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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§6.1平行四边形的性质
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）在中，如果，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
2．（本题3分）中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，点为的对角线的中点，过点与边、分别相交于点、，若，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）在中，已知，，则的周长是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
5．（本题3分）下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．（本题3分）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）在平行四边形ABCD中，∠D+∠B=60°，则∠C=（ ）
A．30° B．90° C．120° D．150°
9．（本题3分）如图，在平行四边形中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度后，得到，则平行四边形的对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，在ABCD中，已知∠B=50°，那么∠C的度数是 ．
12．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，则直线的解析式为 ．
13．（本题3分）如图，在中，，BE平分，则的度数是 ．
14．（本题3分）如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则 °．
15．（本题3分）如图，中，，，D为边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，长的范围是 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在□中，、的平分线分别交对边于点、，交四边形的对角线于点、．求证：．
17．（本题7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC延长线上一点，连接DE，若∠B＝∠E，求证：DC＝DE．
18．（本题8分）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE＝CF．
19．（本题8分）如图，已知平行四边形的一个内角及其两边长，．
（1）用尺规补全平行四边形，请保留作图痕迹并说明你的作图依据；
（2）点E是边上任意一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点F，使得，简要说明你的作图过程．
20．（本题8分）如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点．
(1)证明：；
(2)若，，写出图中长度等于的所有线段．
21．（本题9分）中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
图1 图2 图3
(1)如图1，当点在线段上，时，求证：；
(2)如图2，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
(3)如图3，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
22．（本题9分）如图1，在平行四边形中，，，，点E为中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点E出发，沿折线方向运动，到达点C时停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围为 ．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§6.1平行四边形的性质
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）在中，如果，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
解：在中，与是对角，
所以；
故选：C．
2．（本题3分）中，，则（ ）
A． B． C． D．
解：在中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：D
3．（本题3分）如图，点为的对角线的中点，过点与边、分别相交于点、，若，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
故四边形的周长为．
故选：C．
4．（本题3分）在中，已知，，则的周长是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
解：如图：
∵四边形是平行四边形，，，
∴的周长是：，
故选：D．
5．（本题3分）下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
解：A．该选项的逆命题为：两个底角相等的三角形是等腰三角形，成立，故该选项不符合题意，
B．该选项的逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，故该选项符合题意，
C．该选项的逆命题为：全等三角形的三边对应相等，成立，故该选项不符合题意，
D．该选项的逆命题为：平行四边形的对角线互相平分，成立，故该选项不符合题意，
故选：B．
6．（本题3分）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵AC=2，，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=1，，
∵，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，，
，
，
∴，
故选：D．
7．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：连接，如图，
∵线段垂直平分边，
∴，
∴平分
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．（本题3分）在平行四边形ABCD中，∠D+∠B=60°，则∠C=（ ）
A．30° B．90° C．120° D．150°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=60°，
∴∠B=30°，
∵∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B=150°．
故选：D．
9．（本题3分）如图，在平行四边形中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度后，得到，则平行四边形的对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
解：设与交点为，
由题可知，，
，
，
四边形为平行四边形，
， ，，
，
，，
在中，
，
．
故选：C．
10．（本题3分）如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
,
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，
，故②正确；
由②知：，
，
故③正确；
，
，故④错误；
，
为等腰三角形的角平分线，
平分，故⑤正确，
故正确的为：①②③⑤，
故选：B．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，在ABCD中，已知∠B=50°，那么∠C的度数是 ．
解：根据平行四边形的性质：邻角互补即可求出∠C的度数．
12．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，则直线的解析式为 ．
解∵四边形ACOD是平行四边形，
∴OC=AD，OC∥AD，
∵，
∴D点坐标为，
设AD解析式为，
把代入中，
，
解得：，
∴，
故答案为：.
13．（本题3分）如图，在中，，BE平分，则的度数是 ．
解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵BE平分，
∴，
故答案为：．
14．（本题3分）如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则 °．
解：在平行四边形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：129．
15．（本题3分）如图，中，，，D为边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，长的范围是 ．
解：当BC为边时，DE=BC=8．
当BC为对角线时，
如图所示：取的中点F，过点F作FH⊥AB于点H， 连接AF，
∵AB=AC=5，BC=8，BF=CF=4，
∴，
∴AF=，
∵S△AFB=AF×BF=FH×AB，
∴FH=
∵四边形CDBE是平行四边形，
当D运动到与H点重合时，此时FH最小，
∴DE=．
∴DE的最小值为：．
D不能与B重合，此时平行四边形不存在，
综上：
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在□中，、的平分线分别交对边于点、，交四边形的对角线于点、．求证：．
证明：∵平行四边形,
∴,AD∥CB，∠ADC=∠CBA
∵、分别为角平分线，
∴ , ，
在 △ADH和△CBG中
∴
∴．
∴AH+HG=CG+HG，即．
17．（本题7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC延长线上一点，连接DE，若∠B＝∠E，求证：DC＝DE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠B＝∠E，
∴∠DCE=∠E，
∴DC＝DE．
18．（本题8分）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE＝CF．
解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠BAE=∠DCF，
又∵∠DF∥BE，
∴∠BEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF．
19．（本题8分）如图，已知平行四边形的一个内角及其两边长，．
（1）用尺规补全平行四边形，请保留作图痕迹并说明你的作图依据；
（2）点E是边上任意一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点F，使得，简要说明你的作图过程．
解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求，依据：平行四边形的两组对边相等；
（2）如图2，连接AC、BD交于点O，作直线EO交AD于F，点F即为所求．
20．（本题8分）如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点．
(1)证明：；
(2)若，，写出图中长度等于的所有线段．
（1）证明：如图，
是的平分线，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
．
（2）解：，
理由：如图，，，
，
，
，
则是等边三角形，
可得，，
，
，
是直角三角形，，
在和中，
≌（ASA），
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
识，得出是得出四边形是平行四边形的关键．
21．（本题9分）中，，垂足为点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
图1 图2 图3
(1)如图1，当点在线段上，时，求证：；
(2)如图2，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
(3)如图3，当点在线段延长线上，时，请猜想线段的数量关系；
（1）证明：如图1，
于点E，
，
，
，
，
将绕点E逆时针旋转，得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
（2），理由如下：
如图2：交的延长线于点E，
，
，
，
，
将绕点E逆时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3），理由如下：
如图3，交的延长线于点E，
，
，
，
，
，
将绕点E逆时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（本题9分）如图1，在平行四边形中，，，，点E为中点，动点P以每秒2个单位长度的速度从点E出发，沿折线方向运动，到达点C时停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，x的取值范围为 ．
（1）解：过点D作于点H，如图所示：
∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∵，点E为中点，
∴，
当点P在上，则有，，
∴，∴；
当点P在上，则有，∴；
当点P在上，则有，
∴，
∴；
综上所述：y关于x的函数关系式为；
（2）解：由（1）中函数解析式可得图象如下：
写出函数y得到一条性质有：当时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）
（3）解：由（2）中图象可知：当时，则x的取值范围是或．
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