广东省广州奥林匹克中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·广州期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，则，
所以的虚部为6.
故答案为：C.
【分析】根据题意和共轭复数的定义，从而可得复数，再根据复数的虚部的定义，从而找出正确的选项.
2．（2024高一下·广州期中）已知向量，满足，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，则，解得.
故选答案为：B.
【分析】根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出y的值.
3．（2024高一下·广州期中）在中，，，，则角的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，且，
可知角的值为.
故答案为：C.
【分析】根据题意和正弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
4．（2024高一下·广州期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据题意和三角形法则以及向量的加法坐标表示，从而求出向量的坐标，再根据数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示以及数量积求投影向量的方法，从而得出向量在向量方向上的投影向量.
5．（2024高一下·广州期中）下列命题中，真命题为（ ）
A．若两个平面，，，则∥；
B．若两个平面，，，则与b平行或异面；
C．若两个平面，，，则与b是异面直线；
D．若两个平面，，则与一定相交．
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，B，C，
若两个平面，，，
则或异面，故A错误、B正确、C错误；
对于D，若两个平面，，
则与相交或平行，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据面面平行的性质定理和两直线的位置关系以及两平面的位置关系，从而逐项判断找出真命题的选项.
6．（2024高一下·广州期中）的内角的对边分别为，，.若，，，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由余弦定理可得：，
即，
解得，
所以的面积.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和余弦定理可得的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
7．（2024高一下·广州期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，
又因为，则，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用正弦定理和余弦定理求出、的值，再结合二倍角的正弦公式，从而得出的值.
8．（2024高一下·广州期中）伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
则圆锥的底面半径为，高为，圆柱底面半径为，高为，
圆锥体积：，球的体积 ，圆柱的体积 ，
，
即圆锥、球、圆柱的体积比为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和圆锥、球、圆柱的体积公式，从而得出图案中圆锥、球，圆柱的体积比.
9．（2024高一下·广州期中）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：由题意可知M为的中点，
故，，
故，与均为相交直线，则选项A、选项B错误；
因为平面，平面直线，
所以与直线为异面直线，同理可得与直线为异面直线，
故选项C、选项D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据空间直线的位置关系，再结合异面直线的判断方法，从而逐项判断，进而找出与直线是异面直线的直线.
10．（2024高一下·广州期中）在中，已知，下列结论正确是（ ）
A．；
B．
C．一定是钝角三角形；
D．若，则的面积是．
【答案】A,C
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由已知条件，可设，
则，
，，故A正确；
又因为，，
为钝角三角形，故B不正确、C正确；
若，则，
又因为，故D不正确．
故答案为：AC.
【分析】由题中的比例，可表示出三边，再根据正弦定理判断出选项A；利用余弦定理得出角A的值，从而判断出的形状，再结合三角形内角和定理判断出选项B和选项C；利用已知条件和选项A以及角A的值，则根据三角形的面积公式，从而可得的面积，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高一下·广州期中）已知正三角形的边长为为边上两点，且为边上一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】A,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
因为，故B不正确；
因为
，故C错误；
如图，取的中点M，连接交于N，
则，
因为为等边三角形，
，
所以与的夹角为，即与的夹角为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用平面向量基本定理判断出选项A和选项B；利用平面向量基本定理和数量积的运算法则以及数量积的定义，则判断出选项C；结合画形和平行四边形法则以及等边三角形的性质，从而得出与的夹角，进而得出与的夹角，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高一下·广州期中）在正方体，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．
D．若正方体的棱长为2，则三棱锥的表面积为
【答案】C,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：点分别为的中点，
，四边形为梯形，
与不平行，故A不正确；
对于B：平面，平面，
平面，若平面，又因为，平面，
所以平面平面，这与平面，平面矛盾，
不平行平面，故B不正确；
对于C：，到平面的距离为，
，故C正确；
对于D：在中，
，
，
在中，设的中点为M，因为，
则，
，
，
三棱锥的表面积，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】由题意可证与不平行，则可判断选项A；由线面平行的判定定理和反证法，则可判断选项B；由等积体法和三棱锥的体积公式，则可判断选项C；利用三棱锥的表面积为，从而分别求出四个三角形的面积，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
13．（2024高一下·广州期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用平面向量减法的三角形法则和向量减法的坐标计算公式，从而得出向量的坐标.
14．（2024高一下·广州期中）复数满足（为虚数单位），则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】根据复数的除法运算法则可得复数，再根据复数的模长公式，从而得出复数z的模.
15．（2024高一下·广州期中）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，， ，则原的面积为 .
【答案】1；2
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知：为直角的斜边中线，
所以，
根据直观图可得原图：
则，
所以原的面积为.
故答案为：1；2.
