(共36张PPT)
跨学科主题学习
解密玩具汉诺塔
——解题策略背后的算法
（黔教版）五年级
下
1
核心素养目标
3
新知讲解
5
拓展延伸
7
板书设计
2
新知导入
4
课堂练习
6
课堂总结
课后作业
8
01
核心素养目标
信息意识
计算思维
数字化学习与创新
信息社会责任
在记录数据、分析规律、编写程序验证算法等过程中，养成细致、严谨、求实的科学态度，对信息的准确性和可靠性负责。
通过设计汉诺塔游戏算法及程序，鼓励学生发挥创造力，尝试不同方法和思路，探索最优解决方案，培养创新意识和实践能力。
依据汉诺塔移动规律，在分析、解决问题过程中逐步形成大胆尝试，积极寻求问题有效解决方法的意识，提升计算思维。
通过分析不同层数汉诺塔游戏的数据，明白这些数据对揭示游戏规律的价值，提升对数据的敏感度和洞察力。
02
新知导入
项目情景
汉诺塔是一款大家喜爱的益智游戏。这个游戏看似简单，实则不然，世界上有很多数学家都研究过它。小智非常喜欢这个游戏，但是对于完成多层的汉诺塔却又束手无策。有什么办法可以帮助小智完成多层汉诺塔游戏呢？
让我们一起发挥聪明才智，帮助小智完成多层汉诺塔游戏吧！
汉诺塔
02
新知导入
项目目标
1.在分析、解决问题过程中逐步形成大胆尝试，积极寻求问题有效解决方法的意识，提升计算思维。
2.通过实践体验、数据收集、数据分析、归纳推理、类比猜想，总结汉诺塔游戏的规律，形成问题解决方案，提升跨学科知识应用能力。
3.经历解决汉诺塔游戏的全过程，学会运用计算机程序去解决日常生活中的数学问题，体验获得成功的乐趣，养成细致、严谨、求实的科学态度。
02
新知导入
02
新知导入
项目分析
本项目围绕“揭秘汉诺塔游戏背后的算法”展开研究。
为了确保项目顺利开展，可以按以下环节进行项目规划：
项目组人员分工
确定项目研究内容
设计项目活动
预设项目成果
全班分为若干小组，每个小组3~5人，分工明确
项目研究的内容为解密汉诺塔游戏，设计完成汉诺塔游戏的算法
依据项目研究内容及项目目标，设计项目活动
通过项目活动的开展，设定应该取得的项目成果
03
新知讲解
项目实施建议：体验游戏，收集数据
利用汉诺塔玩具，完成1~3层汉诺塔游戏，游戏过程中汉诺塔的移动次序是什么？所用最少步数又是多少呢？
设计完成简单汉诺塔游戏的最优方案。
可采用表格的方式记录数据。
表格设计时可考虑以下内容：汉诺塔的移动次序，不同层数游戏完成时的步数。
汉诺塔游戏的游戏规则是什么？
记录1~3层游戏的数据。
03
新知讲解
汉语塔游戏规则
一次仅移动一个圆盘。
小圆盘必须始终位于大圆盘之上，不可颠倒。
目标：将所有圆盘从起始柱（如A柱）移动到目标柱（如C柱），可借助辅助柱（如B柱）。
层数 移动次序（按步骤顺序） 最少步数
1 A→C 1
2 A→B, A→C, B→C 3
3 A→C, A→B, C→B, A→C, B→A, B→C, A→C 7
03
新知讲解
最优方案设计
递归策略：
将前 n 1n 1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱（借助目标柱）。
将第 nn 个圆盘从起始柱移动到目标柱。
将 n 1n 1 个圆盘从辅助柱移动到目标柱。
最少步数公式：
最少步数=2n 1（n为圆盘层数）最少步数=2n 1。
03
新知讲解
项目实施建议：分析数据，挖掘游戏规律，总结游戏策略
汉诺塔游戏是否有规律？完成汉诺塔游戏有哪些策略？请分析收集到的数据，挖掘完成游戏的规律，验证规律，并总结完成汉诺塔游戏的策略。
可将小组成员收集到的数据合并在一起进行分析。
可重点分析移动次序的规律、完成游戏最少的步数。
03
新知讲解
记录4~5层汉诺塔游戏次序，完成所需最少步数。
总结汉诺塔移动次序规律、完成游戏所需最少步数的规律及游戏策略。
根据1~3层汉诺塔游戏规律，验证4~5层汉诺塔游戏。
