4.6 一元二次方程根与系数的关系 综合练习（含答案） (1)

4.6 一元二次方程根与系数的关系
综合练习
一、填空题：
1、如果关于的方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的两根之差为2，那么 。
2、已知关于 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的一元二次方程两根互为倒数，则 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 。
3、已知关于的方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的两根为，且 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，则 。
4、已知 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 是方程的两个根，那么： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ； ； HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 。
5、已知关于的一元二次方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的两根为和 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，且，则 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ； 。
6、如果关于 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的一元二次方程的一个根是 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，那么另一个根是 ，的值为 。
7、已知 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 是的一根，则另一根为 ， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值为 。
8、一个一元二次方程的两个根是和 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，那么这个一元二次方程为： 。
二、求值题：
1、已知是方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 是方程的两个根，利用根与系数的关系，求 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值。
3、已知是方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的两根满足关系式，求 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值及方程的两个根。
6、已知方程和 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
1、实数 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 在什么范围取值时，方程有正的实数根？
2、已知关于 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的一元二次方程
（1）求证：无论 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根、 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 满足，求 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值。
3、若，关于 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的方程有两个相等的正的实数根，求 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值。
4、是否存在实数，使关于 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的方程的两个实根 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，满足，如果存在，试求出所有满足条件的 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于的一元二次方程 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" （）的两实数根为 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，若，求 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值。
6、实数、 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 分别满足方程和 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，求代数式的值。
答案与提示
一、填空题：
1、提示： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
∴，解得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
2、提示：，由韦达定理得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
解得：，代入 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，∵ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
∴，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，解得：。
4、提示：由韦达定理得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ； HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；由， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ＜0，则 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596336512310.gif"；②设 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ＜0，＞0，则 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596336511413.gif"。
5、提示：由韦达定理得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，∵ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596336677699.gif"。
6、提示：设 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，由韦达定理得：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴，解得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，即。
7、提示：设 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596334951298.gif"，由韦达定理得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
∴，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596336988972.gif"
8、提示：设所求的一元二次方程为 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，那么， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
∴，即 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；；∴设所求的一元二次方程为： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
二、求值题：
1、提示：由韦达定理得：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596337295749.gif"
2、提示：由韦达定理得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596337294980.gif" HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596337297850.gif" HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
3、提示：由韦达定理得：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596337450880.gif"
HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596337453204.gif" HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
4、提示：设这两个数为，于是有 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，因此 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 可看作方程的两根，即 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，所以可得方程： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，解得：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，所以所求的两个数分别是， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 。
5、提示：由韦达定理得， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∵，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
∴，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，化简得：；解得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，；以下分两种情况：
①当 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 时，， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，组成方程组： ；解这个方程组得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；
②当时， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，，组成方程组： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；解这个方程组得：
6、提示：设 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 和相同的根为 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，于是可得方程组：
；① HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ②得：，解这个方程得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；
以下分两种情况：（1）当时，代入①得 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；（2）当时，代入①得 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 。
所以和 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 相同的根为， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值分别为， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 。
三、能力提升题：
1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ＞0；于是可得不等式组：
解这个不等式组得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ＞1
2、提示：（1）的判别式△ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
＞0，所以无论 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：
解这个关于 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的方程组，可得到：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，由于，所以可得 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，解这个方程，可得：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；
3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，② HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ＞0；于是得到不等式组：
求得不等式组的解，且兼顾 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；即可得到＞ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，再由可得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，接下去即可根据， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ＞，得到 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，即：＝4
4、答案：存在。
提示：因为 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，所以可设（ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ）；由韦达定理得：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；于是可得方程组：解这个方程组得：①当 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 时，；②当 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 时，； 所以 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的值有两个：； HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ；
5、提示：由韦达定理得：， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，则 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596339174349.gif" HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，即，解得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"
6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和 HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" 的根：
， HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
∴，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，
又∵，变形得： HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" INCLUDEPICTURE "http:///czsx/xszx/jtzd/czsxffjq/201112/W020111208596339327768.gif" HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\" ，∴ HYPERLINK "http://www." \o "中国教育出版网\"