山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高二下·淄川期中）曲线 在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·淄川期中）已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·淄川期中）若函数，满足且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024高二下·淄川期中）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
5．（2024高二下·淄川期中）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·淄川期中）已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024高二下·淄川期中）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·淄川期中）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·淄川期中）记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·淄川期中）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是24 B．第4项系数最大
C．第3项是 D．所有项的系数的和为1
11．（2024高二下·淄川期中）下列说法正确的是（ ）
A．甲 乙 丙 丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法
B．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种
C．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种
D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种
12．（2024高二下·淄川期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）.
A．当时，
B．函数在上有且仅有三个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D．，
13．（2024高二下·淄川期中）数列满足，，则 ．
14．（2024高二下·淄川期中）的展开式中的系数为 ．
15．（2024高二下·淄川期中）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
16．（2024高二下·淄川期中）已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为 ．
17．（2024高二下·淄川期中）已知展开式的二项式系数和为64，且．
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求的值．
18．（2024高二下·淄川期中）已知等差数列的首项为1，且，___．在①；②成等比数列；③，其中是数列}的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分，
19．（2024高二下·淄川期中）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
20．（2024高二下·淄川期中）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明：．
21．（2024高二下·淄川期中）已知数列的前项和为满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足.
①求数列的前项和；
②若对于一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
22．（2024高二下·淄川期中） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，故所求切线方程为 ．
故答案为：A．
【分析】 求出函数的导数，求解切线的斜率，然后求解切线方程即可.
2．【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：，，．
故答案为：C．
【分析】根据递推公式，代入数值化简即可.
3．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解： 函数，满足且，
当时，有，即，
又因为所以，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，先取，得与之间的关系，再根据导数的运算直接求导代值计算即可.
4．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数在内无极值，所以在内无变号零点，根据二次函数的对称性和单调性知，函数在区间单调递增，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意可得在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可.
6．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
联立，可得或，
又因为数列是递增的等比数列，所以，则公比，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及等比数列前项和公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在区间 上成立，
即 在区间 上有解，
因此，只需 ，解得 .
故答案为：D
【分析】先将函数 在区间 内存在单调递增区间，转化为 在区间 上有解，再转化为 ，进而可求出结果.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，且，
，，
因为在区间上为“凹函数”，所以，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
当，即时，因为，，所以，
故显然成立，
当，即时，令，
则在上恒成立，
又因为，所以在上单调递增，
所以，即，则在上恒成立，
令，则，
又，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，
综上：，即.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求导，根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，可得实数m的范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由 ，得 ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
，
由 ，得 ，
故答案为：ACD.
【分析】由 ，求得，利用等差数列的通项公式及求和公式逐项进行分析，可得答案。
10．【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为：；
A、令，可得，则常数项为，故A正确；
B、当时，第4项的系数为负数，故B错误；
C、第3项是，所以第三项为24，故C错误；
D、令可得所有项的系数的和为1，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先写出展开式的通项，再根据二项展开式判断ABC；由赋值法即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，A符合题意；
对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法，
所以共有种排法，B不符合题意；
对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法，
所以共有种排法，C符合题意；
对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，
若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，
所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 先排甲再排剩下的三人可判断A；利用捆绑法即可求解可判断B；先排女生再把男生插空可判断C；利用插空法和特殊元素位置法可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、当时，，则，因为函数是定义域在上的奇函数，所以，则，故A错误；
B、函数的图象，如图所示：
观察在时的图象，令，得，
可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，故B正确；
C、由图可知，若关于的方程有解，则，故C错误；
D、由图可知，的值域为，所以对，恒成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据奇偶性求解析式即可判断A；作出函数的图象，数形结合解判断BCD.
13．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，
所以，
，
，
，
，
累加得：
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合递推公式和累加法得出数列的通项公式。
14．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为：，
当时，，
当时，，
则的展开式中的系数为.
故答案为：7.
【分析】由二项式定理得到的展开式通项公式求解即可.
