18.1.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、角的性质（共39张PPT）人教版数学八年级下册

(共39张PPT)
18.1　平行四边形
18.1.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的边、角的性质
1. 平行四边形的定义
两组对边 的四边形叫做平行四边形.平行
四边形用符号“ ”表示.
分别平行　
　
（2）已知：如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交
CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F.
结论：①AD＝DE，CF＝CB，DE＝CF；
②AE⊥BF.
（3）已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，
AF⊥CD，垂足分别为E，F.
结论：①S ABCD＝BC·AE＝CD·AF；
②∠B＝∠EAF＝∠D，∠C＋∠EAF＝180°.
题型一平行四边形的边、角的性质的应用
（1）平行四边形ABCD中，
∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（　B　）
A. 1∶2∶3∶4 B. 5∶6∶5∶6
C. 2∶4∶4∶5 D. 4∶4∶3∶3
B
（2）如图，在 ABCD中，AE⊥CD，若∠B＝
60°，则∠DAE的度数是 °.
30　
（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F. 若AB＝5，BC＝3，则EC的长度是（　C　）
C
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 2.5
图1
（2）如图2，在 ABCD中，AC的垂直平分线交AD于
点E，且△CDE的周长为8，则 ABCD的周长
是 .
16　
图2
1. 在 ABCD中，若∠A＝80°，则∠B的度数
是 .
100°　
2. （2024·重庆巴蜀）如图，在 ABCD中，∠ABC，
∠BCD的平分线交边AD上于一点E，且BE＝AB＝
，线段CE的长为（　D　）
D. 3
（第2题）
D
3. （2024·江西）【追本溯源】题（1）来自课本中的习
题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.
图1　　　　　　图2
（第3题）
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于
点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断
△BDE的形状，并说明理由；
解：（1）△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠ABD，
∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形.
图1
（2）如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD
于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交
BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有（　B　）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
B
【方法应用】
图2
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长.
（2）①由题易知，△ABE，△ABG，
△ADF，△CGF是等腰三角形.故选B.
图2
②∵在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5.
∵BE平分∠ABC，
AD∥BC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形.
∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF
∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠DFA，
∴∠EAF＝∠DFA，
∴AD＝DF.
∴CF＝DF－CD＝AD－CD＝5－3＝2.
题型二两平行线间的距离
如图，四边形ABCD是平行四边形.
（1）请在图中画出可以表示AB与CD之间，AD与CB
之间的距离的线段；
解：（1）如答案图，过点D作DE⊥AB于点E，
DF⊥BC于点F，则DE，DF分别表示AB与CD之
间，AD与CB之间的距离.（答案不唯一）
（答案图）
（2）若AB＝6，CB＝3，AD与CB之间的距离是4，
求AB与CD之间的距离.
（2）由题意可知，AB·DE＝CB·DF.
∵AB＝6，CB＝3，DF＝4，
∴6DE＝3×4，解得DE＝2.
∴AB与CD之间的距离为2.
4. （2024·重庆育才）如图，在 ABCD中，AE⊥BC
于点E，AF⊥CD于点F，AE＝3，AF＝7， ABCD
的周长为60，则 ABCD的面积是（　C　）
A. 36 B. 48
C. 63 D. 75
（第4题）
C
5. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上.若AE＝4，BD
＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .
（第5题）
8　
1. 平行四边形的对角线的性质
平行四边形的对角线 .
互相平分　
符号语言：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ ，OD＝ .
OC　
OB　
2. 平行四边形中全等及面积相等的三角形
ABCD中，AC与BD交于点O，则
△ADC≌ ，△ADB≌ ，
△ADO≌ ，△AOB≌ ，
且△ADC，△CBA，△ADB，△CBD的面积相等，等
于 ABCD面积的 ；△ADO，△CBO，△AOB，
△COD的面积相等，等于 ABCD面积的 .
△CBA　
△CBD　
△CBO　
△COD　
　
　
3. 基本图形及结论
如图，AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交平
行四边形各边所在直线于点E，F.
结论：①OE＝OF；
②平行四边形ABCD被直线EF所分的两个四边形面积
相等.（即过平行四边形对角线交点的任意一条直线将
平行四边形的面积平分）
题型一平行四边形对角线的性质的应用
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
△ABO的周长为23 cm，AD比CD长2 cm，AC＋BD＝
34 cm，求 ABCD的周长.
[分析] 由平行四边形的对边相等、对角线互相平分的性
质可知AB＝CD，AD＝BC，OC＝OA，OB＝OD，
则AC＋BD＝2（OA＋OB），结合△ABO的周长可求
出 ABCD较短边的长，再求出较长边的长，进而求出
其周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OD＝OB，OA＝OC.
∴AC＋BD＝2（OA＋OB）＝34 cm.
则OA＋OB＝17 cm.
∵△ABO的周长为23 cm，
∴CD＝AB＝23－17＝6（cm）.
∵AD比CD长2 cm，∴AD＝8 cm.
∴ ABCD的周长为（6＋8）×2＝28（cm）.
[思维点拨] 当题目中出现平行四边形的对角线时，常利
用对角线互相平分的性质寻找相等的线段.
1. （2024·重庆南开）如图，在 ABCD中，AC，BD
交于点O，OE⊥AC交AD于点E，连接CE，若△DCE
的周长为14，则 ABCD的周长为（　C　）
A. 7 B. 14
C. 28 D. 56
C
（第1题）
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，
F. 求证：AE＝CF.
（第2题）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD. ∴∠AEO＝∠CFO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS）.∴AE＝CF.
题型二平行四边形性质的综合应用
如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交BC，AD于点E，F. 求证：
（1）△AOF≌△COE；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠FAO＝∠ECO，∠AFO＝∠CEO.
∵点O是AC的中点，∴AO＝CO.
∴△AOF≌△COE（AAS）.
（2）BE＝DF.
（2）由（1）知△AOF≌△COE，∴AF＝CE.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD.
∴BC－CE＝AD－AF，
即BE＝DF.
[思维点拨] 平行四边形的对角线将平行四边形分成了一
些全等的三角形，利用全等三角形的性质，可以证明线
段相等、角相等.
3. 如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点
E，交BC于点F. 则下列说法：
（第3题）
①OE＝OF；
②图中共有4对全等三角形；
③若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；
④S四边形ABFE＝S△ABC.
其中正确的有（　C　）
A. ①④ B. ①②④
C
C. ①③④ D. ①②③
4. 如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，
AC⊥BC，则BD＝ .
（第4题）
4 　
5. 如图所示， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
AE⊥BC，垂足为E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4.
（第5题）
（1）求证：AB⊥AC；
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
AC＝2，BD＝4，
∴OA＝ AC＝1，OB＝ BD＝2.
又∵AB＝ ，
∴OA2＋AB2＝OB2，
∴△BAO为直角三角形，且∠BAO＝90°，
∴AB⊥AC.
（2）求AE的长.
（2）解：∵△BAC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴BC2＝AB2＋AC2.
∵AB＝ ，AC＝2，
∴BC＝ ＝ ，
∴S ABCD＝AE·BC＝AB·AC，
∴AE＝ ＝ .
（第5题）