浙江省杭州师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1.(2024高一下·杭州期中)已知集合,,则的非空子集个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
【答案】A
【知识点】交集及其运算;有限集合的子集个数
【解析】【解答】解:由题意可知,有3个元素,所以非空子集有个.
故选:A.
【分析】先求出 ,再根据元素的个数,求出其非空子集的个数即可.
2.(2024高一下·杭州期中)设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解:因为,所以.
故答案为:A.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,求出的取值范围,即可得解.
3.(2024高一下·杭州期中)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系;同角三角函数基本关系的运用;三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解:因为,所以,
当时,,所以;
当时,,所以
所以,
故选:B.
【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出的值,进而求出的值,将 利用诱导公式化简为,再将各自的值代入计算即可.
4.(2024高一下·杭州期中)已知向量满足,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算;数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解:设与的夹角为,且,
所以,
解得,所以,
则与的夹角为.
故选:B.
【分析】由,两边同时平方,利用已知条件和向量数量积的公式求出,进而可求出与的夹角.
5.(2024高一下·杭州期中)如图,是体积为1的棱柱,则四棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】柱体的体积公式及应用;锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解:因为棱锥与棱柱同底同高,
棱柱体积为1,则棱锥的体积,
故四棱锥的体积
故选:C.
【分析】棱锥与棱柱同底同高,可求得棱锥的体积,再利用棱柱的体积减去棱锥的体积即可求出四棱锥的体积.
6.(2024高一下·杭州期中)已知,,若,则的最小值为( )
A.4 B.8 C.6 D.2
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,,
所以,所以
当且仅当时取等号,的最小值为8,
故选:B.
【分析】利用基本不等式可得,计算即可求出xy的最小值.
7.(2024高一下·杭州期中)已知函数 是定义在R上的奇函数,当 时, ,则使不等式 成立的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】当 时, 是增函数且 ,又函数 是定义在R上的奇函数,
则 满足 ,所以,函数 在 上是连续函数,
所以函数 在R上是增函数,
,∴
,∴ ,即 , ,又 ,∴ , ,即原不等式的解集为 .
故答案为:C.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,可得,求解即可求出原不等式的解集.
8.(2024高一下·杭州期中)在中, ,其面积为,则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】解三角形;正弦定理的应用
【解析】【解答】解:由题意可得: ,解得: ,
由余弦定理: 解得,
所以 .
故选:B.
【分析】结合已知条件和三角形的面积公式求得c的值,进而利用余弦定理求得a的值,根据正弦定理结合分式的性质即可求得 的值.
9.(2024高一下·杭州期中)复数,其共轭复数为,则下列叙述正确的是( )
A.对应的点在复平面的第四象限
B.是一个纯虚数
C.
D.
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念;复数在复平面中的表示;复数代数形式的乘除运算;共轭复数
【解析】【解答】解:因为,所以,
A、对应的点的坐标为,在复平面的第一象限,故选项A错误;
B、,是一个纯虚数,故选项B正确;
C、,故选项C正确;
D、,故选项D错误.
故选:BC
【分析】由已知条件先求得,根据的值,可知对应的点坐标,即可知道点的位置可判断选项A;求出即可判断选项B;求出即可判断选项C;计算即可判断选项D.
10.(2024高一下·杭州期中)在斜三角形中,的三个内角分别为,,,若,是方程的两根,则下列说法正确的是( )
A. B.是钝角三角形
C. D.
【答案】B,C
【知识点】两角和与差的正切公式;三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解:A、因为,是方程的两根,
所以,,
所以,,则,,
所以,
所以,故选项A错误;
B、因为,,所以,即为钝角,所以是钝角三角形,故选项B正确;
C、因为,所以或,所以,即,故选项C正确;
D、所以,即,故选项D错误;
故选:BC.
【分析】利用韦达定理得到,,再根据两角和的正切公式求出,利用诱导公式求出,即可判断选项A;进而求得C的取值范围,即可判断选项B;根据C的取值范围可知,即或,再利用诱导公式及正弦函数的性质即可判断选项C、D.
11.(2024高一下·杭州期中)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:圆O的圆心在原点,若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分,则这个函数称为圆O的一个“太极函数”,则( )
A.对于圆O,其“太极函数”有1个
B.函数是圆O的一个“太极函数”
C.函数不是圆O的“太极函数”
D.函数是圆O的一个“太极函数”
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解:A、由题意可知,圆O,其“太极函数”不止1个,故选项A错误;
B、由于函数,当时,,当时,,故为奇函数,故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”,故选项B正确;
C、 函数 的定义域为,因为,所以函数是奇函数,故为圆O的一个“太极函数”,故选项C错误;
D、 函数 的定义域为,因为,所以函数为奇函数,故函数是圆O的一个“太极函数”,故选项D正确.