15．【答案】64
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】当学生选修2门时，有种；
当学生选修3门时，选修2门体育1门艺术有种，选修2门艺术1门体育有种。
则共有种。
故答案为：64
【分析】 根据题意分情况讨论，由分类加法原理结合分步乘法原理，即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
当时，，则函数在上单调递增，
因为是偶函数，所以是奇函数，
又因为，所以，
由，解得；由，解得，
不等式等价于，所以或，解得或．
故答案为：．
【分析】根据，构造函数，通过研究函数的单调性，结合，把不等式等价转化为，根据同号得正，异号得负，写出不等式的解集即可．
17．【答案】（1）解：的展开式的所有项的二项式系数和为，则，
故展开式中第三项为：，所以；
（2）解：，则第四项的二项式系数最大，
即展开式中二项式系数最大的项；
（3）解：，
则，
令，可得.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据二项展开式的通项求解即可；
（2）由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项求解即可；
（3）由题可得，然后利用赋值法求解即可.
（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，
∴，
故展开式中第三项为：，
所以；
（2）∵，
∴第四项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项；
（3）因为，
∴，
令，可得.
18．【答案】（1）解：若选择①：设的公差为d，
因为，，所以，所以，所以；
若选择②：因为成等比数列，所以，
又因为，所以，
又，设等差数列的公差为，
所以，解得，所以；
若选择③：设的公差为d，
因为，所以，又，
即，解得，
所以；
（2）解：由题知，
，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，选择①，结合等差数列求和公式列方程求，由此可得的通项公式；选择②，由条件结合等比中项列方程求，由此可得的通项公式；选择③，结合等差数列求和公式和通项公式列方程求，由此可得的通项公式；
（2）由（1），利用组合求和法，结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求数列{}的前n项和即可．
（1）若选择①：设的公差为d，
因为，，
所以，
所以，
所以；
若选择②：因为成等比数列，
所以，
又，所以，
又，设的公差为，
所以，解得，
所以；
若选择③：设的公差为d，
因为，
所以，又，
即，
解得，
所以；
（2）由题知．
所以，
所以，
所以，
所以.
19．【答案】解：（1）圆柱的侧面积为，底面积为，
则圆柱形蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元，
蓄水池的总建造成本为元，
由，可得，
则，
因为，所以
故函数的定义域为；
（2）由（1）中，，求导可得（），
令，解得
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则当时该蓄水池的体积最大.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）先计算圆柱的侧面积及底面积，再求总造价，求得，计算，由可得；
（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
20．【答案】解：（1），求导可得，，
因为是函数的极值点，所以，解得；
（2）方法一：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
方法二【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当时，要证，，，即证，化简得；
同理，当时，要证，，，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立；
方法三：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0求解出参数即可；
（2）方法一：利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二：利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三：先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号），然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式.
21．【答案】（1）解：当时，；
当时，，，，即；
又，，
则数列自第二项起为等比数列，公比为，此时；
经检验：不满足，故；
（2）解：①由（1）得：，则；
当时，，，
，
；
经检验：满足，；
②当时，，
当时，，，则当时，，
又，，即；
，即，解得：或，
即实数的取值范围为.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与关系可证得数列自第二项起为等比数列，由等比数列通项公式可求得此时，验证可知数列为分段数列，由此可得通项公式；
（2）①由（1）可得，当时，采用错位相减法可求得，验证可知满足的表达式，由此可得结论；
②采用作差法可确定数列的单调性，得到，构造不等式求范围即可.
（1）当时，；
当时，，，，
即；
又，，
数列自第二项起为等比数列，公比为，此时；
经检验：不满足，.
（2）①由（1）得：，则；
当时，，，
，
；
经检验：满足，；
②当时，，
当时，，，则当时，，
又，，即；
，即，解得：或，
即实数的取值范围为.
