湖南省株洲市渌口区第三中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
1．（2024高一下·渌口期中）复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·渌口期中）若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C．π D．2π
3．（2024高一下·渌口期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·渌口期中）已知，则等于（ ）
A．10 B． C．3 D．
5．（2024高一下·渌口期中）在中，下列各式是余弦定理的为
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·渌口期中）等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·渌口期中）学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（ ）
A．12 m B．8 m C．2m D．4 m
8．（2024高一下·渌口期中）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
9．（2024高一下·渌口期中）下列复数是纯虚数的为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一下·渌口期中）下列几何体中，是棱柱有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·渌口期中）中，角，，所对的边分别是，，，若，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高一下·渌口期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若．则存在唯一实数，使得
D．若点P为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4
13．（2024高一下·渌口期中）直径为2的球的体积是 .
14．（2024高一下·渌口期中）已知，，且，则 .
15．（2024高一下·渌口期中）在中，已知，，，则的面积为 .
16．（2024高一下·渌口期中）如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为 .
17．（2024高一下·渌口期中）计算：
（1）；
（2）.
18．（2024高一下·渌口期中）已知向量与的夹角为，，，求：
（1）；
（2）.
19．（2024高一下·渌口期中）已知在中，角的对边分别为 ， ，求和.
20．（2024高一下·渌口期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积.
21．（2024高一下·渌口期中）如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场
（1）已知，求的长度
（2）问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积
22．（2024高一下·渌口期中）已知=(cos α，sin α)，=(cos β，sin β)，且.
(1)用k表示数量积；
(2)求的最小值，并求此时的夹角θ.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由可得其在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为.
故选：B.
【分析】根据复数的几何意义z=a+bi在复平面中对应的点的坐标为（a，b）即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，圆锥的体积为，
故选：C.
【分析】由圆锥的体积公式，直接代入数值即可得到圆锥的体积 .
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图的性质得原正方形的横向长度不变，长度为3，纵向长度减半，长度为1.5，且横纵夹角变为，
故选：C.
【分析】利用直观图的性质“横不变，纵减半”求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，
可得，
所以.
故选答案为：B.
【分析】根据题意，利用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，从而计算出的值.
5．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：A、与余弦定理的结构形式一样，故选项A正确；
B、转化得到，与余弦定理的结构形式不一致，故选项B错误；
C、转化得到，与余弦定理的结构形式不一致，故选项C错误；
D、似乎是余弦定理的变形式，而余弦定理的变形形式为，故选项D不正确．
故选：A．
【分析】观察每一项的结构形式，与余弦定理的结构形式进行对比，逐一进行判断分析即可．
6．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：.
故选：A.
【分析】利用平面向量的线性运算法则计算即可.
7．【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由于三角形是等腰三角形，所以，且，
由余弦定理得.
故选：D.
【分析】利用余弦定理求得.
8．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为八卦图可知与的夹角为，其大小为，
所以与的夹角为，所以A错误；
因为向量的平行四边形法则可知，所以B错误；
易知，又因为，所以，
而，所以，即C错误；
易知在上的投影向量为，即D正确.
故选：D
【分析】根据向量夹角定义可得选项A错误；利用向量运算法则及模长关系可得B错误，选项选项C错误；再利用投影向量定义计算可得选项D正确.三角形减法法则：，简记为：共起点，连终点，指被减.
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题可知，，是纯虚数，故选项B，D正确.
故选：BD.
【分析】利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，逐一分析判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A为三棱柱，B为四棱台，C为四棱柱，D为三棱锥，
故选：AC．
【分析】根据立体图形的相关概念逐一判断分析即可.
11．【答案】A,D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：.
，，，
，或.
故选：AD.
【分析】利用正弦定理将 进行边化角化简可得的值，进而可求得的可能取值.
12．【答案】B,D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】A：当为零向量时不一定成立，错误；
B：由条件知：，正确；
C：为零向量时中实数不唯一，错误；
D：由，易知：为平行于的中位线中点，
则且，故面积与面积之比为1：4，正确.
故答案为：BD
【分析】 根据零向量的情况可判断A、C；由相等向量传递性判断可判断B；由确定P的位置，进而判断面积关系，可判断D.
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，球的半径为，
所以该球的体积为.
故答案为：.
【分析】利用球的体积公式，代入数值即可求得球的体积.
14．【答案】2
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，即，解得.
故答案为：2.
【分析】根据向量垂直的充要条件为，利用数量积的坐标表示列式求出x的值即可.
