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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§6.2平行四边形的判定
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意；
C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
2．（本题3分）如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
又∵EG∥AB，FH∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
可得图中平行四边形有：□ ABGE、□ABHF、□ABCD、□EGCD、□EGHF、□FHCD，共6个.
故选D．
3．（本题3分）如图，，，与相交于点O，经过点O，且与边、分别交于E、F两点，若，则图中的全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
解：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，AO=OC，BO=OD，
∵BF=DE，
∴CF=AE，
∵，
∴∠EAO=∠FCO，∠EDO=∠FBO，
①∵AB=CD，AO=OC，BO=OD，
∴△AOB≌△COD(SSS)；
②∵AD=BC，AO=OC，OD=OB，
∴△AOD≌△COB(SSS)；
③∵AB=CD，∠ABC=∠ADC，AD=BC，
∴△ABC≌△CDA(SAS)；
④∵AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC，
∴△BAD≌△DCB(SAS)；
⑤∵AE=CF，∠EAO=∠FCO，AO=OC，
∴△AOE≌△COF(SAS)；
⑥∵DE=BF，∠EDO=∠FBO，BO=OD，
∴△FOB≌△EOD(SAS)，
综上，一共6对全等三角形，故选：D．
4．（本题3分）如图所示，在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B． ，
C．， D． ，
解：A、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；不符合题意；
B、 ，，无法判定四边形是平行四边形；符合题意；
C、∵，，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形；不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形；不符合题意；
故选B．
5．（本题3分）下列命题正确的是( )
A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形
解A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
6．（本题3分）如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
甲：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故甲正确；
乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故丙正确；
故选：B．
7．（本题3分）在 ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是
A． B． C． D．
解：A、错误．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
∵AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴选项A错误．
B、正确．根据AE=CF，所以四边形AECF可能是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项B正确．
C、错误．由∠BAE=∠FCD，∠B=∠D，AB=CD可以推出△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∵AD=BC，
∴AF=EC，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选项C错误．
D、错误．∵∠BEA=∠FCE，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选项D错误．
故选B．
8．（本题3分）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（ ）
甲同学：．
乙同学：直线与直线互相垂直．
丙同学：和互余．
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
解：甲：∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，故甲正确；
乙：连接，如图所示：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，故乙正确；
丙：∵，
∴，
∴不是直角三角形，
∴，
∴，
∴与不互余，故丙错误；
综上分析可知：正确的是甲、乙；
故选：A．
9．（本题3分）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，要使四边形是平行四边形，下列添加条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A. ，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故错误；
B. ∵，，∴四边形ABCD是平行四边形，故正确；
C. ∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形，故正确；
D. ∵，AB∥DC，∴，∴四边行ABCD是平行四边形，故正确.
故选A.
10．（本题3分）如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C． D．
解：如图，过作，使，连接，，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴的最小值为，
故选：D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）下列四个命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形．其中假命题的是 ．（只填序号）
解①由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故命题正确；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故命题是假命题；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故命题假命题；
④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形，故命题正确；
所以②③是假命题，
故答案为：②③．
12．（本题3分）如图，在梯形中，，，，则 ．
解：∵在梯形中，，，，
．
如图，过点D作交于点E．
，
∴四边形是平行四边形．
，．
．
是等边三角形．
．
．
13．（本题3分）如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积是 ．
解
又，
四边形是平行四边形
四边形的面积：
故答案为：．
14．（本题3分）如果向量，那么四边形的形状可以是 （写出一种情况即可）
解如图：
∵=，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴四边形ABCD的形状可以是平行四边形．
故答案为平行四边形．
15．（本题3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝2，CF＝3，则CD＝ ．
解∵点E为CD中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．
在Rt△FCG中，CF＝3，
∴FG＝，CG＝．
∵DF＝BC＝2，
∴DG＝．
在Rt△DCG中，CD＝＝．
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积．
解(1)∵BC∥AD， 即BC∥DF，
∴∠CBE=∠DFE，
∵E是线段CD的中点，
∴CE=DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)∵四边形BDFC是平行四边形，
∴DF=BC=13，
∵BC∥AD，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵BD=BC，
∴BD=BC=13，
在Rt中，
，
，，
∴．
17．（本题7分）如图，点A、、、在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，且，，．求证：四边形是平行四边形．
证明：连接、、，、交于点O，如图所示：
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，互相平分，
∴四边形是平行四边形．
18．（本题8分）已知：如图，在中，点、在上，且，点、分别在、上，且，与相交于点.求证：
（1）；
（2）、互相平分.
