广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题
1．（2024高一下·化州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和元素与集合的关系，从而列举出集合A中的元素，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高一下·化州期中）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
得，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用复数求模公式和复数除法法则，再结合共轭复数的概念，即可得出复数z的共轭复数.
3．（2024高一下·化州期中）若，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以的最小值为6.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和基本不等式变形求最值的方法，从而得出的最小值.
4．（2024高一下·化州期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据角的变换和诱导公式，即可得出的值.
5．（2024高一下·化州期中）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和平面向量基本定理，从而找出关系正确的选项.
6．（2024高一下·化州期中）已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，
所以 ，所以，
又因为在区间上是奇函数，
所以，即，
因为，
又因为为增函数，所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和幂函数的定义得出m的值，结合奇函数的定义得出n的值，从而得出幂函数的解析式，再利用幂函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
7．（2024高一下·化州期中）化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意可得如下图形，
在中，，，，
由正弦定理得，，解得，
在中，，
所以，，
所以树的高度为米．
故答案为：D．
【分析】根据题中图形，在中利用正弦定理求得的长，在中结合正切函数的定义，从而求出的长，进而得出树的高度．
8．（2024高一下·化州期中）设函数，，其中，若对任意及任意，和中至少有一个为非负值，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：若，
则对，，有，
因为.
则此时不满足条件，
又因为当时，对任意及任意，则
，
则由，可知和中至少有一个为非负值，满足条件，
综上所述，实数的最大值是.
故答案为：C.
【分析】先用反证法证明当时条件不满足，当时通过证明说明条件满足，即可得到实数的最大值.
9．（2024高一下·化州期中） 已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（ ）
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，，，则
【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、若，，则，也可能，故A错误；
B、若，，，，则与相交或平行，故B错误；
C、若，，，则与相交或平行，故C错误；
D、若，，，，，根据面面平行的判定定理可知，故D正确．
故答案为：ABC．
【分析】结合空间中点、线、面的位置关系与面面平行的判定定理一一判断即可.
10．（2024高一下·化州期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若与的夹角为，则
B．若，则
C．若，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
对于A，与的夹角为，，，
因此，故A错误；
对于B，由，得，则，故B错误；
对于C，由，得，则，故C正确；
对于D，因为与方向相反，则在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，则判断选项A；利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而判断选项B；利用向量共线的坐标表示，则判断选项C；利用已知条件数量积求投影向量的方法，从而得出在上的投影向量的坐标，则判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2024高一下·化州期中）已知正四棱柱 的底面边长为2，侧棱 ， 为上底面 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A．若 ，则满足条件的 点有且只有一个
B．若 ，则点 的轨迹是一段圆弧
C．若 ∥平面 ，则 长的最小值为2
D．若 ∥平面 ，且 ，则平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；球的性质
【解析】【解答】如图：
∵正四棱柱 的底面边长为2，
∴ ，又侧棱 ，
∴ ，则 与 重合时 ，此时 点唯一，A符合题意；
∵ ， ，则 ，即点 的轨迹是一段圆弧，B符合题意；
连接 ， ，可得平面 平面 ，则当 为 中点时，DP有最小值为 ，C不符合题意；
由C知，平面 即为平面 ，平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为 ，面积为 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】若 ，由于 与 重合时 ，此时 点唯一； ，则 ，即点 的轨迹是一段圆弧；当 为 中点时，DP有最小值为 ，可判断C；平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为 ，可得D.
12．（2024高一下·化州期中） .
【答案】0
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：0.
【分析】利用已知条件和指数幂的运算法则，从而化简求值.
13．（2024高一下·化州期中）定义运算：，则函数的值域为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：当时，；当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以函数的值域是.
故答案为：.
【分析】先根据定义运算：求出分段函数的解析式，再根据分类讨论的方法和指数函数的单调性，从而求出分段函数的值域.
14．（2024高一下·化州期中）在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知 ，且
则
，
当且仅当 时，即当时，，且，符合题意.
故答案为：.