故选:BD.
【分析】根据题意,只需判断所给函数的奇偶性,结合图象的对称性即可判断所给的函数是否为圆O的一个“太极函数”.
12.(2024高一下·杭州期中)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则c的值为 .
【答案】
【知识点】解三角形;余弦定理的应用
【解析】【解答】解:由,解得,,
由余弦定理可得
故答案为:.
【分析】根据已知条件先求出a和b的值,进而利用余弦定理即可求得c的值.
13.(2024高一下·杭州期中)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
【答案】(0,1)
【知识点】函数的零点与方程根的关系;对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解:令g(x)=f(x)﹣m=0,
得m=f(x)
如图所示,作出y=f(x)与y=m的图象,
要使函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点,
则y=f(x)与y=m的图象有3个不同的交点,
所以0<m<1,
故答案为(0,1).
【分析】 函数g(x)=f(x)-m有3个零点,即m=f(x)有3个解,即y=f(x)与y=m的图象有3个不同的交点,作出函数的图象即可得到m的范围.
14.(2024高一下·杭州期中)如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边GD上有10个不同的点,则 .
【答案】180
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解:令这10个点是的等分点,且为中点,
则,
如图所示,以为原点,方向为轴建立坐标系,
所以,,所以,,
所以
故答案为:180.
【分析】可用特殊位置法处理此题,假定这10个点是的等分点,且为中点,则,建立坐标系,可求得,,进而根据向量的数量积计算即可求得答案.
15.(2024高一下·杭州期中)已知全集为R,集合,.
(1)求;
(2)若,且“”是“”的必要不充分条件,求a的取值范围.
【答案】(1)解:∵,
又∵,∴.
(2)解:∵""是""的必要不充分条件,∴,
∴(等号不同时成立),解得,
∴a的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断;交集及其运算;必要条件
【解析】【分析】(1)先化简求出集合B,进而利用交集的定义即可求出;.
(2)利用必要不充分条件的定义可知,进而列出不等式组即可求出a的取值范围.
(1)∵,又,
∴.
(2)∵是的必要不充分条件,
∴,
∴(等号不同时成立),解得,
∴a的取值范围为.
16.(2024高一下·杭州期中)如图,在中,,E是AD的中点,设,.
(1)试用,表示,;
(2)若,与的夹角为,求.
【答案】(1)解:因为,所以,
,
因为E是AD的中点,
所以
.
(2)解:因为,与的夹角为,
所以,
由(1)知,,,
所以
.
【知识点】平面向量的基本定理;平面向量数量积定义与物理意义;平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用向量加法、减法的三角形法则和数乘向量运算,从而用,表示,.
(2)根据(1)的结论结合数量积运算法则和数量积的定义,从而得出的值.
(1)因为,所以,
所以.
因为E是AD的中点,
所以
.
(2)因为,与的夹角为,
所以,
由(1)知,,,
所以
.
17.(2024高一下·杭州期中)已知在锐角中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,.
(1)求角C的大小;
(2)若,求的面积S的取值范围.
【答案】(1)解:由正弦定理可得,
即,
因为,所以,所以,
因为,所以,所以,
又因为,所以.
(2)解:因为,所以,所以,
由正弦定理,得,
所以,
因为是锐角三角形,所以,解得,
所以,
从而.
所以的面积S的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式;解三角形;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)由正弦定理可得,进而利用两角和的正弦公式以及诱导公式即可求得cosC,进而求得角C的值;
(2)先用角A表示角B,进而结合正弦定理用角A表示,再结合三角形面积公式可得,由是锐角三角形得出角的取值范围,即可求得tanA的取值范围,进而求得的面积S的取值范围.
(1)由题意及正弦定理,得,
即,
因为,所以,
因为,所以,,
又因为,所以.
(2)由(1)得,
由正弦定理,得,
所以,
因为是锐角三角形,所以,解得,
所以,
从而.
18.(2024高一下·杭州期中)已知函数,其图象关于点中心对称.
(1)求函数在上的值域;
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,然后再向右平移个单位长度得到的图象.若,,求的值.
【答案】(1)解:函数,
因为的图象关于点成中心对称,所以,
令,,解得,,
因为,所以,所以;
因为,所以,所以,
所以
所以函数在上的值域为;
(2)解:将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象,
再向右平移个单位长度,得的图象,
所以;
因为,所以,即,
因为,所以,所以,
所以
.
