广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·新会期中）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
2．（2024高二下·新会期中）设函数f（x）=+lnx 则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
3．（2024高二下·新会期中）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
4．（2024高二下·新会期中）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·新会期中）已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·新会期中）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．96 B．240 C．280 D．480
7．（2024高二下·新会期中）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若，则，，）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
8．（2024高二下·新会期中）若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·新会期中） 对于随机变量，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高二下·新会期中）已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．（2024高二下·新会期中）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·新会期中）计算： .
13．（2024高二下·新会期中）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为 .
14．（2024高二下·新会期中）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
15．（2024高二下·新会期中）已知在处取得极小值．
（1）求的解析式；
（2）若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
16．（2024高二下·新会期中）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．
17．（2024高二下·新会期中）已知函数．
（1）若，求函数的零点；
（2）讨论函数的单调性.
18．（2024高二下·新会期中）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度.
（1）求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率
（2）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望；
（3）若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.
19．（2024高二下·新会期中）已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）记的零点为（），的极值点为，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
当时，，则项的系数为80.
故答案为：D.
【分析】利用二项展开式的通项求解即可.
2．【答案】D
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】得.所以f(x)的增区间为，f(x)的减区间为，所以f(x)只有极小值，极小值点为x=2.选D。
【点评】利用导数等于零得到函数的极值点，根据左正右负为极大值点，左负右正为极小值点的规确定其极值.
3．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
故答案为：B.
【分析】按选2本画册和选1本画册两种情况讨论，再选出同学赠送即可求解.
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数的导函数在区间上是增函数 ，则，且，都有，即斜率依次增大.
故答案为：A．
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可.
5．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件=“该家族某位成员出现性状”，事件=“该家族某位成员出现性状”，
由题意可得：，，，
则，
因为，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】先记事件，再利用条件概率公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，
又分给甲、乙、丙、丁四个人，
则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有 种，
然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有 种，
所以不同的分法种数为 ,
故答案为：B。
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，再利用排列数和组合数公式，从而求出不同的分法种数。
7．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，
所以，，
由题意，，且，，
因为，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，
故答案为：B.
【分析】利用正态分布的几何性质以及数据，结合期望和方差的公式，由概率公式代入数值计算出结果即可。
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知不等式恒成立，且，
分离参数得，
设，得，，设，，则.
，由得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以.
所以.
故答案为：C.
【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，利用导数求出，结合恒成立即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A，若，则，A正确；
B，若，则，B正确；
C，若，则，C错误；
D，若，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】直接利用期望的性质公式进行计算可判断A选项；直接利用方差的性质公式进行计算可判断B选项；根据正态分布的意义可求出，判断C选项；直接利用二项分布的期望公式进行计算可判断D选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：若展开式只有第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝8；
若展开式第四项和第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则，解得：n＝9.
故答案为：ABC.
【分析】若为偶数，则展开式中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项与的二项式系数和相等同时最大，分三种情况分别计算即可求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，∵事件B1和C2相互独立，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故答案为： A、B、D.
【分析】对于A，利用互斥事件概率加法公式求解，判断A正确，对于B，利用条件概率求解，判断B正确，对于C，利用相互独立事件概率乘法公式求解，判断C错误，对于D，利用相容事件的并的概率公式求解，判断D正确.
12．【答案】28
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：28.
【分析】利用排列数和组合数的乘积式公式计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：质点从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，
可能的结果共有种情况，
若质点回到原点，则向左移动3次向右移动3次，共有种情况，
所以质点回到原点的概率为.
故答案为：.
【分析】先利用分步乘法计数原理可得64种可能、再利用组合的定义可得符合条件的有20种，最后古典概型的概率公式计算即可求解.
14．【答案】390
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：用2色涂格子有种方法，用3色涂格子，第一步选色有第二步涂色，共有种，
所以涂色方法种方法，
故总共有30+360=390种方法.
故答案为：390.
【分析】分用2种颜色和3种颜色结合分步乘法计数原理即可求解.
15．【答案】（1）解：由题意知，
因为在处取得极小值，
则，解得：，
经检验，满足题意，所以，
所以.
（2）解：令，解得或，
则，，的关系如下表：
+ 0 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
则，，
则的图象如图所示：
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于直线与曲线有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导可得结合题意列关于方程组，从而可即可求解；
（2）方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，再转化为直线与曲线有且只有一个交点，利用导数求出的单调区间和极值，从而可求出的取值范围.
（1）由题意知，
因为在处取得极小值，
则，解得：，
经检验，满足题意，所以，
所以.
（2）令，解得或，
则，，的关系如下表：
+ 0 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
则，，
则的图象如图所示，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于直线与曲线有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.·
16．【答案】（1）解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）解：甲班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为1，2，，，
则，．
乙班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为0，1，2．所以，
∴，．
由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式结合古典概率公式即可求解；
（2）易知服从超几何分布和服从二项分布，利用数学期望和方差的定义依次求出，，，，比较大小即可求解．
（1）解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）解：甲班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为1，2，，，
则，．
乙班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为0，1，2．所以，
∴，．
由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
17．【答案】（1）解：若，，
则，
所以函数在单调递增，
又，故有唯一的零点1.
