广东省广州市南海中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·广州期中）设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·广州期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2024高一下·广州期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·广州期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·广州期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·广州期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
7．（2024高一下·广州期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（ ）
A． B． C．100 D．300
8．（2024高一下·广州期中）已知四边形ABCD是圆内接四边形， ，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·广州期中）已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（ ）
A． B．的虚部为
C．复数的共轭复数 D．复数是方程的一个根
10．（2024高一下·广州期中）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数满足
11．（2024高一下·广州期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是（ ）
A．△周长为 B．
C．△的外接圆半径为 D．△中线的长为
12．（2024高一下·广州期中）若向量，，则在方向上的投影向量坐标为 .
13．（2024高一下·广州期中）函数的最大值为 .
14．（2024高一下·广州期中）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 .
15．（2024高一下·广州期中）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.
（1）求实数a的值；
（2）若，求复数的模.
16．（2024高一下·广州期中）已知向量与的夹角，且，.
（1）求；
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值.
17．（2024高一下·广州期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________.
（1）求角C；
（2）若，的面积，求的周长.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
18．（2024高一下·广州期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．点，分别在棱，的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求点到平面的距离．
19．（2024高一下·广州期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛 相距都为，与小岛相距为．小岛对小岛与的视角为钝角，且．
（Ⅰ）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（Ⅱ）记小岛对小岛与的视角为，小岛对小岛与的视角为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：利用斜二测画法的定义，画出原图形，
由是等腰直角三角形，，斜边，
得，
因此，，
所以原平面图形的面积是.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法的定义画出平面图形，结合等腰直角三角形的结构特征，从而求得原三角形的直角边，再根据三角形的面积公式得出这个平面图形的面积．
3．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由D为BC的中点，E为边上的点，且，
得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和中点的性质以及平面向量的基本定理，从而得出正确的答案.
4．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
由，可得，
即，整理得：．
故答案为：D．
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示，即可求出的值，从而找出正确的选项．
5．【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
则该棱台的高，
所以该棱台的体积.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出该棱台的高，再根据正棱台的体积公式得出该棱台的体积.
6．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，由，，，得或是异面直线，故A错误；
对于B，由，，得或，故B错误；
对于C，由，，得与相交或，故C错误；
对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则，
又因为，，则，又，，则，因此，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和线线平行、面面平行、线面平行的位置关系判断方法，从而逐项判断，即可找出说法正确的选项.
7．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，，
在中，，
在中，，
由正弦定理得：，即，
解得：，
由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC，
则（m）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件求出的值，再由正弦定理求出的长，则利用三角函数的定义求出此山的高度的长.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则 ， ，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图，
则 ， ， ，
在 中，由余弦定理 得 ，
，即 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，四边形ABCD的面积
。
故答案为：A
【分析】在△ABD中结合勾股定理，则 ， ，而四边形ABCD是圆内接四边形，则 ，再利用诱导公式得出 的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出 ，在 中，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，再利用三角形面积公式结合求和法，从而求出四边形ABCD的面积。
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：由，得，
所以，故A正确；
因为复数的虚部为1，故B错误；
因为复数的共轭复数，故C正确；
因为，
所以复数是方程的一个根，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先由复数的除法运算法则得出复数，再结合复数求模公式判断出选项A；利用复数的虚部的定义，则判断出选项B；利用共轭复数的定义判断出选项C；利用方程求根公式判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】由题意可得：
，
对于A：因为不是最值，
所以 不是 函数的 对称轴，故A错误；
对于B：因为，
所以 函数的图象关于点对称， 故B正确；
对于C：因为 ，则，且在上单调递减，
所以 函数在区间上单调递减 ，故C正确；
对于D：令，则，，
所以 ，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角恒等变换整理得，对于ABC：结合余弦函数性质逐项分析判断；对于D：令，代入检验即可.
