【专项培优】北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明（含答案）

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【专项培优】北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明
一、单选题
1．（2020八上·盐田期末）下列命题是真命题的为（　　）
A．若两角的两边分别平行，则这两角相等
B．若两实数相等，则它们的绝对值相等
C．对应角相等的两个三角形是全等三角形
D．锐角三角形是等边三角形
2．（2023七上·利津期末）已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，且它们满足，则该三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．（2024九下·河西模拟）如图，中，，，分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线，与边于点E，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023八上·青羊期中）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
5．（2023八下·金安期末）给出下列四个命题中，其中是假命题的是（　　）
A．在中，如果满足，那么
B．在中，如果两直角边长分别为6和8，那么斜边长为10
C．在中，如果，那么是直角三角形
D．在中，如果，那么是直角三角形
二、判断题
6．（2022七上·丰润开学考）判断题：一个直角三角形中，有一个锐角是，另一个锐角是．
三、填空题
7．（2019八下·慈溪期中）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：　 　.
8．（2024七上·交城期末）如图，点O是直线上一点，，是的平分线，则的度数是　 　°．
9．（2020八上·萧山期中）命题：“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是　 　.
10．如图，在中，弦半径，则的度数为　 　．
11．（2024八上·游仙期中）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点G、E在BC上，则∠GAE的度数为 　 　．
12．（2023八下·罗定期中）如图，将等边三角形沿着折叠，点落到点处，连接．若，则　 　．
四、计算题
13．（2024八上·武功期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点，交的延长线于点．求和的度数．
14．（2024八上·下陆月考）如图，在中，为的平分线，交于点．
（1）求的度数；
（2）请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积．
五、解答题
15．（2017八下·文安期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
16．（2024七下·金溪期中）中，是的角平分线，E为上一点，于F，，求的度数．
六、综合题
17．（2017八下·广州期中）如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S△ABD= c（c+x）你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．
18．（2024八上·南安期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）．
（1）请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程）
（2）甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
19．（2019八上·泰州月考）如图， ，垂足为 . 如果 ，
（1）直接写出 　 　， 　 　；
（2） 是直角三角形吗？证明你的结论.
七、实践探究题
20．（2024八上·绍兴竞赛）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定；实数的绝对值；真命题与假命题
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
3．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；真命题与假命题
6．【答案】正确
【知识点】直角三角形的性质
7．【答案】AB∥CD
【知识点】反证法
8．【答案】25
【知识点】垂线的概念；角平分线的性质
9．【答案】直角三角形的两锐角互余
【知识点】逆命题
10．【答案】100°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
11．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
13．【答案】，．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；同位角的概念
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质
15．【答案】解：∵42+32=52，52+122=132，
即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，
同理，∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
= ×3×4+ ×5×12
=6+30
=36．
【知识点】勾股定理的逆定理
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
17．【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）
∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的对应角相等），
∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．
∴∠AFE=180°﹣（∠BAC+∠AEF）=90°．
∴DE⊥AB
（2）解：由题意知：
S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE= a2+ b2+ cx，
∵ ，
∴ ．
∴a2+b2=c2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明
18．【答案】（1）是直角三角形；
（2）甲方案所搭建的传送带较短．
【知识点】勾股定理的逆定理
19．【答案】（1）5；10
（2）解：∵AC= ；AB=2 ，BC=CD+BD=5，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
20．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
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