、、代入曲线的方程中，
通过验证可知，仅有点在曲线上，
故结合曲线的对称性可知，曲线仅经过整点，故D错误，
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__________．
【答案】
【详解】设，由，
则，表示的是圆心为，半径为的圆，
而，表示的是圆上一点到的距离，
如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长，
即最大值为.
故答案为：
13. 如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为_________.
【答案】
【详解】由图可得，又，则，，
，则，，
则，化简得，
又，则，则有，
解得，又，则，
即.
故答案为：.
14. 已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
【答案】,,．
【详解】方程，即，
结合，得，原方程可化为，
①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意；
②，记，
的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值，
因为在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值为，
结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；
③，则，
在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为，
的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值，
当时，即时，函数的最小值，
观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；
当时，函数的最小值，
方程即的根的判别式△，
且方程即的根的判别式△，
结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意．
综上所述，或，即实数的取值范围是,,．
故答案为：,,．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）
（1）估计该市流感感染率是多少？
（2）根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；
（3）已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）
（2）有 （3）
【小问1详解】
估计流感的感染率；
【小问2详解】
列联表如下：
疫苗情况 患有流感 不患有流感 合计
打疫苗 220 580 800
不打疫苗 80 120 200
合计 300 700 100
所以，
所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.
【小问3详解】
设事件A为“一次检测结果呈阳性”，事件B为“被检测者确实患有流感”，
由题意得，，，，，
由全概率公式得，
所以，于是此人真的患有流感的概率是0.976.
16. 记的角的对边分别为，已知.
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点， 且， 求的值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，
则，
可得，
且，则，可得，即，
又因为，所以.
【小问2详解】
因为，由（1）可知：，
设，则.
Rt中，可得，即，
在中，由正弦定理得，
可得，
又因为，即，
可得，解得，
所以的值为.
17. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
取中点，连接 ，
因为，为的中点，所以，故，
因为等边三角形，所以，
又因为，面，
因此平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，
所以直线在平面的射影在直线上，所以直线与平面所成角为，则，
因为，，所以是正三角形，则，
因为为等边三角形，，则，
所以中，由，得，
则，所以，
因为，面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，在中，，，所以，又，
所以，即，
又平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知 两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由于是的中点，易得，
又由可得，
所以，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
设平面与平面的夹角为，易知，
所以，
即平面与平面夹角余弦值为.
18. 关于函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在处的切线垂直于直线，对任意两个正实数，，且，有，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【小问1详解】
因为，则
当时，因为恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，当，解得，当时，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
综上所诉：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
因为在处的切线垂直于直线，
所以在处的切线的斜率为，
即，解得，即
设，令，由，即，
得，即，
即，则，所以，
要证，
设，则，
则在上单调递减，，故成立.
19. 在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.
（1）求，的值；
（2）对于，，是否存在m，n，p，使得 若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；
（3）记表示不超过的最大整数，且，求的值.
【答案】（1），
（2）不存在，理由见解析
（3）500
【小问1详解】
在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以.
在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以.
【小问2详解】
因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个，
所以.
若，则，即，
因为，所以，
易知是奇数，是偶数，上式不成立，
故不存在m，n，p，使得.
【小问3详解】
由（2）知，当时，，所以，
当时，，
（上式变换注意用到不等式，若，则.）
所以当时，，
所以当时，，，
所以.石家庄市第一中学2025届高考第二次模拟考试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合,,则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两个等比数列，的前n项积分别为，，若，则（ ）
A. 3 B. 27 C. 81 D. 243
4. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是
A. [－2，＋∞) B. (－∞，－2] C. (－∞，] D. (，＋∞)
6. 设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是（ ）
A. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
B. 乙班成绩的第75百分位数为79
C. 甲班成绩的中位数为74
D. 甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值
10. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（ ）
A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
B. 若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为
C. 若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大
11. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美 对称美 和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
A. 方程，表示的曲线在第二和第四象限；
B. 曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
C. 曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D. 曲线上有个整点（横 纵坐标均为整数点）.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__________．
13. 如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为_________.
.
14. 已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）
（1）估计该市流感感染率是多少？
（2）根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；
（3）已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16. 记的角的对边分别为，已知.
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点， 且， 求的值.
17. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 关于函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在处的切线垂直于直线，对任意两个正实数，，且，有，求证：.
19. 在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.
（1）求，的值；
（2）对于，，是否存在m，n，p，使得 若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；
（3）记表示不超过的最大整数，且，求的值.
