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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§6.3三角形的中位线
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在中，，分别是边，的中点，已知，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．1 D．3
3．（本题3分）如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
4．（本题3分）如图，、分别为的边、的中点，连接，过点作平分，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）
6．（本题3分）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，点分别是的边上的中点，按以下步骤作图：①以为圆心．任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（本题3分）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（本题3分）如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC=12米，AB=BC=8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米 B．20米 C．17米 D．14米
10．（本题3分）如图，在四边形ABCD中，，，且，垂足为O，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的有（ ）
①是△ABD的中位线；②是△ABO的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是．
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）已知梯形的上底长是，中位线长是，那么下底长是 ．
12．（本题3分）如图，在中，，分别是，的中点，是延长线上一点，，交于点，且，则 .
13．（本题3分）已知：如图，∠CAB=∠ABD=90°，且CB=AD，CB、AD交于点E，EF⊥AB于点F，求证：
(1)AC=BD；
(2)若BD=6，则EF= ．
14．（本题3分）如图，中，，是中的外角平分线，且，若是的中点，，则的长为 ．
15．（本题3分）如图，在中，， ．点 D 为 的中点， E 为边上一动点（不与 A 、 B 点重合），以点 D 为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点 F （不与 A 、 C 点重合），分别连接 、，
下列结论中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①，②是等腰直角三角形；
③无论点 E 、 F 的位置如何，总有成立；
④四边形的面积随着点 E 、 F 的位置不同发生变化．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？
17．（本题7分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，E、F分别为AC、AD中点，连接EF，若，求线段EF的长度．
18．（本题8分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
19．（本题8分）如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上．
(1)求证：为的中点；
(2)点为的中点，连接，交于点，求证：．
20．（本题8分）如图，，、分别是、的中点，图①是沿将折叠，点落在上，图②是绕点将顺时针旋转.
（1）在图①中，判断和形状.（填空）_______________________________________
（2）在图②中，判断四边形的形状，并说明理由.
21．（本题9分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．
（1）求证：GH＝GF；
（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．
22．（本题9分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)若，求EF的长；
(2)若，求证：．
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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§6.3三角形的中位线
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为（ ）
A． B． C． D．
解∵M、N分别是、中点，且，
∴是的中位线，
∴；
故选：B．
2．（本题3分）如图，在中，，分别是边，的中点，已知，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．1 D．3
解：，分别是边，的中点，
．
故选：C．
3．（本题3分）如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
解：∵在平行四边形中，，
∴．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故选B．
4．（本题3分）如图，、分别为的边、的中点，连接，过点作平分，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：，为，中点，AD=7，
，且，AD=BD=7
，
又平分，，即，，
则，
．故选：A．
5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）
解过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，
∴NE∥x轴，NF∥y轴，
∵点A(0，2)，B(4，0)，点N为线段AB的中点，
∴NE=2，NF=1，
∴点N的坐标为(2，1)，
故选：D
6．（本题3分）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，
，，，
的周长为，
的周长为，
…
以此类推，第个三角形的周长为，
故选：A．
7．（本题3分）如图，点分别是的边上的中点，按以下步骤作图：①以为圆心．任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
解：∵点分别是的边上的中点，
∴，，，
∴，
由作图知，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．（本题3分）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵四边形是平行四边形，．
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
是的中点，，
∴是的中位线，
，
故选：C．
9．（本题3分）如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC=12米，AB=BC=8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（ ）
A．22米 B．20米 C．17米 D．14米
解：由题意可知，点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴是的中位线，
∴，，，即
∴四边形BCED的周长
故选A．
10．（本题3分）如图，在四边形ABCD中，，，且，垂足为O，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的有（ ）
①是△ABD的中位线；②是△ABO的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是．
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
解：是的中点，是AD的中点，
是的中位线，故①正确；
不在的边上（即不是边的中点），
不是的中位线，故②错误；
分别是边AB，AD，BC，CD的中点
四边形是平行四边形，
同理四边形是平行四边形，
四边形是矩形
分别是边的中点
四边形是菱形
同理可得四边形是矩形，四边形是菱形，故③正确；
四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且
由三角形的中位线定理可知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半
即四边形的面积是，故④正确，
综上所述，正确的有①③④
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）已知梯形的上底长是，中位线长是，那么下底长是 ．
解：由已知得，下底=2×7-5=9cm．
故答案为9．
12．（本题3分）如图，在中，，分别是，的中点，是延长线上一点，，交于点，且，则 .