【知识点】简单的三角恒等变换;二倍角的余弦公式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数,根据的图象关于点成中心对称求出,进而写出的解析式,即可计算在上的值域;
(2)根据三角函数图象平移变换先求出的解析式,再根据,可求得,进而求得,根据,利用两个差的余弦公式即可求出的值.
(1)函数,
因为的图象关于点成中心对称,所以,
令,,解得,;
因为,所以,所以;
时,,,
所以函数在上的值域为;
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象,
再向右平移个单位长度,得的图象,
所以;
若,则,所以,
因为,,所以,
所以
.
19.(2024高一下·杭州期中)定义:若对定义域内任意,都有,(为正常数),则称函数为“距”增函数.
(1)若,,判断是否为“1距”增函数,并说明理由;
(2)若,,其中()为常数.若是“2距”增函数,求的最小值.
【答案】(1)解:函数是“1距”增函数.理由如下:
由函数,
则
,
因为,所以,
所以,即,
所以是“1距”增函数.
(2)解:因为函数是“2距”增函数,所以当时,恒成立,
又因为为增函数,所以,
当时,,即恒成立,
所以,解得;
当时,,即恒成立,
所以,解得,
综上可得,,
所以,
令,则,
①当时,即时,当时,;
②当时,即时,当时,,
综上可得,当时,f(x)的最小值为1;当时,f(x)的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题;指数函数的图象与性质;对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据已知条件求出的大小,只需判断是否成立,即可判断是否为“1距”增函数;
(2)根据题意可知当时,恒成立,根据为增函数,可得,分和讨论可得到,令,则,结合二次函数的性质,可分和,两种情况讨论,即可求得的最小值 .
(1)解:函数是“1距”增函数.
理由如下:
由函数,
则
,
当时,可得,
所以,即,所以是“1距”增函数.
(2)解:由,,
因为函数是“2距”增的数,所以当时,恒成立,
又因为为增函数,所以,
当时,,即恒成立,
所以,解得;
当时,,即恒成立,
所以,解得,
综上可得,,所以,
令,则,
①当时,即时,当时,;
②当时,即时,当时,,
综上可得,当时,;当时,.
1 / 1浙江省杭州师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1.(2024高一下·杭州期中)已知集合,,则的非空子集个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
2.(2024高一下·杭州期中)设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.(2024高一下·杭州期中)若,则( )
A. B. C. D.
4.(2024高一下·杭州期中)已知向量满足,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.(2024高一下·杭州期中)如图,是体积为1的棱柱,则四棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
6.(2024高一下·杭州期中)已知,,若,则的最小值为( )
A.4 B.8 C.6 D.2
7.(2024高一下·杭州期中)已知函数 是定义在R上的奇函数,当 时, ,则使不等式 成立的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.(2024高一下·杭州期中)在中, ,其面积为,则等于
A. B. C. D.
9.(2024高一下·杭州期中)复数,其共轭复数为,则下列叙述正确的是( )
A.对应的点在复平面的第四象限
B.是一个纯虚数
C.
D.
10.(2024高一下·杭州期中)在斜三角形中,的三个内角分别为,,,若,是方程的两根,则下列说法正确的是( )
A. B.是钝角三角形
C. D.
11.(2024高一下·杭州期中)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:圆O的圆心在原点,若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分,则这个函数称为圆O的一个“太极函数”,则( )
A.对于圆O,其“太极函数”有1个
B.函数是圆O的一个“太极函数”
C.函数不是圆O的“太极函数”
D.函数是圆O的一个“太极函数”
12.(2024高一下·杭州期中)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则c的值为 .
13.(2024高一下·杭州期中)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
14.(2024高一下·杭州期中)如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边GD上有10个不同的点,则 .
15.(2024高一下·杭州期中)已知全集为R,集合,.
(1)求;
(2)若,且“”是“”的必要不充分条件,求a的取值范围.
16.(2024高一下·杭州期中)如图,在中,,E是AD的中点,设,.
(1)试用,表示,;
(2)若,与的夹角为,求.
17.(2024高一下·杭州期中)已知在锐角中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,.
(1)求角C的大小;
(2)若,求的面积S的取值范围.
18.(2024高一下·杭州期中)已知函数,其图象关于点中心对称.
(1)求函数在上的值域;
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,然后再向右平移个单位长度得到的图象.若,,求的值.
19.(2024高一下·杭州期中)定义:若对定义域内任意,都有,(为正常数),则称函数为“距”增函数.
