2025年中考数学二轮复习 专题9 三角形、四边形的相关计算 课件 (共53张PPT)

(共53张PPT)
专题九　三角形、四边形的相关计算
类型一 利用勾股定理求线段长
　　在图形中遇到求线段的长时，有时可以利用图形中的直角三角形
（或通过作垂线将待求线段放入某个直角三角形中），通过勾股定理
来解决问题.
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为BC边上
一点，连接AP，若AP＝ ，则PC的长为 　 或 　.
或 　
2. [2024·达州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，
且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 .
　
3. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，将
△ABE沿BE折叠得到△FBE，EG∥DC，交BF于点G，则EG的长
为 .
　
4. 如图①，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝
∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图②，将△ABC固定，将
△CEF绕点C顺时针旋转，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求
OF的长.
解：如图②，过点E作EH⊥CF于点H. 设OB＝OE＝x（x＞0）.
∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，
∴EC＝ EF＝ ，∴EH＝ ，CH＝ EH＝ ，
∴OC＝ ＝ ，∴OH＝CH－OC＝ － .
∵OE2＝EH2＋OH2，∴x2＝ ＋ ，
解得x＝ 或x＝－ （舍去），∴OC＝ ＝ .
又∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF－OC＝2－ ＝ .
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD
上，BE＝3，∠EAF＝45°，求DF的长.
解：【方法一】如图①，作正方形AMND，延长AE交MN于点G，连
接FG，将△ADF绕点A
顺时针旋转90°得到△AMH，易得△ADF≌△AMH，△AGF≌△AGH
（SAS）.
∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得MG＝ .设DF＝x，则FN＝9－x，FG
＝HG＝x＋ .
∵FG2＝FN2＋NG2，∴ ＝（9－x）2＋ ，解得x＝3，
即DF＝3.
【方法二】如图①，连接HF. 易得AG垂直平分HF，
△AMG∽△HNF，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得x＝3，即DF＝3.
【方法三】如图②，过点F作FG⊥AF，交AE的延长线于点G，过点G作BC的平行线，
分别交AB，DC的延长线于点M，N. 易得△AFG为等腰直角三角形，△ADF≌△FNG（AAS）.
设DF＝x，则NG＝DF＝x，MG＝9－x.
∵ ＝ ，∴ ＝ ，解得x＝3，即DF＝3.
类型二 利用相似求线段长或线段比
　　在图形中遇到求线段长或线段比时，有时可以利用图形中的相似
三角形，通过相似三角形的性质得到线段比或建立待求线段的相似比
方程来解决问题.若图形中没有相似三角形，有时还需要通过作平行线
或垂线构造与待求线段相关的相似三角形.
1. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，BC＝4 ，D为BC上一
点，且∠DAC＝45°，则BD的长为 .
　
2. 如图，在△ABC中，点O在边BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝
75°，AO＝3 ，BO∶CO＝1∶3，则AB的长为 　4 　.
4 　
3. [2024·宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对
角线AC的长是 .
2 ＋2　
4. 如图，在正六边形ABCDEF中，M为CD的中点，点N在边BC上，
且CN＝2BN，AM与FN相交于点P， 的值为 　 　.
　
5. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，P为AB边上一点，M为CP
的中点，若∠PBM＝∠ACP，求BP的长.
解：如图，过点M作MN∥AC，交AB于点N，则MN为△APC的中位线，
∴MN＝ AC＝1，∠NMP＝∠ACP＝∠PBM.
又∵∠PNM＝∠MNB，∴△NPM∽△NMB，∴ ＝ .
设AN＝NP＝x，则 ＝ ，解得x1＝ （舍去），x2＝ ，
∴BP＝AB－AP＝3－2x＝3－2× ＝ .
6. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝3，D是CB延长线上一点，且
BD＝1.点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，求AE的长.
解：分以下两种情况讨论.
如图①，点E在线段AC的延长线上时.
∵∠ABD＝∠DCE＝120°，∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CE＝ ，∴AE＝AC＋CE＝3＋ ＝ .