解：∵D、E分别是AB和AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠EDG＝∠F，
∵EG=CG, ∠DGE＝∠FGC，
∴△GED≌△GCF
∴DE＝CF＝1
∴CF＝BC
∴BC＝2
故答案为2．
13．（本题3分）已知：如图，∠CAB=∠ABD=90°，且CB=AD，CB、AD交于点E，EF⊥AB于点F，求证：
(1)AC=BD；
(2)若BD=6，则EF= ．
（1）证明：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵∠CAB=∠ABD=90°，CB=AD，AB=AB，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴AC=BD；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE，
∵∠D+∠EAB=∠EBA+∠EBD=90°，
∴∠D=∠EBD，
∴BE=DE，
∴AE=DE，
∴E点是AD中点，
∵EF⊥AB，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=BD=3，
故答案为：3．
14．（本题3分）如图，中，，是中的外角平分线，且，若是的中点，，则的长为 ．
解：延长交于点F ，
为的外角平分线，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
∴是的中位线，
，
，
，
故答案为：9．
15．（本题3分）如图，在中，， ．点 D 为 的中点， E 为边上一动点（不与 A 、 B 点重合），以点 D 为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点 F （不与 A 、 C 点重合），分别连接 、，
下列结论中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①：
②是等腰直角三角形；
③无论点 E 、 F 的位置如何，总有成立；
④四边形的面积随着点 E 、 F 的位置不同发生变化．
解：在中，， ．
，
点 D 为 的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形的面积
故①正确，④错误；
，
，
是等腰直角三角形；
故②正确；
取特殊值，
当为中点时，
，
，
，
为中点，
，
故③错误；
综上所述，正确的结论是①②；
故答案为：①②．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？
解：∵D、E分别是、中点，
∴．
∴理由是“三角形的中位线等于第三边的一半”．
17．（本题7分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，E、F分别为AC、AD中点，连接EF，若，求线段EF的长度．
解∵∠ACD＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴CD＝BC＝2，
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF＝CD＝1．
18．（本题8分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
解：△PMN是等腰三角形，
理由如下：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM是△DBC的中位线，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形．
19．（本题8分）如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上．
(1)求证：为的中点；
(2)点为的中点，连接，交于点，求证：．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
点在边上，且平分，平分，
，，
，，
，，
，
为的中点．
（2）证明：取的中点，连接，
点为的中点，
，，
，，且，
，，
，
在和，
，
，
，
，，
，
，且，
．
20．（本题8分）如图，，、分别是、的中点，图①是沿将折叠，点落在上，图②是绕点将顺时针旋转.
（1）在图①中，判断和形状.（填空）_______________________________________
（2）在图②中，判断四边形的形状，并说明理由.
解：（1）和均为等腰三角形.
∵DE∥BC,
∴∠A′DE=∠BA′D, ∠B=∠ADE,
∵∠ADE=∠A′DE,
∴∠B=∠BA′D,
∴BD=A′D，
∴为等腰三角形；
同理可证CE=A′E，即为等腰三角形.
（2）四边形为平行四边形.
理由：、分别是、的中点，
，.
由旋转的性质可知，
，
四边形是平行四边形.
21．（本题9分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．
（1）求证：GH＝GF；
（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．
解（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，
∴HG∥CE，GF∥BD，且GH＝CE，GF＝BD，
∴GH＝GF；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵HG∥CE，GF∥BD，
∴∠HGD＝∠ECD，∠GFC＝∠DBC，
∴∠HGD＝∠ACD+∠ECA＝∠ACD+∠ABD，
∠DGF＝∠GFC+∠GCF＝∠DBC+∠GCF，
∴∠FGH＝∠DGF+∠HGD
＝∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD
＝∠ABC+∠ACB
＝180°﹣∠BAC，
∴∠FGH与∠BAC互补．
22．（本题9分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)若，求EF的长；
(2)若，求证：．
（1）解：如图1，取的中点，连接，
∵，，
∴分别是的中位线
∴，，，
∴，，，
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴的长为5．
（2）证明：如图2，取的中点，连接，
∵，，
∴分别是的中位线
∴，，，
∴，
∵
∴
在中，由勾股定理得
∴
∴．
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