（1）证明：∵平行四边形
∴
∴
∵
∴
∴
∵AG=CH
∴
∴
∴
∴
（2）连接EH，GF
由（1）知，
∴GE=FH，
四边形是平行四边形
∴
∴
所以、互相平分.
19．（本题8分）如图，在平行四边形中，分别是垂足．
求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
解（1）于点于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2），
，
，
四边形是平行四边形．
20．（本题8分）如图， 的对角线相交于点O，点 E，F 在对角线上，且，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，且的面积等于6，求的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
．
21．（本题9分）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点的坐标，确定第四个顶点坐标，并计算相关图形面积的问题”为主题开展数学活动． 如图，在平面直角坐标系中，已知ABO三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(4，1)，O为坐标原点．
分析计算：（1）请你直接写出ABO的面积；
操作探究：（2）若以A，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形，请你在图中画出所有符合条件的平行四边形，并直接写出其顶点C的坐标．
解：（1）
△ABO的面积为；
（2）如图，所有符合条件的平行四边形；
点C的坐标为（1，-3）、（7，5）、（1，3）．
22．（本题9分）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，A为轴正半轴上一点，连接；过点作，在上截取线段，使，过点作直线轴，垂足为；交直线于点，连接，交直线于点，
(1)求证：；
(2)当点坐标为时，求点的坐标；
(3)当时，直接写出点的坐标．
（1）解：设点A的坐标为，则，
过点M作轴于点Q，交于点P，
∴
∵，
∴，，，
∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：当点坐标为时，， ，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设过点，的直线的解析式为，则
，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得，
∴
（3）解：设点A的坐标为，则
∵，轴，
∴点C的横坐标为，
∵点C在直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§6.2平行四边形的判定
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（本题3分）如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（本题3分）如图，，，与相交于点O，经过点O，且与边、分别交于E、F两点，若，则图中的全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
4．（本题3分）如图所示，在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B． ，
C．， D． ，
5．（本题3分）下列命题正确的是( )
A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形
6．（本题3分）如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
7．（本题3分）在 ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（ ）
甲同学：．
乙同学：直线与直线互相垂直．
丙同学：和互余．
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
9．（本题3分）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，要使四边形是平行四边形，下列添加条件不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）下列四个命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形．其中假命题的是 ．（只填序号）
12．（本题3分）如图，在梯形中，，，，则 ．
13．（本题3分）如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积是 ．
14．（本题3分）如果向量，那么四边形的形状可以是 （写出一种情况即可）
15．（本题3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝2，CF＝3，则CD＝ ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积．
17．（本题7分）如图，点A、、、在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，且，，．求证：四边形是平行四边形．
18．（本题8分）已知：如图，在中，点、在上，且，点、分别在、上，且，与相交于点.求证：
（1）；
（2）、互相平分.
19．（本题8分）如图，在平行四边形中，分别是垂足．
求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
20．（本题8分）如图， 的对角线相交于点O，点 E，F 在对角线上，且，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，且的面积等于6，求的面积．
21．（本题9分）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点的坐标，确定第四个顶点坐标，并计算相关图形面积的问题”为主题开展数学活动． 如图，在平面直角坐标系中，已知ABO三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(4，1)，O为坐标原点．
分析计算：（1）请你直接写出ABO的面积；
操作探究：（2）若以A，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形，请你在图中画出所有符合条件的平行四边形，并直接写出其顶点C的坐标．
22．（本题9分）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，A为轴正半轴上一点，连接；过点作，在上截取线段，使，过点作直线轴，垂足为；交直线于点，连接，交直线于点，
(1)求证：；
(2)当点坐标为时，求点的坐标；
(3)当时，直接写出点的坐标．
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