【分析】根据题意和中线的性质可得的长；再根据直观图可得原图，则由三角形的面积公式得出原的面积.
16．（2024高一下·广州期中）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在三角形中，
，
所以，所以，
在三角形中，
，
由正弦定理得
，
在三角形中，，
所以
（海里）.
故答案为：.
【分析】先求出的长，利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求出的长，再由余弦定理求出的长.
17．（2024高一下·广州期中）已知复数，且是纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
又因为是纯虚数，
∴且，即，
∴．
（2）解：由（1）得：，
则，
∵复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴，解得，
故的取值范围为．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）由纯虚数的定义列出方程，从而得出a的值，进而得出复数.
（2）由已知条件和复数的四则运算结合复数在复平面内对应的点所在象限，从而列出不等式得出实数的取值范围．
（1）∵，
∴，
又是纯虚数，
∴且，即，
∴．
（2）由（1）得：，
则，
∵复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴，
解得，
故的取值范围为．
18．（2024高一下·广州期中）如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周.
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）求阴影部分形成的几何体的体积.
【答案】解：（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：
圆台下底面、侧面和半球面，
，
，
.
故所求几何体的表面积为.
（2），
，
所求几何体体积为.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和圆台下底面、侧面和半球面的面积求解方法，从而求和得出阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）利用已知条件和圆台、半球的体积公式，从而作差得出阴影部分形成的几何体的体积.
19．（2024高一下·广州期中）已知向量 .
（1）当 时， 求向量 与 的夹角；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）解：当 时， ，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
又因为 ，，
即 与 的夹角为.
（2）解： ，
，
当时，取等号，
的最大值为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用和特殊角的三角函数值以及数量积的坐标表示、向量的模的坐标表示，则根据 和向量的夹角的取值范围，从而得出向量 与 的夹角.
（2）利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再根据向量的模的坐标表示结合辅助角公式以及三角函数的图象求值域的方法，从而得出 的最大值.
（1）解：当 时， ，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
而 ，，
即 与 的夹角为 ；
（2）解： ，
，
当时，取等号，
的最大值为 .
20．（2024高一下·广州期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）求B；
（2）已知的面积为，且，求的周长．
【答案】（1）解：在中，由正弦定理及得：，
，
而，则有，即，由得，
则，所以.
（2）解：由（1）知，，解得，
由正弦定理及得：，由余弦定理得：，
即，解得，，
所以的周长为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及辅助角公式求解作答.
（2）利用三角形面积定理、正弦定理角化边结合余弦定理求出，即可计算作答.
21．（2024高一下·广州期中）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点.
【答案】（1）证明：设，连接，
因为是平行四边形，可知为的中点，
又因为为侧棱的中点，
则∥，且平面，平面，
故∥平面.
（2）证明：由（1）可知：∥，且平面，平面，
所以∥平面，
又因为∥平面，且，平面，
所以平面∥平面，
且平面平面，平面平面，
可得∥，
又因为为的中点，
所以为的中点.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）设，先结合平行四边形可知为的中点，利用为侧棱的中点和中位线的性质，从而证出∥，再结合线面平行的判定定理，从而证出∥平面.
（2）根据题意结合（1）中线线平行证出线面平行，结合线面平行证出平面∥平面，再结合面面平行的性质定理得出线线平行，利用为的中点，从而证出点为的中点.
（1）设，连接，
因为是平行四边形，可知为的中点，
又因为为侧棱的中点，则∥，
且平面，平面，故∥平面.
（2）由（1）可知：∥，且平面，平面，
所以∥平面，
又因为∥平面，且，平面，
所以平面∥平面，
且平面平面，平面平面，可得∥，
又因为为的中点，所以为的中点.
22．（2024高一下·广州期中）在中，角所对的边分别是，点在边上且.已知边且.
（1）求边的长度；
（2）若点分别为线段 线段上的动点，且线段交于且的面积为面积的一半，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
，故.
（2）解：设，
因为，所以，
即，
又因为为的中点，
所以，
即，解得①，
又因为，
所以，
即，即②，
由①②得，
，
又因为且等号不同时取得，即，
当时，.
【知识点】向量在几何中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再结合余弦定理和已知条件得到的值.
（2）设，从而表达出，又由为的中点得到，从而得到方程组，进而求出，再根据求出的值，从而得到，，再结合求出的最小值.
（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
，故；
（2）设，
因为，所以，
即，
又因为为的中点，
所以，
即，解得①，
又，
所以，
即，即②，
由①②得，
，
又且等号不同时取得，即.
当时，.