22．【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
1 / 1山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高二下·淄川期中）曲线 在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，故所求切线方程为 ．
故答案为：A．
【分析】 求出函数的导数，求解切线的斜率，然后求解切线方程即可.
2．（2024高二下·淄川期中）已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：，，．
故答案为：C．
【分析】根据递推公式，代入数值化简即可.
3．（2024高二下·淄川期中）若函数，满足且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解： 函数，满足且，
当时，有，即，
又因为所以，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，先取，得与之间的关系，再根据导数的运算直接求导代值计算即可.
4．（2024高二下·淄川期中）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
5．（2024高二下·淄川期中）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数在内无极值，所以在内无变号零点，根据二次函数的对称性和单调性知，函数在区间单调递增，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意可得在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可.
6．（2024高二下·淄川期中）已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
联立，可得或，
又因为数列是递增的等比数列，所以，则公比，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及等比数列前项和公式求解即可.
7．（2024高二下·淄川期中）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在区间 上成立，
即 在区间 上有解，
因此，只需 ，解得 .
故答案为：D
【分析】先将函数 在区间 内存在单调递增区间，转化为 在区间 上有解，再转化为 ，进而可求出结果.
8．（2024高二下·淄川期中）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，且，
，，
因为在区间上为“凹函数”，所以，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
当，即时，因为，，所以，
故显然成立，
当，即时，令，
则在上恒成立，
又因为，所以在上单调递增，
所以，即，则在上恒成立，
令，则，
又，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，
综上：，即.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求导，根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，可得实数m的范围.
9．（2024高二下·淄川期中）记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由 ，得 ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
，
由 ，得 ，
故答案为：ACD.
【分析】由 ，求得，利用等差数列的通项公式及求和公式逐项进行分析，可得答案。
10．（2024高二下·淄川期中）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是24 B．第4项系数最大
C．第3项是 D．所有项的系数的和为1
【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为：；
A、令，可得，则常数项为，故A正确；
B、当时，第4项的系数为负数，故B错误；
C、第3项是，所以第三项为24，故C错误；
D、令可得所有项的系数的和为1，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先写出展开式的通项，再根据二项展开式判断ABC；由赋值法即可判断D.
11．（2024高二下·淄川期中）下列说法正确的是（ ）
A．甲 乙 丙 丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法
B．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种
C．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种
D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种
【答案】A,C,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，A符合题意；
对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法，
所以共有种排法，B不符合题意；
对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法，
所以共有种排法，C符合题意；
对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，
若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，
所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 先排甲再排剩下的三人可判断A；利用捆绑法即可求解可判断B；先排女生再把男生插空可判断C；利用插空法和特殊元素位置法可判断D.
12．（2024高二下·淄川期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）.
A．当时，
B．函数在上有且仅有三个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D．，
【答案】B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、当时，，则，因为函数是定义域在上的奇函数，所以，则，故A错误；
B、函数的图象，如图所示：
观察在时的图象，令，得，
可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，故B正确；
C、由图可知，若关于的方程有解，则，故C错误；
D、由图可知，的值域为，所以对，恒成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据奇偶性求解析式即可判断A；作出函数的图象，数形结合解判断BCD.
13．（2024高二下·淄川期中）数列满足，，则 ．
【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，
所以，
，
，
，
，
累加得：
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合递推公式和累加法得出数列的通项公式。
14．（2024高二下·淄川期中）的展开式中的系数为 ．
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为：，
当时，，
当时，，
则的展开式中的系数为.
故答案为：7.
【分析】由二项式定理得到的展开式通项公式求解即可.