15．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知，的面积为.
故答案为：.
【分析】结合已知条件利用三角形面积公式计算即可求得的面积 .
16．【答案】3
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，
建立平面直角坐标系，
则，，，AC中点，
设，则，，
所以.
∵在直线上，∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为3.
故答案为：3.
【分析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标表示和数量积的坐标表示，则根据y的取值范围和二次函数的图象求最值的方法， 从而得出的最大值.
17．【答案】（1）解：
（2）解：.
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算即可；
（2）利用复数的除法运算法则：分子分母同时乘以分母的共轭复数，计算即可.
（1）易知；
（2）.
18．【答案】（1）解：.
（2）解：，
所以.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用数量积的公式计算即可；
（2）利用向量的模长公式计算即可.
（1）.
（2），
所以.
19．【答案】解：由正弦定理，得.
因为B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
所以
由，
得．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】利用正弦定理即可求得；利用三角形内角和定理求；进而利用正弦定理即可求得.
20．【答案】解：取的中点为，连接，
因为是边长为2的正三角形，易知，
所以.
所以四面体的表面积为.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍，先求出其中等边的面积，进而即可求得四面体的表面积.
21．【答案】（1）解：在中，由正弦定理，
得
所以OP的长度为千米；
（2）解：在中，由余弦定理可得
令可得，
所以当且仅当时取等号，
又
所以当千米时，取得最大值平方千米.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出的长度；
（2）令，利用余弦定理可得当且仅当时取等号，进而利用三角形的面积公式即可求出最大面积.
（1）在中，由正弦定理可得：
，代入数据得
解之：千米；
（2）在中，由余弦定理可得
令可得，
所以当且仅当时取得
又
千米时，取得最大值平方千米.
22．【答案】解：(1)因为，
所以，
所以.
所以.
即，
解得：=.
(2)由(1)，得=，
令f(k)=，
易知f(k)=在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，
所以当k=1时，f(k)=取得最小值为f(1)=×(1+1)=，
所以的最小值为，此时cos θ=，
因为，所以θ=.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】（1）将两边平方后可得，进而用k表示即可；
（2）f(k)=，由函数的单调性的定义，可分析出的最小值为f(1)，代入向量夹角公式求得，进而即可求得此时与夹角θ的大小．
1 / 1湖南省株洲市渌口区第三中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
1．（2024高一下·渌口期中）复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由可得其在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为.
故选：B.
【分析】根据复数的几何意义z=a+bi在复平面中对应的点的坐标为（a，b）即可得出答案.
2．（2024高一下·渌口期中）若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，圆锥的体积为，
故选：C.
【分析】由圆锥的体积公式，直接代入数值即可得到圆锥的体积 .
3．（2024高一下·渌口期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图的性质得原正方形的横向长度不变，长度为3，纵向长度减半，长度为1.5，且横纵夹角变为，
故选：C.
【分析】利用直观图的性质“横不变，纵减半”求解即可.
4．（2024高一下·渌口期中）已知，则等于（ ）
A．10 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，
可得，
所以.
故选答案为：B.
【分析】根据题意，利用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，从而计算出的值.
5．（2024高一下·渌口期中）在中，下列各式是余弦定理的为
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：A、与余弦定理的结构形式一样，故选项A正确；
B、转化得到，与余弦定理的结构形式不一致，故选项B错误；
C、转化得到，与余弦定理的结构形式不一致，故选项C错误；
D、似乎是余弦定理的变形式，而余弦定理的变形形式为，故选项D不正确．
故选：A．
【分析】观察每一项的结构形式，与余弦定理的结构形式进行对比，逐一进行判断分析即可．
6．（2024高一下·渌口期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：.
故选：A.
【分析】利用平面向量的线性运算法则计算即可.
7．（2024高一下·渌口期中）学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（ ）
A．12 m B．8 m C．2m D．4 m
【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由于三角形是等腰三角形，所以，且，
由余弦定理得.
故选：D.
【分析】利用余弦定理求得.
8．（2024高一下·渌口期中）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为八卦图可知与的夹角为，其大小为，
所以与的夹角为，所以A错误；
因为向量的平行四边形法则可知，所以B错误；
易知，又因为，所以，
而，所以，即C错误；
易知在上的投影向量为，即D正确.
故选：D
【分析】根据向量夹角定义可得选项A错误；利用向量运算法则及模长关系可得B错误，选项选项C错误；再利用投影向量定义计算可得选项D正确.三角形减法法则：，简记为：共起点，连终点，指被减.