如图②，点E在线段AC上时，过点E作EF∥AB，交BC于点F，则
△EFC为等边三角形.
∵∠ABD＝∠BFE＝120°，∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DFE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DF＝3EF＝3CF.
∵CD＝DF＋CF＝4，∴3CF＋CF＝4，解得CF＝1，∴CE＝CF＝
1，AE＝AC－CE＝2.
综上所述，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为2或 .
7. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点.
（1）如图①，H为CD上一动点，过点H作EF⊥CD，交BC于点E，
交AC于点F，若 ＝ ，求 的值；
解：（1）如图①，过点A作AM∥BC，交CD的延长线于
点M，
∴△ADM∽△BDC，∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠ACM＝ ，∴tan∠HCF＝tan∠CEH＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ .
（2）如图②，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝DH，求 的
值.
解：（2）如图②，过点D作DN⊥AC于点N. 设CH＝
DH＝ DC＝x.
∵∠AHD＝∠CAD＝45°，∠ADH＝∠CDA，
∴△ADH∽△CDA，∴AD2＝HD·CD＝2x2，
∴AD＝ x，AN＝DN＝ AD＝x，∴CN＝ ＝ ＝ x，∴ ＝ ＝ ＝ .
类型三 构造全等三角形求线段长
　　在图形中遇到求线段长时，有时通过作垂线或平行线的方法构造
全等三角形，利用全等三角形的性质达到与已知线段长的等量转换，
再结合勾股定理、相似三角形等相关知识求解.
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，且E为对角
线BD的中点，∠DAE＝30°，∠BCE＝120°.若CE＝1，BC＝2，求
AC的长.
解：如图，过点D作DM∥BC，交AC于点M. 易得△DEM≌△BEC
（ASA或AAS），
∴DM＝BC＝2，ME＝CE＝1，∠DME＝∠BCE＝120°，∴∠AMD
＝60°.
又∵∠DAE＝30°，∴∠ADM＝90°，∴AM＝2DM＝4，∴AC＝
AM＋MC＝4＋2＝6.
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为△ABC内一
点，连接AP，BP，CP，其中CP的延长线交AB于点E，若∠CBP＝
∠PCB＝15°，求AP的长.
解：如图，过点A作AM⊥CE于点M，过点B作BN⊥CE，交CE的延长线于点N.
易得△ACM≌△CBN（AAS）.设BN＝CM＝x.∵∠CBP＝∠PCB＝15°，∴∠BPN＝30°，
∴CP＝BP＝2BN＝2x，∴PM＝CM＝x，∴AM为CP的垂直平分线，∴AP＝AC＝4.
3. 如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，AC＝2，点P在边AB上，Q在
BC的延长线上，且PA＝QC，连接PQ交AC于点D，PE⊥AC于点
E，求DE的长.
解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∴∠A＝∠ACB＝∠AFP，∴PA＝PF. 又∵PE⊥AC，∴EF＝ AF.
∵∠PFD＝∠QCD，∠PDF＝∠QDC，PF＝PA＝QC，∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴DF＝DC，∴DE＝EF＋DF＝ AF＋ FC＝ AC＝ ×2＝1.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为AC的中
点，CH⊥BD于点H，O为AB的中点，连接OH，求OH的长.
解：如图，连接CO，过点O作OE⊥OH，交BD于点E. 易得CO＝BO，∠HOC＝∠EOB.
∵∠ACO＝∠OBC＝45°，∠DCH＝∠HBC，∴∠OCH＝∠OBE，
∴△OCH≌△OBE（ASA），∴OH＝OE，CH＝BE.
∵CD＝2，BC＝4，
∴BD＝ ＝2 .∵ BD·CH＝ CD·BC，∴CH＝BE＝ .
又∵BH＝ ＝ ，∴HE＝BH－BE＝ .
∵△OEH是等腰直角三角形，∴OH＝ HE＝× ＝ .