【分析】根据海伦公式结合题意，则用边长表示的面积，再根据的取值范围，则由三角形的面积公式和函数求最值的方法，从而求出面积的最大值.
15．（2024高一下·化州期中）已知三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，角 的角平分线交 于点 ， ，求 的长.
【答案】（1）因为 ，由正弦定理可得
，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）可知
又 ；所以 ， ，可得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
解得 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用 结合正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式，从而结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的正弦值的取值范围，进而求出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
（2） 由（1）可知 ，再利用 ，从而求出 ， ，进而求出 的值 ，再利用等角对等边，所以 ，在 中，由余弦定理求出CD的长。
16．（2024高一下·化州期中）已知平面向量，，.
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）解：，，解得：或，
当时，，；
当时，，，
综上所述：或.
（2）解：若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向，
若与的夹角为锐角，
则，解得：且，
的取值范围为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而列方程求得的值，再由向量模长的坐标表示得出的值.
（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，再根据夹角为锐角和数量积求向量夹角的坐标表示，从而构造不等式组，进而解不等式组得出实数x的取值范围.
（1），，解得：或，
当时，，；
当时，，；
综上所述：或10
（2）若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向；
若与的夹角为锐角，则，解得：且，
的取值范围为.
17．（2024高一下·化州期中）如图：在正方体中，棱长，M为的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【答案】（1）解：因为
故三棱锥的体积为．
（2）证明：连接，设，连结，
因为，分别是和的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（3）解：存在点为的中点时，使平面，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，且平面，
且，平面，
所以平面平面，
若，则平面，
所以平面，
所以线段上存在中点，使平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积.
（2）利用线面平行的判断定理，从而转化为证明线线平行，再构造中位线，即可证出平面.
（3）利用已知条件构造面面平行，再结合面面平行的性质定理证出线面平行，即得出线段上存在中点，使得平面.
（1）因为
故三棱锥的体积为．
（2）证明：连接，设，连结，
因为，分别是和的中点，
所以，
平面，平面，
所以平面；
（3）存在点为的中点时，使平面，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，且平面，
且，平面，
所以平面平面，
若，则平面，
所以平面
所以线段上存在中点，使平面.
18．（2024高一下·化州期中）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 （元）与时间 （天）的函数关系近似满足 （ 为正常数）.该商品的日销售量 （个）与时间 （天）部分数据如下表所示：
（天） 10 20 25 30
（个） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（I）求 的值;
（II）给出以下二种函数模型：
① ，② ，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间 的关系，并求出该函数的解析式;
（III）求该商品的日销售收入 （元）的最小值.
（函数 ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.性质直接应用.）
【答案】解：（I）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得 .
（II）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选② .
从表中任意取两组值代入可求得
（III）由（2）知
∴
当 时， 在区间 上是单调递减的，在区间 上是单调递增，
所以当 时， 取得最小值，且 ;
当 时， 是单调递减的，所以当 时， 取得最小值，且 .
综上所述，当 时， 取得最小值，且 .
故该商品的日销售收入 的最小值为121元.
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（I）利用 列方程，解方程求得 的值.（II）根据题目所给表格的数据，判断出日销售量不单调，由此确定选择模型②.将表格数据代入 ，待定系数法求得 的值，也即求得 的解析式.（III）将 写成分段函数的形式，由 计算出日销售收入 的解析式，根据函数的单调性求得 的最小值.
19．（2024高一下·化州期中）已知是函数的零点，．
（1）求实数的值；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：∵是函数的零点
∴，解之得；
（2）解：由（1）得，则，
则方程
可化为，
∵，∴两边同乘得：
，则此方程有三个不同的实数解.