1 / 1广东省广州奥林匹克中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·广州期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C．6 D．
2．（2024高一下·广州期中）已知向量，满足，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2024高一下·广州期中）在中，，，，则角的值为（ ）
A． B．或 C． D．
4．（2024高一下·广州期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·广州期中）下列命题中，真命题为（ ）
A．若两个平面，，，则∥；
B．若两个平面，，，则与b平行或异面；
C．若两个平面，，，则与b是异面直线；
D．若两个平面，，则与一定相交．
6．（2024高一下·广州期中）的内角的对边分别为，，.若，，，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．12
7．（2024高一下·广州期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
8．（2024高一下·广州期中）伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·广州期中）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·广州期中）在中，已知，下列结论正确是（ ）
A．；
B．
C．一定是钝角三角形；
D．若，则的面积是．
11．（2024高一下·广州期中）已知正三角形的边长为为边上两点，且为边上一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
12．（2024高一下·广州期中）在正方体，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．
D．若正方体的棱长为2，则三棱锥的表面积为
13．（2024高一下·广州期中）若，则 ．
14．（2024高一下·广州期中）复数满足（为虚数单位），则 .
15．（2024高一下·广州期中）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，， ，则原的面积为 .
16．（2024高一下·广州期中）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.
17．（2024高一下·广州期中）已知复数，且是纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
18．（2024高一下·广州期中）如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周.
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）求阴影部分形成的几何体的体积.
19．（2024高一下·广州期中）已知向量 .
（1）当 时， 求向量 与 的夹角；
（2）求 的最大值.
20．（2024高一下·广州期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
（1）求B；
（2）已知的面积为，且，求的周长．
21．（2024高一下·广州期中）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点.
22．（2024高一下·广州期中）在中，角所对的边分别是，点在边上且.已知边且.
（1）求边的长度；
（2）若点分别为线段 线段上的动点，且线段交于且的面积为面积的一半，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，则，
所以的虚部为6.
故答案为：C.
【分析】根据题意和共轭复数的定义，从而可得复数，再根据复数的虚部的定义，从而找出正确的选项.
2．【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，则，解得.
故选答案为：B.
【分析】根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出y的值.
3．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，且，
可知角的值为.
故答案为：C.
【分析】根据题意和正弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据题意和三角形法则以及向量的加法坐标表示，从而求出向量的坐标，再根据数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示以及数量积求投影向量的方法，从而得出向量在向量方向上的投影向量.
5．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，B，C，
若两个平面，，，
则或异面，故A错误、B正确、C错误；
对于D，若两个平面，，
则与相交或平行，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据面面平行的性质定理和两直线的位置关系以及两平面的位置关系，从而逐项判断找出真命题的选项.
6．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由余弦定理可得：，
即，
解得，
所以的面积.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和余弦定理可得的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
7．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，
又因为，则，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用正弦定理和余弦定理求出、的值，再结合二倍角的正弦公式，从而得出的值.
8．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
则圆锥的底面半径为，高为，圆柱底面半径为，高为，
圆锥体积：，球的体积 ，圆柱的体积 ，
，
即圆锥、球、圆柱的体积比为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和圆锥、球、圆柱的体积公式，从而得出图案中圆锥、球，圆柱的体积比.
9．【答案】C,D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：由题意可知M为的中点，
故，，
故，与均为相交直线，则选项A、选项B错误；
因为平面，平面直线，
所以与直线为异面直线，同理可得与直线为异面直线，
故选项C、选项D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据空间直线的位置关系，再结合异面直线的判断方法，从而逐项判断，进而找出与直线是异面直线的直线.
10．【答案】A,C
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由已知条件，可设，
则，
，，故A正确；
又因为，，
为钝角三角形，故B不正确、C正确；
若，则，
又因为，故D不正确．
故答案为：AC.
【分析】由题中的比例，可表示出三边，再根据正弦定理判断出选项A；利用余弦定理得出角A的值，从而判断出的形状，再结合三角形内角和定理判断出选项B和选项C；利用已知条件和选项A以及角A的值，则根据三角形的面积公式，从而可得的面积，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
因为，故B不正确；
因为
，故C错误；
如图，取的中点M，连接交于N，
则，
因为为等边三角形，
，
所以与的夹角为，即与的夹角为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用平面向量基本定理判断出选项A和选项B；利用平面向量基本定理和数量积的运算法则以及数量积的定义，则判断出选项C；结合画形和平行四边形法则以及等边三角形的性质，从而得出与的夹角，进而得出与的夹角，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】C,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：点分别为的中点，
，四边形为梯形，
与不平行，故A不正确；
对于B：平面，平面，
平面，若平面，又因为，平面，
所以平面平面，这与平面，平面矛盾，
不平行平面，故B不正确；
对于C：，到平面的距离为，
，故C正确；
对于D：在中，
，
，
在中，设的中点为M，因为，
则，
，
，
三棱锥的表面积，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】由题意可证与不平行，则可判断选项A；由线面平行的判定定理和反证法，则可判断选项B；由等积体法和三棱锥的体积公式，则可判断选项C；利用三棱锥的表面积为，从而分别求出四个三角形的面积，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
13．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用平面向量减法的三角形法则和向量减法的坐标计算公式，从而得出向量的坐标.
