4.6一元二次方程的根与系数的关系 学案

4.6一元二次方程的根与系数的关系导学案
学习目标重难点
在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。
学习流程：
一、自主探究一
解下列方程，完成下面表格.
（1）x2－2x＝0； （2）x2＋3x－4＝0；（3）x2－5x＋6＝0
方程 两个根x1，x2的值 两根之和x1＋x2 两根之积x1·x2
x1 x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
猜想一元二次方程的两个根的和与积和原来的方程的系数有什么联系？
结论1：
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1、x2，则有x1＋x2＝______，x1 x2＝______；
二、自主探究二
自学课本147页内容，独立思考解答下列问题：求解填写下表：
方程 两个根x1，x2的值 两根之和x1＋x2 两根之积x1·x2
x1 x2
2x2＋5x＋3＝0
3x2－2x－2＝0
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
1. 请根据以上的观察，进一步猜想：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________．
2. 你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明．
结论2：
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )0）的两根分别为x1、x2，则有x1＋x2＝______，x1 x2＝______．即两根的和等于______系数与______系数的比的相反数；两根的积等于______与______系数的比．
三、巩固练习
1．根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2－3x＋1＝0 x1＋x2＝ ________ x1x2＝_________
（2）3x2＋5x＝0 x1＋x2＝________ x1x2＝__________
（3）5x2＋x－2＝0 x1＋x2＝ _________ x1x2＝__________
（4）5x2＋kx－6＝0 x1＋x2＝_________ x1x2＝__________
2. 设x1、x2是一元二次方程x2＋3x－4＝0的两个根，不解方程，求x1＋x2＋2x1x2的值．
例题.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两个根的平方和.
3. 不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。
4.阅读课本例1，完成下面问题
已知方程x2＋kx－6＝0的一个根为x1＝2，则另一个根x2＝___，k＝___．
5. 完成教材P148随堂练习1.2.
四、达标检测：
1．已知方程的两个解分别为、，则的值为（ ）
A． B． C．7 D．3
2．如果关于x的方程2x2－5x＋m＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（ ）
A． B．－ C．2 D．－2
3．已知x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两个根，则x1＋x2＝__，x1x22＋x12x2＝__．
4．已知关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
五、自我小结：（本节课你都学习了哪些知识和方法？还有哪些不足？）