11．【答案】B,C
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题设及正弦定理知：，令且，
，可得，
所以，则△周长为，A错误；
，又，则，B正确；
△的外接圆半径为，C正确；
如下图，过D作，由题设知：，则，
又，可得，故，
所以，D错误.
故答案为：BC
【分析】由题设及正弦定理，令且，再利用 得出x的值，进而得出a，b，c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形△周长；再利用已知条件结合余弦定理和三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值；利用正弦定理的性质得出三角形三角形△的外接圆半径；过D作，由题设结合三角形的面积公式得出DE的长，再利用，可得AE的长，进而得出CE的长，再结合勾股定理得出CD的长， 从而找出命题正确的选项。
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，
则，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，再利用数量积求投影向量的方法，从而得出在方向上的投影向量坐标.
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
当时，即当时，
所以的最大值为：
故答案为：
【分析】根据两角差的正弦公式，从而化简得到，再利用正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出函数的最大值.
14．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设，球的半径为，
则，球的表面积为，得，，
在中，，即，解得，
故圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据已知条件和球的表面积公式和勾股定理，从而求出、的值，再利用圆锥的侧面积公式，进而得出圆锥的侧面积.
15．【答案】（1）解：由已知得：，且是纯虚数
，∵，∴.
（2）解：由（1）得：，∴
∴.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而求出实数a的值。
（2）利用已知条件结合复数的混合运算法则和复数求模公式，进而得出复数的模的值。
16．【答案】（1）解：由向量与的夹角，且，，
得，
又因为，
所以.
（2）解：在上的投影向量为.
（3）解：因为，
则，
所以向量与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）先求出，再根据已知条件得出的值.
（2）根据数量积求投影向量的方法，从而得出在上的投影向量.
（3）利用已知条件和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合数量积求向量的夹角公式，从而得出向量与夹角的余弦值.
（1）由向量与的夹角，且，，得，
， 所以.
（2）在上的投影向量为.
（3），则，
所以向量与夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：选择条件①，，
由正弦定理得，
则，
整理得，
因为，则，
又因为，所以.
选择条件②，因为，
由正弦定理得，
则，
整理得，
因为，则，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知，
又由的面积，
得，即，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选择条件①②，利用正弦定理边化角，借助两角和的正弦公式，从而计算出角C的值.
（2）由（1）和三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出c的值，则根据三角形的周长公式得出的周长.
（1）选择条件①，，由正弦定理得，
则，
整理得，又，则，而，
所以.
选择条件②，，
由正弦定理得，
则，
整理得，而，则，而，
所以.
（2）由（1）知，由的面积，得，
即，
解得，由余弦定理得，
所以的周长为
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
因为点是棱的中点，所以，，
因为点分别是棱的中点，所以，
因为四边形是菱形，所以，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：连接，，
因为点是棱的中点，所以，
因为，
所以的面积为，
则三棱锥的体积为，
因为，且，
所以的面积为，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积为，解得，
因为平面，所以点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质和菱形的结构特征，从而证出，再利用线面平行判定定理，从而证出平面．
（2）根据已知条件和等体积法求出点到平面的距离，由平面和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面的距离．
19．【答案】解：（Ⅰ），且角为钝角，
，
在中，由余弦定理得，
，
，
，
解得或（舍），
小岛与小岛之间的距离为，
，，，四点共圆，角与角互补，
，，
在中，由余弦定理得，，
，，
解得（舍）或，
，
四个小岛所形成的四边形的面积为平方．
（ Ⅱ ）在中，由正弦定理得：，
即，解得
为锐角，，
又，，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式和余弦定理以及四点共圆，从而求出的长，再根据四边形的面积和三角形面积的关系式，从而得出四边形ABCD的面积，即可求出小岛与小岛之间的距离.
（2）利用已知条件和正弦定理、同角三角函数基本关系式以及诱导公式，从而求出的值，再利用角之间的关系式和两角和的正弦公式，从而求出的值.