14．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】根据复数的除法运算法则可得复数，再根据复数的模长公式，从而得出复数z的模.
15．【答案】1；2
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知：为直角的斜边中线，
所以，
根据直观图可得原图：
则，
所以原的面积为.
故答案为：1；2.
【分析】根据题意和中线的性质可得的长；再根据直观图可得原图，则由三角形的面积公式得出原的面积.
16．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在三角形中，
，
所以，所以，
在三角形中，
，
由正弦定理得
，
在三角形中，，
所以
（海里）.
故答案为：.
【分析】先求出的长，利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求出的长，再由余弦定理求出的长.
17．【答案】（1）解：∵，
又因为是纯虚数，
∴且，即，
∴．
（2）解：由（1）得：，
则，
∵复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴，解得，
故的取值范围为．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）由纯虚数的定义列出方程，从而得出a的值，进而得出复数.
（2）由已知条件和复数的四则运算结合复数在复平面内对应的点所在象限，从而列出不等式得出实数的取值范围．
（1）∵，
∴，
又是纯虚数，
∴且，即，
∴．
（2）由（1）得：，
则，
∵复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴，
解得，
故的取值范围为．
18．【答案】解：（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：
圆台下底面、侧面和半球面，
，
，
.
故所求几何体的表面积为.
（2），
，
所求几何体体积为.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和圆台下底面、侧面和半球面的面积求解方法，从而求和得出阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）利用已知条件和圆台、半球的体积公式，从而作差得出阴影部分形成的几何体的体积.
19．【答案】（1）解：当 时， ，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
又因为 ，，
即 与 的夹角为.
（2）解： ，
，
当时，取等号，
的最大值为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用和特殊角的三角函数值以及数量积的坐标表示、向量的模的坐标表示，则根据 和向量的夹角的取值范围，从而得出向量 与 的夹角.
（2）利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再根据向量的模的坐标表示结合辅助角公式以及三角函数的图象求值域的方法，从而得出 的最大值.
（1）解：当 时， ，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
而 ，，
即 与 的夹角为 ；
（2）解： ，
，
当时，取等号，
的最大值为 .
20．【答案】（1）解：在中，由正弦定理及得：，
，
而，则有，即，由得，
则，所以.
（2）解：由（1）知，，解得，
由正弦定理及得：，由余弦定理得：，
即，解得，，
所以的周长为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及辅助角公式求解作答.
（2）利用三角形面积定理、正弦定理角化边结合余弦定理求出，即可计算作答.
21．【答案】（1）证明：设，连接，
因为是平行四边形，可知为的中点，
又因为为侧棱的中点，
则∥，且平面，平面，
故∥平面.
（2）证明：由（1）可知：∥，且平面，平面，
所以∥平面，
又因为∥平面，且，平面，
所以平面∥平面，
且平面平面，平面平面，
可得∥，
又因为为的中点，
所以为的中点.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）设，先结合平行四边形可知为的中点，利用为侧棱的中点和中位线的性质，从而证出∥，再结合线面平行的判定定理，从而证出∥平面.
（2）根据题意结合（1）中线线平行证出线面平行，结合线面平行证出平面∥平面，再结合面面平行的性质定理得出线线平行，利用为的中点，从而证出点为的中点.
（1）设，连接，
因为是平行四边形，可知为的中点，
又因为为侧棱的中点，则∥，
且平面，平面，故∥平面.
（2）由（1）可知：∥，且平面，平面，
所以∥平面，
又因为∥平面，且，平面，
所以平面∥平面，
且平面平面，平面平面，可得∥，
又因为为的中点，所以为的中点.
22．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
，故.
（2）解：设，
因为，所以，
即，
又因为为的中点，
所以，
即，解得①，
又因为，
所以，
即，即②，
由①②得，
，
又因为且等号不同时取得，即，
当时，.
【知识点】向量在几何中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再结合余弦定理和已知条件得到的值.
（2）设，从而表达出，又由为的中点得到，从而得到方程组，进而求出，再根据求出的值，从而得到，，再结合求出的最小值.
（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
，故；
（2）设，
因为，所以，
即，
又因为为的中点，
所以，
即，解得①，
又，
所以，
即，即②，
由①②得，
，
又且等号不同时取得，即.
当时，.
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