03
新知讲解
规律：
最少步数公式：
最少步数=2n 1最少步数=2n 1（nn 为圆盘层数）
移动次序规律：第 nn 层圆盘需在“前 n 1n 1 层移至辅助柱”后移动一次，最终形成递归链条。
奇偶交替规律：
奇数层第一步固定为最小圆盘移动到目标柱；
偶数层第一步为最小圆盘移动到辅助柱。
策略：
递归策略和迭代策略。
03
新知讲解
是否可以通过数学模型表达最少步数规律？汉诺塔游戏的算法是什么？如何描述？
请根据汉诺塔移动次序规律、最少步数规律及游戏策略，构建汉诺塔游戏最少步数数学模型，并采用流程图或自然语言等方式描述汉诺塔游戏的算法。
项目实施建议：建构数学模型，设计游戏算法
03
新知讲解
根据总结出的汉诺塔移动次序规律、最小步数规律及游戏策略，构建求最少步数数学模型。
设计并描述汉诺塔游戏算法。
数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
小科提示
03
新知讲解
最少步数数学模型
汉诺塔最少步数数学模型为T(n)=2n 1，由递推公式T(n)=2T(n 1)+1推导得出，其中n为盘子数量，T(n)为最少步数。
算法描述
定义函数hanoi(n,source,target,auxiliary)，当n=1时，直接将盘子从起始柱移到目标柱；当n>1时，先把n 1个盘子从起始柱借助目标柱移到辅助柱，再把最大盘子移到目标柱，最后把n 1个盘子从辅助柱借助起始柱移到目标柱。
03
新知讲解
项目实施建议：编写程序验证算法
根据流程图所描述的算法，确定定义变量的数量及意义。
你设计的汉诺塔游戏算法是否正确？请根据算法流程图，编写并运行程序，验证算法。
根据流程图所描迷的算法及确定的变量，设计相应计算机程序。
运行程序，验证汉诺塔游戏规律以及算法。
03
新知讲解
项目实施建议：成果展示
将小组合作完成的成果进行展示。
可以说一说解决汉诺塔问题所用到的方法。
可以展示汉诺塔游戏的程序，验证设计的汉诺塔游戏算法。
03
新知讲解
项目评价
综合评价各小组设计的汉诺塔游戏算法、算法流程图、完整程序。评价自己对于本项目目标的达成度，以及自己和小组成员在学习过程中的表现。
03
新知讲解
项目拓展
1.小智上楼梯，从一楼到二楼一共10个台阶，小智每次可以走1个或者2个台阶，请问小智从一楼走到二楼共有几种走法？
从1个台阶1种走法、2个台阶2种走法开始，通过分析后续台阶走法是前两种台阶走法之和，依次算出，最终得出10个台阶有89种走法。
03
新知讲解
从第一个月1对兔子、第二个月1对兔子起，依据每月兔子对数是前两月之和的规律，逐月计算，得到一年后有144对兔子。
2.一般来说，免子在出生两个月后就具有繁殖能力。假设具有繁殖能力的一对兔子每个月都生一对兔子。那么，一对兔子经过一年的繁殖总共可以得到多少对兔子？
项目拓展
03
新知讲解
总结归纳汉诺塔规律时的重点和注意事项
拆解步骤：将汉诺塔的移动过程逐步细分，从 1 - 3 层这种简单情况入手，清晰梳理每一步的操作。
分析数据：详细记录不同层数汉诺塔的移动步数，像 1 层 1 步、2 层 3 步、3 层 7 步等，通过对比这些数据，找出步数随着层数增加而变化的规律，比如能发现移动步数满足 1（n为层数）的数学关系。
重点
03
新知讲解
总结归纳汉诺塔规律时的重点和注意事项
全面思考：考虑各种移动的可能性，不能只局限于常见的移动方式，确保找到的规律具有普适性。例如，不能仅依据一种特定的移动顺序就归纳规律，要涵盖所有可能的正确移动次序下的情况。
验证规律：将总结出的规律套用到更多层数的汉诺塔移动中进行验证。比如用 4 层、5 层汉诺塔来检验总结的移动次序和最少步数规律是否正确，避免规律的片面性 。
注意事项
04
课堂练习
一、选择题
1、汉诺塔游戏的基本规则是（ ）。