令则，则，解之得或，
当时，，得；
当时，，则此方程有两个不同的实数解，
则，解之得．
则实数的取值范围为．
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的零点的求解方法，进而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合（1）中求出的实数a的值，进而得出函数f(x)的解析式，再结合分类讨论的方法和方程的根的个数求解方法以及根与系数的关系，进而得出实数k的取值范围。
1 / 1广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题
1．（2024高一下·化州期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·化州期中）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·化州期中）若，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2024高一下·化州期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·化州期中）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·化州期中）已知幂函数是定义在区间上的奇函数，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·化州期中）化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2024高一下·化州期中）设函数，，其中，若对任意及任意，和中至少有一个为非负值，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·化州期中） 已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（ ）
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，，，则
10．（2024高一下·化州期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若与的夹角为，则
B．若，则
C．若，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
11．（2024高一下·化州期中）已知正四棱柱 的底面边长为2，侧棱 ， 为上底面 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A．若 ，则满足条件的 点有且只有一个
B．若 ，则点 的轨迹是一段圆弧
C．若 ∥平面 ，则 长的最小值为2
D．若 ∥平面 ，且 ，则平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形的面积为
12．（2024高一下·化州期中） .
13．（2024高一下·化州期中）定义运算：，则函数的值域为 ．
14．（2024高一下·化州期中）在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为 ．
15．（2024高一下·化州期中）已知三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，角 的角平分线交 于点 ， ，求 的长.
16．（2024高一下·化州期中）已知平面向量，，.
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围.
17．（2024高一下·化州期中）如图：在正方体中，棱长，M为的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
18．（2024高一下·化州期中）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 （元）与时间 （天）的函数关系近似满足 （ 为正常数）.该商品的日销售量 （个）与时间 （天）部分数据如下表所示：
（天） 10 20 25 30
（个） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（I）求 的值;
（II）给出以下二种函数模型：
① ，② ，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间 的关系，并求出该函数的解析式;
（III）求该商品的日销售收入 （元）的最小值.
（函数 ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.性质直接应用.）
19．（2024高一下·化州期中）已知是函数的零点，．
（1）求实数的值；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和元素与集合的关系，从而列举出集合A中的元素，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
得，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用复数求模公式和复数除法法则，再结合共轭复数的概念，即可得出复数z的共轭复数.
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以的最小值为6.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和基本不等式变形求最值的方法，从而得出的最小值.
4．【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据角的变换和诱导公式，即可得出的值.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和平面向量基本定理，从而找出关系正确的选项.
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，
所以 ，所以，
又因为在区间上是奇函数，
所以，即，
因为，
又因为为增函数，所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和幂函数的定义得出m的值，结合奇函数的定义得出n的值，从而得出幂函数的解析式，再利用幂函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
7．【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意可得如下图形，
在中，，，，
由正弦定理得，，解得，
在中，，
所以，，
所以树的高度为米．
故答案为：D．
【分析】根据题中图形，在中利用正弦定理求得的长，在中结合正切函数的定义，从而求出的长，进而得出树的高度．
8．【答案】C
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：若，
则对，，有，
因为.
则此时不满足条件，
又因为当时，对任意及任意，则
，
则由，可知和中至少有一个为非负值，满足条件，
综上所述，实数的最大值是.
故答案为：C.
【分析】先用反证法证明当时条件不满足，当时通过证明说明条件满足，即可得到实数的最大值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、若，，则，也可能，故A错误；
B、若，，，，则与相交或平行，故B错误；
C、若，，，则与相交或平行，故C错误；
D、若，，，，，根据面面平行的判定定理可知，故D正确．
故答案为：ABC．
【分析】结合空间中点、线、面的位置关系与面面平行的判定定理一一判断即可.
10．【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
对于A，与的夹角为，，，
因此，故A错误；
对于B，由，得，则，故B错误；
对于C，由，得，则，故C正确；
对于D，因为与方向相反，则在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，则判断选项A；利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而判断选项B；利用向量共线的坐标表示，则判断选项C；利用已知条件数量积求投影向量的方法，从而得出在上的投影向量的坐标，则判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；球的性质
【解析】【解答】如图：
∵正四棱柱 的底面边长为2，
∴ ，又侧棱 ，
∴ ，则 与 重合时 ，此时 点唯一，A符合题意；
∵ ， ，则 ，即点 的轨迹是一段圆弧，B符合题意；
连接 ， ，可得平面 平面 ，则当 为 中点时，DP有最小值为 ，C不符合题意；
由C知，平面 即为平面 ，平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为 ，面积为 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】若 ，由于 与 重合时 ，此时 点唯一； ，则 ，即点 的轨迹是一段圆弧；当 为 中点时，DP有最小值为 ，可判断C；平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为 ，可得D.