1 / 1广东省广州市南海中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·广州期中）设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。
2．（2024高一下·广州期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：利用斜二测画法的定义，画出原图形，
由是等腰直角三角形，，斜边，
得，
因此，，
所以原平面图形的面积是.
故答案为：A.
【分析】根据斜二测画法的定义画出平面图形，结合等腰直角三角形的结构特征，从而求得原三角形的直角边，再根据三角形的面积公式得出这个平面图形的面积．
3．（2024高一下·广州期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由D为BC的中点，E为边上的点，且，
得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和中点的性质以及平面向量的基本定理，从而得出正确的答案.
4．（2024高一下·广州期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
由，可得，
即，整理得：．
故答案为：D．
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示，即可求出的值，从而找出正确的选项．
5．（2024高一下·广州期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
则该棱台的高，
所以该棱台的体积.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出该棱台的高，再根据正棱台的体积公式得出该棱台的体积.
6．（2024高一下·广州期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A，由，，，得或是异面直线，故A错误；
对于B，由，，得或，故B错误；
对于C，由，，得与相交或，故C错误；
对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则，
又因为，，则，又，，则，因此，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和线线平行、面面平行、线面平行的位置关系判断方法，从而逐项判断，即可找出说法正确的选项.
7．（2024高一下·广州期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（ ）
A． B． C．100 D．300
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，，
在中，，
在中，，
由正弦定理得：，即，
解得：，
由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC，
则（m）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件求出的值，再由正弦定理求出的长，则利用三角函数的定义求出此山的高度的长.
8．（2024高一下·广州期中）已知四边形ABCD是圆内接四边形， ，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则 ， ，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图，
则 ， ， ，
在 中，由余弦定理 得 ，
，即 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，四边形ABCD的面积
。
故答案为：A
【分析】在△ABD中结合勾股定理，则 ， ，而四边形ABCD是圆内接四边形，则 ，再利用诱导公式得出 的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出 ，在 中，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，再利用三角形面积公式结合求和法，从而求出四边形ABCD的面积。
9．（2024高一下·广州期中）已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（ ）
A． B．的虚部为
C．复数的共轭复数 D．复数是方程的一个根
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：由，得，
所以，故A正确；
因为复数的虚部为1，故B错误；
因为复数的共轭复数，故C正确；
因为，
所以复数是方程的一个根，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先由复数的除法运算法则得出复数，再结合复数求模公式判断出选项A；利用复数的虚部的定义，则判断出选项B；利用共轭复数的定义判断出选项C；利用方程求根公式判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．（2024高一下·广州期中）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数满足
【答案】B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】由题意可得：
，
对于A：因为不是最值，
所以 不是 函数的 对称轴，故A错误；
对于B：因为，
所以 函数的图象关于点对称， 故B正确；
对于C：因为 ，则，且在上单调递减，
所以 函数在区间上单调递减 ，故C正确；
对于D：令，则，，
所以 ，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角恒等变换整理得，对于ABC：结合余弦函数性质逐项分析判断；对于D：令，代入检验即可.
11．（2024高一下·广州期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是（ ）
A．△周长为 B．
C．△的外接圆半径为 D．△中线的长为
【答案】B,C
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题设及正弦定理知：，令且，
，可得，
所以，则△周长为，A错误；
，又，则，B正确；
△的外接圆半径为，C正确；
如下图，过D作，由题设知：，则，
又，可得，故，
所以，D错误.
故答案为：BC
【分析】由题设及正弦定理，令且，再利用 得出x的值，进而得出a，b，c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形△周长；再利用已知条件结合余弦定理和三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值；利用正弦定理的性质得出三角形三角形△的外接圆半径；过D作，由题设结合三角形的面积公式得出DE的长，再利用，可得AE的长，进而得出CE的长，再结合勾股定理得出CD的长， 从而找出命题正确的选项。
12．（2024高一下·广州期中）若向量，，则在方向上的投影向量坐标为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，
则，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，再利用数量积求投影向量的方法，从而得出在方向上的投影向量坐标.