15．（2024高二下·淄川期中）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
【答案】64
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】当学生选修2门时，有种；
当学生选修3门时，选修2门体育1门艺术有种，选修2门艺术1门体育有种。
则共有种。
故答案为：64
【分析】 根据题意分情况讨论，由分类加法原理结合分步乘法原理，即可得出答案。
16．（2024高二下·淄川期中）已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
当时，，则函数在上单调递增，
因为是偶函数，所以是奇函数，
又因为，所以，
由，解得；由，解得，
不等式等价于，所以或，解得或．
故答案为：．
【分析】根据，构造函数，通过研究函数的单调性，结合，把不等式等价转化为，根据同号得正，异号得负，写出不等式的解集即可．
17．（2024高二下·淄川期中）已知展开式的二项式系数和为64，且．
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求的值．
【答案】（1）解：的展开式的所有项的二项式系数和为，则，
故展开式中第三项为：，所以；
（2）解：，则第四项的二项式系数最大，
即展开式中二项式系数最大的项；
（3）解：，
则，
令，可得.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据二项展开式的通项求解即可；
（2）由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项求解即可；
（3）由题可得，然后利用赋值法求解即可.
（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，
∴，
故展开式中第三项为：，
所以；
（2）∵，
∴第四项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项；
（3）因为，
∴，
令，可得.
18．（2024高二下·淄川期中）已知等差数列的首项为1，且，___．在①；②成等比数列；③，其中是数列}的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分，
【答案】（1）解：若选择①：设的公差为d，
因为，，所以，所以，所以；
若选择②：因为成等比数列，所以，
又因为，所以，
又，设等差数列的公差为，
所以，解得，所以；
若选择③：设的公差为d，
因为，所以，又，
即，解得，
所以；
（2）解：由题知，
，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，选择①，结合等差数列求和公式列方程求，由此可得的通项公式；选择②，由条件结合等比中项列方程求，由此可得的通项公式；选择③，结合等差数列求和公式和通项公式列方程求，由此可得的通项公式；
（2）由（1），利用组合求和法，结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求数列{}的前n项和即可．
（1）若选择①：设的公差为d，
因为，，
所以，
所以，
所以；
若选择②：因为成等比数列，
所以，
又，所以，
又，设的公差为，
所以，解得，
所以；
若选择③：设的公差为d，
因为，
所以，又，
即，
解得，
所以；
（2）由题知．
所以，
所以，
所以，
所以.
19．（2024高二下·淄川期中）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【答案】解：（1）圆柱的侧面积为，底面积为，
则圆柱形蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元，
蓄水池的总建造成本为元，
由，可得，
则，
因为，所以
故函数的定义域为；
（2）由（1）中，，求导可得（），
令，解得
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则当时该蓄水池的体积最大.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）先计算圆柱的侧面积及底面积，再求总造价，求得，计算，由可得；
（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
20．（2024高二下·淄川期中）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明：．
【答案】解：（1），求导可得，，
因为是函数的极值点，所以，解得；
（2）方法一：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
方法二【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当时，要证，，，即证，化简得；
同理，当时，要证，，，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立；
方法三：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0求解出参数即可；
（2）方法一：利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二：利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三：先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号），然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式.
21．（2024高二下·淄川期中）已知数列的前项和为满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足.
①求数列的前项和；
②若对于一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，；
当时，，，，即；
又，，
则数列自第二项起为等比数列，公比为，此时；
经检验：不满足，故；
（2）解：①由（1）得：，则；
当时，，，
，
；
经检验：满足，；
②当时，，
当时，，，则当时，，
又，，即；
，即，解得：或，
即实数的取值范围为.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）利用与关系可证得数列自第二项起为等比数列，由等比数列通项公式可求得此时，验证可知数列为分段数列，由此可得通项公式；
（2）①由（1）可得，当时，采用错位相减法可求得，验证可知满足的表达式，由此可得结论；
②采用作差法可确定数列的单调性，得到，构造不等式求范围即可.
（1）当时，；
当时，，，，
即；
又，，
数列自第二项起为等比数列，公比为，此时；
经检验：不满足，.
（2）①由（1）得：，则；
当时，，，
，
；
经检验：满足，；
②当时，，
当时，，，则当时，，
又，，即；
，即，解得：或，
即实数的取值范围为.
22．（2024高二下·淄川期中） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
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