(1)若,,判断是否为“1距”增函数,并说明理由;
(2)若,,其中()为常数.若是“2距”增函数,求的最小值.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】交集及其运算;有限集合的子集个数
【解析】【解答】解:由题意可知,有3个元素,所以非空子集有个.
故选:A.
【分析】先求出 ,再根据元素的个数,求出其非空子集的个数即可.
2.【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解:因为,所以.
故答案为:A.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,求出的取值范围,即可得解.
3.【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系;同角三角函数基本关系的运用;三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解:因为,所以,
当时,,所以;
当时,,所以
所以,
故选:B.
【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出的值,进而求出的值,将 利用诱导公式化简为,再将各自的值代入计算即可.
4.【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算;数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解:设与的夹角为,且,
所以,
解得,所以,
则与的夹角为.
故选:B.
【分析】由,两边同时平方,利用已知条件和向量数量积的公式求出,进而可求出与的夹角.
5.【答案】C
【知识点】柱体的体积公式及应用;锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解:因为棱锥与棱柱同底同高,
棱柱体积为1,则棱锥的体积,
故四棱锥的体积
故选:C.
【分析】棱锥与棱柱同底同高,可求得棱锥的体积,再利用棱柱的体积减去棱锥的体积即可求出四棱锥的体积.
6.【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,,
所以,所以
当且仅当时取等号,的最小值为8,
故选:B.
【分析】利用基本不等式可得,计算即可求出xy的最小值.
7.【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】当 时, 是增函数且 ,又函数 是定义在R上的奇函数,
则 满足 ,所以,函数 在 上是连续函数,
所以函数 在R上是增函数,
,∴
,∴ ,即 , ,又 ,∴ , ,即原不等式的解集为 .
故答案为:C.
【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,可得,求解即可求出原不等式的解集.
8.【答案】B
【知识点】解三角形;正弦定理的应用
【解析】【解答】解:由题意可得: ,解得: ,
由余弦定理: 解得,
所以 .
故选:B.
【分析】结合已知条件和三角形的面积公式求得c的值,进而利用余弦定理求得a的值,根据正弦定理结合分式的性质即可求得 的值.
9.【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念;复数在复平面中的表示;复数代数形式的乘除运算;共轭复数
【解析】【解答】解:因为,所以,
A、对应的点的坐标为,在复平面的第一象限,故选项A错误;
B、,是一个纯虚数,故选项B正确;
C、,故选项C正确;
D、,故选项D错误.
故选:BC
【分析】由已知条件先求得,根据的值,可知对应的点坐标,即可知道点的位置可判断选项A;求出即可判断选项B;求出即可判断选项C;计算即可判断选项D.
10.【答案】B,C
【知识点】两角和与差的正切公式;三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解:A、因为,是方程的两根,
所以,,
所以,,则,,
所以,
所以,故选项A错误;
B、因为,,所以,即为钝角,所以是钝角三角形,故选项B正确;
C、因为,所以或,所以,即,故选项C正确;
D、所以,即,故选项D错误;
故选:BC.
【分析】利用韦达定理得到,,再根据两角和的正切公式求出,利用诱导公式求出,即可判断选项A;进而求得C的取值范围,即可判断选项B;根据C的取值范围可知,即或,再利用诱导公式及正弦函数的性质即可判断选项C、D.
11.【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解:A、由题意可知,圆O,其“太极函数”不止1个,故选项A错误;
B、由于函数,当时,,当时,,故为奇函数,故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”,故选项B正确;
C、 函数 的定义域为,因为,所以函数是奇函数,故为圆O的一个“太极函数”,故选项C错误;
D、 函数 的定义域为,因为,所以函数为奇函数,故函数是圆O的一个“太极函数”,故选项D正确.
故选:BD.
【分析】根据题意,只需判断所给函数的奇偶性,结合图象的对称性即可判断所给的函数是否为圆O的一个“太极函数”.
12.【答案】
【知识点】解三角形;余弦定理的应用
【解析】【解答】解:由,解得,,
由余弦定理可得
故答案为:.
【分析】根据已知条件先求出a和b的值,进而利用余弦定理即可求得c的值.
13.【答案】(0,1)
【知识点】函数的零点与方程根的关系;对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解:令g(x)=f(x)﹣m=0,
得m=f(x)
如图所示,作出y=f(x)与y=m的图象,
要使函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点,
则y=f(x)与y=m的图象有3个不同的交点,
所以0<m<1,
故答案为(0,1).
【分析】 函数g(x)=f(x)-m有3个零点,即m=f(x)有3个解,即y=f(x)与y=m的图象有3个不同的交点,作出函数的图象即可得到m的范围.