12．【答案】0
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：0.
【分析】利用已知条件和指数幂的运算法则，从而化简求值.
13．【答案】
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：当时，；当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以函数的值域是.
故答案为：.
【分析】先根据定义运算：求出分段函数的解析式，再根据分类讨论的方法和指数函数的单调性，从而求出分段函数的值域.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知 ，且
则
，
当且仅当 时，即当时，，且，符合题意.
故答案为：.
【分析】根据海伦公式结合题意，则用边长表示的面积，再根据的取值范围，则由三角形的面积公式和函数求最值的方法，从而求出面积的最大值.
15．【答案】（1）因为 ，由正弦定理可得
，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）可知
又 ；所以 ， ，可得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
解得 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用 结合正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式，从而结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的正弦值的取值范围，进而求出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
（2） 由（1）可知 ，再利用 ，从而求出 ， ，进而求出 的值 ，再利用等角对等边，所以 ，在 中，由余弦定理求出CD的长。
16．【答案】（1）解：，，解得：或，
当时，，；
当时，，，
综上所述：或.
（2）解：若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向，
若与的夹角为锐角，
则，解得：且，
的取值范围为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而列方程求得的值，再由向量模长的坐标表示得出的值.
（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，再根据夹角为锐角和数量积求向量夹角的坐标表示，从而构造不等式组，进而解不等式组得出实数x的取值范围.
（1），，解得：或，
当时，，；
当时，，；
综上所述：或10
（2）若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向；
若与的夹角为锐角，则，解得：且，
的取值范围为.
17．【答案】（1）解：因为
故三棱锥的体积为．
（2）证明：连接，设，连结，
因为，分别是和的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（3）解：存在点为的中点时，使平面，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，且平面，
且，平面，
所以平面平面，
若，则平面，
所以平面，
所以线段上存在中点，使平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积.
（2）利用线面平行的判断定理，从而转化为证明线线平行，再构造中位线，即可证出平面.
（3）利用已知条件构造面面平行，再结合面面平行的性质定理证出线面平行，即得出线段上存在中点，使得平面.
（1）因为
故三棱锥的体积为．
（2）证明：连接，设，连结，
因为，分别是和的中点，
所以，
平面，平面，
所以平面；
（3）存在点为的中点时，使平面，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，且平面，
且，平面，
所以平面平面，
若，则平面，
所以平面
所以线段上存在中点，使平面.
18．【答案】解：（I）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得 .
（II）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选② .
从表中任意取两组值代入可求得
（III）由（2）知
∴
当 时， 在区间 上是单调递减的，在区间 上是单调递增，
所以当 时， 取得最小值，且 ;
当 时， 是单调递减的，所以当 时， 取得最小值，且 .
综上所述，当 时， 取得最小值，且 .
故该商品的日销售收入 的最小值为121元.
【知识点】分段函数的应用；函数最值的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（I）利用 列方程，解方程求得 的值.（II）根据题目所给表格的数据，判断出日销售量不单调，由此确定选择模型②.将表格数据代入 ，待定系数法求得 的值，也即求得 的解析式.（III）将 写成分段函数的形式，由 计算出日销售收入 的解析式，根据函数的单调性求得 的最小值.
19．【答案】（1）解：∵是函数的零点
∴，解之得；
（2）解：由（1）得，则，
则方程
可化为，
∵，∴两边同乘得：
，则此方程有三个不同的实数解.
令则，则，解之得或，
当时，，得；
当时，，则此方程有两个不同的实数解，
则，解之得．
则实数的取值范围为．
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的零点的求解方法，进而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合（1）中求出的实数a的值，进而得出函数f(x)的解析式，再结合分类讨论的方法和方程的根的个数求解方法以及根与系数的关系，进而得出实数k的取值范围。
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