A. 一次可以移动多个圆盘 B.小圆盘必须在大圆盘之上
C. 可以直接将圆盘从起始柱移动到目标柱 D. 不需要借助辅助柱
2、完成3层汉诺塔最少需要（ ）步。
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
3、汉诺塔的最少步数公式是（ ）。
A B. 2n C. 1 D. 3n+1
C
B
C
04
课堂练习
二、判断题
完成1层汉诺塔最少需要1步。（ ）
汉诺塔的移动策略中，可以直接将大圆盘放在小圆盘上。（ ）
递归策略要求每次只能移动一个圆盘。（ ）
5层汉诺塔的最少步数是31步。（ ）
汉诺塔问题与斐波那契数列的规律完全相同。（ ）
√
X
√
X
√
04
课堂练习
三、操作题
利用汉诺塔玩具（或通过画图模拟），完成 4 层汉诺塔游戏，记录移动次序和所用步数，并与同学交流分享。
05
拓展延伸
数学模型建立过程
准备：了解实际问题背景目的，收集相关数据，如研究交通拥堵收集道路、车流等数据。
假设：合理简化问题，突出主因，忽略次因，如自由落体忽略空气阻力。
建立：选合适工具方法构建数学结构，如用微分方程描述人口增长。
求解：用数学方法或计算机软件求模型解。
分析：对解做误差、灵敏度等分析，评估可靠性合理性。
检验：将结果与实际对比，不符则修改或重建模型。
应用：把有效模型用于实际解决问题或辅助决策。
05
拓展延伸
游戏算法的常见类型
常见类型包括寻路、碰撞检测、AI、渲染、随机数生成等算法。
寻路算法：帮助角色找路径，A * 算法可快速规划较优路径。
碰撞检测算法：判断游戏元素碰撞并确定处理方式，保证物理交互真实。
05
拓展延伸
游戏算法的常见类型
AI 算法：用有限状态机或行为树等赋予角色决策和行为能力。
渲染算法：处理画面绘制显示，提升画面质量和视觉效果。
随机数生成算法：产生随机事件或分布，增加游戏随机性和重玩价值。
05
拓展延伸
分析规律的方法
观察法：直接观察特征与变化趋势找规律。
列举法：列举相关情况或数据以分析规律。
对比法：对比不同组数据或现象找异同以揭示规律。
归纳法：从具体事例中概括出一般性规律。
演绎法：由一般原理推导出特定情况下的结论。
图表法：用图表直观呈现数据以分析规律。
统计分析法：运用统计方法分析数据特征找规律。
模型法：建立模型描述和分析规律。
05
拓展延伸
验证算法程序的编写方法
明确算法及验证目标，清楚算法功能、输入输出与预期效果。
生成测试数据，涵盖边界值、正常情况和异常情况数据。
调用算法函数，将测试数据作为参数传入。
定义预期结果，依据算法功能和测试数据确定正确输出。
进行结果比较，判断实际输出与预期结果是否一致。
记录和报告结果，记录每次测试情况并生成综合报告。
可选性能测试，使用相关函数记录算法执行时间，分析变量使用情况估算空间复杂度。
06
课堂总结
1
引入新知内容
解密玩具汉诺塔——解题策略背后的算法
2
收集数据并分析归纳总结规律
3
总结算法设计与验证算法
4
完成课堂练习
1
2
3
4
4
进行相关知识拓展
5
07
板书设计
解密玩具汉诺塔——解题策略背后的算法
1、进行新知引入
2、收集数据并分析归纳总结规律
3、总结算法设计与验证算法
4、完成课堂练习
5、进行知识拓展
课后作业。
1、编制一份介绍说明。
2、总结本节课知识并举例说明。
08
课后作业
1、请你写一份详细的介绍指南向你的朋友介绍汉诺塔，包括汉诺塔游戏的规则、如何入手探索规律、怎样构建最少步数的数学模型以及算法的自然语言描述。
2、请结合本节课对汉诺塔游戏的学习，总结汉诺塔游戏的解题策略、最少步数规律以及算法设计思路，并思考在生活中还有哪些类似需要分步、按规律解决的问题，举例说明。
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