14.【答案】180
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解:令这10个点是的等分点,且为中点,
则,
如图所示,以为原点,方向为轴建立坐标系,
所以,,所以,,
所以
故答案为:180.
【分析】可用特殊位置法处理此题,假定这10个点是的等分点,且为中点,则,建立坐标系,可求得,,进而根据向量的数量积计算即可求得答案.
15.【答案】(1)解:∵,
又∵,∴.
(2)解:∵""是""的必要不充分条件,∴,
∴(等号不同时成立),解得,
∴a的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断;交集及其运算;必要条件
【解析】【分析】(1)先化简求出集合B,进而利用交集的定义即可求出;.
(2)利用必要不充分条件的定义可知,进而列出不等式组即可求出a的取值范围.
(1)∵,又,
∴.
(2)∵是的必要不充分条件,
∴,
∴(等号不同时成立),解得,
∴a的取值范围为.
16.【答案】(1)解:因为,所以,
,
因为E是AD的中点,
所以
.
(2)解:因为,与的夹角为,
所以,
由(1)知,,,
所以
.
【知识点】平面向量的基本定理;平面向量数量积定义与物理意义;平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用向量加法、减法的三角形法则和数乘向量运算,从而用,表示,.
(2)根据(1)的结论结合数量积运算法则和数量积的定义,从而得出的值.
(1)因为,所以,
所以.
因为E是AD的中点,
所以
.
(2)因为,与的夹角为,
所以,
由(1)知,,,
所以
.
17.【答案】(1)解:由正弦定理可得,
即,
因为,所以,所以,
因为,所以,所以,
又因为,所以.
(2)解:因为,所以,所以,
由正弦定理,得,
所以,
因为是锐角三角形,所以,解得,
所以,
从而.
所以的面积S的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式;解三角形;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)由正弦定理可得,进而利用两角和的正弦公式以及诱导公式即可求得cosC,进而求得角C的值;
(2)先用角A表示角B,进而结合正弦定理用角A表示,再结合三角形面积公式可得,由是锐角三角形得出角的取值范围,即可求得tanA的取值范围,进而求得的面积S的取值范围.
(1)由题意及正弦定理,得,
即,
因为,所以,
因为,所以,,
又因为,所以.
(2)由(1)得,
由正弦定理,得,
所以,
因为是锐角三角形,所以,解得,
所以,
从而.
18.【答案】(1)解:函数,
因为的图象关于点成中心对称,所以,
令,,解得,,
因为,所以,所以;
因为,所以,所以,
所以
所以函数在上的值域为;
(2)解:将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象,
再向右平移个单位长度,得的图象,
所以;
因为,所以,即,
因为,所以,所以,
所以
.
【知识点】简单的三角恒等变换;二倍角的余弦公式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数,根据的图象关于点成中心对称求出,进而写出的解析式,即可计算在上的值域;
(2)根据三角函数图象平移变换先求出的解析式,再根据,可求得,进而求得,根据,利用两个差的余弦公式即可求出的值.
(1)函数,
因为的图象关于点成中心对称,所以,
令,,解得,;
因为,所以,所以;
时,,,
所以函数在上的值域为;
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象,
再向右平移个单位长度,得的图象,
所以;
若,则,所以,
因为,,所以,
所以
.
19.【答案】(1)解:函数是“1距”增函数.理由如下:
由函数,
则
,
因为,所以,
所以,即,
所以是“1距”增函数.
(2)解:因为函数是“2距”增函数,所以当时,恒成立,
又因为为增函数,所以,
当时,,即恒成立,
所以,解得;
当时,,即恒成立,
所以,解得,
综上可得,,
所以,
令,则,
①当时,即时,当时,;
②当时,即时,当时,,
综上可得,当时,f(x)的最小值为1;当时,f(x)的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题;指数函数的图象与性质;对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据已知条件求出的大小,只需判断是否成立,即可判断是否为“1距”增函数;
(2)根据题意可知当时,恒成立,根据为增函数,可得,分和讨论可得到,令,则,结合二次函数的性质,可分和,两种情况讨论,即可求得的最小值 .
(1)解:函数是“1距”增函数.
理由如下:
由函数,
则
,
当时,可得,
所以,即,所以是“1距”增函数.
(2)解:由,,
因为函数是“2距”增的数,所以当时,恒成立,
又因为为增函数,所以,
当时,,即恒成立,
所以,解得;
当时,,即恒成立,
所以,解得,
综上可得,,所以,
令,则,
①当时,即时,当时,;
②当时,即时,当时,,
综上可得,当时,;当时,.
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