类型四 利用旋转变换求线段长
　　当遇到“从一点（O）呈放射状发射出三条线段（OA，OB，
OC），且其中有两条线段相等（OA＝OB，OA与OB的夹角为α）”
的几何图形，求某线段长时，往往可以以点O为旋转中心，将以OA
（或OB）为边的一个三角形旋转α度，使其与OB（或OA）重合，构
造出“手拉手模型”，实现线段的等量转换，图形重构.
1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝ ，BC＝4，以AC为直
角边作等腰直角三角形ACD，连接BD，求BD的长.
解：如图，将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△AEC，连接BE.
易得△AEC≌△ABD，△ABE为等腰直角三角形，
∴BD＝EC，EB＝ AB＝ × ＝3.
∵∠ABC＝∠ABE＝45°，∴∠EBC＝90°，∴BD＝EC＝ ＝ ＝5.
2. 如图，E为菱形ABCD外一点，∠BEA＝∠ABC＝60°，AE＝3，
BE＝5，求DE的长.
解：如图，将△EAD绕点A顺时针旋转120°得到△FAB，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M.
易得△FAB≌△EAD，AF＝AE，BF＝DE，∠EAF＝∠BAD＝120°，
∴∠AEF＝（180°－120°）÷2＝30°，∠BEF＝∠AEF＋∠BEA＝90°.
∵AM＝ AE＝ ，EM＝ ＝ ，
∴EF＝2EM＝3 ，∴DE＝BF＝ ＝
＝2 .
3. 如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点A，B，C的距离分别
为2 ， ，4，求正方形ABCD的面积.
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于点H.
∵BP＝BM＝ ，∠PBM＝90°，∴PM＝ BM＝2.∵PC＝4，PA＝MC＝2 ，
∴PC2＝CM2＋PM2，∴∠PMC＝90°.∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CMB＝∠APB＝135°，∴∠APB＋∠BPM＝180°，∴A，P，M三点共线.
∵BH⊥PM，∴PH＝HM，∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝2 ＋1，
∴AB2＝AH2＋BH2＝（2 ＋1）2＋12＝14＋4 ，∴
正方形ABCD的面积为14＋4 .
4. 如图，B，C为△ADE的边DE上两点，∠BAC＝90°，AB＝AC.
若∠DAE＝135°，BD＝2，CE＝3，求AB的长.
解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到
△ACF，连接DF. 易得△ACF≌△ABE，
∴CF＝BE，AF＝AE，∠ACF＝∠ABE. ∵∠BAC
＝90°，AB＝AC，
∴∠ACF＝∠ABE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝
90°，即△DCF为直角三角形.
∵∠DAE＝135°，∠FAE＝90°，∴∠DAF＝360°
－∠DAE－∠FAE＝135°，
∴∠DAE＝∠DAF. 又∵AF＝AE，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DF＝DE. 设BC＝x，则CF＝BE＝x＋3，DF＝DE＝x＋5，
DC＝x＋2.
在Rt△FCD中，DF2＝DC2＋CF2，∴（x＋5）2＝（x＋2）2＋
（x＋3）2，解得x＝2 或x＝－2 （舍去）.
∴BC＝2 ，∴AB＝ BC＝ .
5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，以AC为边
向外作等边三角形ACD，连接BD，求BD的长.
解：如图，将△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△AEC，连接BE.
易得△AEC≌△ABD，△ABE为等边三角形，∴BD＝EC，
EB＝AB＝6，∠EBC＝120°.
过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F（如图），则∠BEF＝
∠EBC－∠F＝30°，
∴BF＝ EB＝3，EF＝ ＝3 ，
∴BD＝EC＝ ＝ ＝14.
6. [2024·宜宾改编]如图，在△ABC中，AB＝3 ，AC＝2，以BC为
边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，求AD的最大值.
解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°至BE，连接AE，DE.
∵BE＝BA，∠ABE＝90°，∴AE＝ AB＝ ×3 ＝6.
∵∠DBC＝∠EBA＝90°，∴∠DBE＝∠CBA. 又∵BD＝BC，
BE＝BA，
∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝CA＝2.
∵在△ADE中，由三角形三边关系可得AD＜AE＋DE，
∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值为DE＋AE＝2＋6＝8.
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