9．（2024高一下·渌口期中）下列复数是纯虚数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题可知，，是纯虚数，故选项B，D正确.
故选：BD.
【分析】利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，逐一分析判断即可.
10．（2024高一下·渌口期中）下列几何体中，是棱柱有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A为三棱柱，B为四棱台，C为四棱柱，D为三棱锥，
故选：AC．
【分析】根据立体图形的相关概念逐一判断分析即可.
11．（2024高一下·渌口期中）中，角，，所对的边分别是，，，若，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：.
，，，
，或.
故选：AD.
【分析】利用正弦定理将 进行边化角化简可得的值，进而可求得的可能取值.
12．（2024高一下·渌口期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若．则存在唯一实数，使得
D．若点P为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4
【答案】B,D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】A：当为零向量时不一定成立，错误；
B：由条件知：，正确；
C：为零向量时中实数不唯一，错误；
D：由，易知：为平行于的中位线中点，
则且，故面积与面积之比为1：4，正确.
故答案为：BD
【分析】 根据零向量的情况可判断A、C；由相等向量传递性判断可判断B；由确定P的位置，进而判断面积关系，可判断D.
13．（2024高一下·渌口期中）直径为2的球的体积是 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，球的半径为，
所以该球的体积为.
故答案为：.
【分析】利用球的体积公式，代入数值即可求得球的体积.
14．（2024高一下·渌口期中）已知，，且，则 .
【答案】2
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，即，解得.
故答案为：2.
【分析】根据向量垂直的充要条件为，利用数量积的坐标表示列式求出x的值即可.
15．（2024高一下·渌口期中）在中，已知，，，则的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可知，的面积为.
故答案为：.
【分析】结合已知条件利用三角形面积公式计算即可求得的面积 .
16．（2024高一下·渌口期中）如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为 .
【答案】3
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，
建立平面直角坐标系，
则，，，AC中点，
设，则，，
所以.
∵在直线上，∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为3.
故答案为：3.
【分析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标表示和数量积的坐标表示，则根据y的取值范围和二次函数的图象求最值的方法， 从而得出的最大值.
17．（2024高一下·渌口期中）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
（2）解：.
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算即可；
（2）利用复数的除法运算法则：分子分母同时乘以分母的共轭复数，计算即可.
（1）易知；
（2）.
18．（2024高一下·渌口期中）已知向量与的夹角为，，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：.
（2）解：，
所以.
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用数量积的公式计算即可；
（2）利用向量的模长公式计算即可.
（1）.
（2），
所以.
19．（2024高一下·渌口期中）已知在中，角的对边分别为 ， ，求和.
【答案】解：由正弦定理，得.
因为B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
所以
由，
得．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】利用正弦定理即可求得；利用三角形内角和定理求；进而利用正弦定理即可求得.
20．（2024高一下·渌口期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积.
【答案】解：取的中点为，连接，
因为是边长为2的正三角形，易知，
所以.
所以四面体的表面积为.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍，先求出其中等边的面积，进而即可求得四面体的表面积.
21．（2024高一下·渌口期中）如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场
（1）已知，求的长度
（2）问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积
【答案】（1）解：在中，由正弦定理，
得
所以OP的长度为千米；
（2）解：在中，由余弦定理可得
令可得，
所以当且仅当时取等号，
又
所以当千米时，取得最大值平方千米.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出的长度；
（2）令，利用余弦定理可得当且仅当时取等号，进而利用三角形的面积公式即可求出最大面积.
（1）在中，由正弦定理可得：
，代入数据得
解之：千米；
（2）在中，由余弦定理可得
令可得，
所以当且仅当时取得
又
千米时，取得最大值平方千米.
22．（2024高一下·渌口期中）已知=(cos α，sin α)，=(cos β，sin β)，且.
(1)用k表示数量积；
(2)求的最小值，并求此时的夹角θ.
【答案】解：(1)因为，
所以，
所以.
所以.
即，
解得：=.
(2)由(1)，得=，
令f(k)=，
易知f(k)=在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，
所以当k=1时，f(k)=取得最小值为f(1)=×(1+1)=，
所以的最小值为，此时cos θ=，
因为，所以θ=.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】（1）将两边平方后可得，进而用k表示即可；
（2）f(k)=，由函数的单调性的定义，可分析出的最小值为f(1)，代入向量夹角公式求得，进而即可求得此时与夹角θ的大小．
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