13．（2024高一下·广州期中）函数的最大值为 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
当时，即当时，
所以的最大值为：
故答案为：
【分析】根据两角差的正弦公式，从而化简得到，再利用正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出函数的最大值.
14．（2024高一下·广州期中）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 .
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设，球的半径为，
则，球的表面积为，得，，
在中，，即，解得，
故圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据已知条件和球的表面积公式和勾股定理，从而求出、的值，再利用圆锥的侧面积公式，进而得出圆锥的侧面积.
15．（2024高一下·广州期中）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.
（1）求实数a的值；
（2）若，求复数的模.
【答案】（1）解：由已知得：，且是纯虚数
，∵，∴.
（2）解：由（1）得：，∴
∴.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而求出实数a的值。
（2）利用已知条件结合复数的混合运算法则和复数求模公式，进而得出复数的模的值。
16．（2024高一下·广州期中）已知向量与的夹角，且，.
（1）求；
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值.
【答案】（1）解：由向量与的夹角，且，，
得，
又因为，
所以.
（2）解：在上的投影向量为.
（3）解：因为，
则，
所以向量与夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）先求出，再根据已知条件得出的值.
（2）根据数量积求投影向量的方法，从而得出在上的投影向量.
（3）利用已知条件和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合数量积求向量的夹角公式，从而得出向量与夹角的余弦值.
（1）由向量与的夹角，且，，得，
， 所以.
（2）在上的投影向量为.
（3），则，
所以向量与夹角的余弦值为.
17．（2024高一下·广州期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________.
（1）求角C；
（2）若，的面积，求的周长.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
【答案】（1）解：选择条件①，，
由正弦定理得，
则，
整理得，
因为，则，
又因为，所以.
选择条件②，因为，
由正弦定理得，
则，
整理得，
因为，则，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知，
又由的面积，
得，即，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选择条件①②，利用正弦定理边化角，借助两角和的正弦公式，从而计算出角C的值.
（2）由（1）和三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出c的值，则根据三角形的周长公式得出的周长.
（1）选择条件①，，由正弦定理得，
则，
整理得，又，则，而，
所以.
选择条件②，，
由正弦定理得，
则，
整理得，而，则，而，
所以.
（2）由（1）知，由的面积，得，
即，
解得，由余弦定理得，
所以的周长为
18．（2024高一下·广州期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．点，分别在棱，的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
因为点是棱的中点，所以，，
因为点分别是棱的中点，所以，
因为四边形是菱形，所以，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：连接，，
因为点是棱的中点，所以，
因为，
所以的面积为，
则三棱锥的体积为，
因为，且，
所以的面积为，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积为，解得，
因为平面，所以点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质和菱形的结构特征，从而证出，再利用线面平行判定定理，从而证出平面．
（2）根据已知条件和等体积法求出点到平面的距离，由平面和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面的距离．
19．（2024高一下·广州期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛 相距都为，与小岛相距为．小岛对小岛与的视角为钝角，且．
（Ⅰ）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（Ⅱ）记小岛对小岛与的视角为，小岛对小岛与的视角为，求的值．
【答案】解：（Ⅰ），且角为钝角，
，
在中，由余弦定理得，
，
，
，
解得或（舍），
小岛与小岛之间的距离为，
，，，四点共圆，角与角互补，
，，
在中，由余弦定理得，，
，，
解得（舍）或，
，
四个小岛所形成的四边形的面积为平方．
（ Ⅱ ）在中，由正弦定理得：，
即，解得
为锐角，，
又，，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式和余弦定理以及四点共圆，从而求出的长，再根据四边形的面积和三角形面积的关系式，从而得出四边形ABCD的面积，即可求出小岛与小岛之间的距离.
（2）利用已知条件和正弦定理、同角三角函数基本关系式以及诱导公式，从而求出的值，再利用角之间的关系式和两角和的正弦公式，从而求出的值.
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