（2）解：因为，
令，
①当时，，在上，，所以单调递增．
②当时，导数图像如图所示：
当时，，
在上恒成立，所以单调递增．
当或时，，令，
得，
当时，注意到，导数图像如图所示：
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
当时， 注意到，导数图像如图所示：
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导可得，可得函数在单调递增结合，即可求解；
（2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性.
（1）若，，
则，
所以函数在单调递增，
又，故有唯一的零点1.
（2）因为，
令，
①当时，，在上，，所以单调递增．
②当时，
当时，，
在上恒成立，所以单调递增．
当或时，，令，
得，
当时，注意到，
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
当时， 注意到，
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
18．【答案】（1）解：每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率.
（2）解：由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数，
所以的数学期望．
（3）解：记事件为“按方式一回答问卷”，事件为“按方式二回答问卷”，事件为“在问卷中画○”．由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】（1）先求出每次摸到白球和黑球的概率，再利用相互独立事件的概率公式即可求解；
（2）根据题意可得方式一回答问卷的人数服从二项分布，利用二项分布的期望的公式即可求解；
（3）根据题意利用条件概率公式和全概率公式即可求解.
（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率.
（2）由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数，
所以的数学期望．
（3）记事件为“按方式一回答问卷”，事件为“按方式二回答问卷”，事件为“在问卷中画○”．
由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．
19．【答案】（1）解：记，①当时，取，不符条件；
②当时，，
令，
∴在单调递减，在单调递增，
所以，即，
则的取值范围为；
（2）证明：∵，令，
则，
且，
令，
∴在单调递增，在单调递减，
且，
∴，
取，则，
∴，
取，
则，
记，
在中，，
∴在单调递增，在上单调递减，
∴，
即
∵
∴
从而.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）构造函数，求导可得。再分和两类讨论，即可求解；
（2）先对和分别求导，求出的极值点的关系式，再求出单调区间及零点所在区间，令结合导函数即可证明.
（1）记，
①当时，取，不符条件；
②当时，，
令，
∴在单调递减，在单调递增，
所以，即，
则的取值范围为；
（2）∵，
令，
则，
且，
令，
∴在单调递增，在单调递减，
且，
∴，
取，则，
∴，
取，
则，
记，
在中，，
∴在单调递增，在上单调递减，
∴，
即
∵
∴
从而.
1 / 1广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·新会期中）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
当时，，则项的系数为80.
故答案为：D.
【分析】利用二项展开式的通项求解即可.
2．（2024高二下·新会期中）设函数f（x）=+lnx 则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】得.所以f(x)的增区间为，f(x)的减区间为，所以f(x)只有极小值，极小值点为x=2.选D。
【点评】利用导数等于零得到函数的极值点，根据左正右负为极大值点，左负右正为极小值点的规确定其极值.
3．（2024高二下·新会期中）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
故答案为：B.
【分析】按选2本画册和选1本画册两种情况讨论，再选出同学赠送即可求解.
4．（2024高二下·新会期中）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 函数的导函数在区间上是增函数 ，则，且，都有，即斜率依次增大.
故答案为：A．
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可.
5．（2024高二下·新会期中）已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件=“该家族某位成员出现性状”，事件=“该家族某位成员出现性状”，
由题意可得：，，，
则，
因为，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】先记事件，再利用条件概率公式求解即可.
6．（2024高二下·新会期中）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．96 B．240 C．280 D．480
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，
又分给甲、乙、丙、丁四个人，
则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有 种，
然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有 种，
所以不同的分法种数为 ,
故答案为：B。
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，再利用排列数和组合数公式，从而求出不同的分法种数。
7．（2024高二下·新会期中）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（ ）（附：若，则，，）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，
所以，，
由题意，，且，，
因为，
所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，
故答案为：B.
【分析】利用正态分布的几何性质以及数据，结合期望和方差的公式，由概率公式代入数值计算出结果即可。
8．（2024高二下·新会期中）若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：已知不等式恒成立，且，
分离参数得，
设，得，，设，，则.
，由得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以.
所以.
故答案为：C.
【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，利用导数求出，结合恒成立即可求解.
9．（2024高二下·新会期中） 对于随机变量，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A，若，则，A正确；
B，若，则，B正确；
C，若，则，C错误；
D，若，则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】直接利用期望的性质公式进行计算可判断A选项；直接利用方差的性质公式进行计算可判断B选项；根据正态分布的意义可求出，判断C选项；直接利用二项分布的期望公式进行计算可判断D选项.
10．（2024高二下·新会期中）已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：若展开式只有第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝8；
若展开式第四项和第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则，解得：n＝9.
故答案为：ABC.
【分析】若为偶数，则展开式中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项与的二项式系数和相等同时最大，分三种情况分别计算即可求解.
11．（2024高二下·新会期中）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，∵事件B1和C2相互独立，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故答案为： A、B、D.
【分析】对于A，利用互斥事件概率加法公式求解，判断A正确，对于B，利用条件概率求解，判断B正确，对于C，利用相互独立事件概率乘法公式求解，判断C错误，对于D，利用相容事件的并的概率公式求解，判断D正确.
12．（2024高二下·新会期中）计算： .
【答案】28
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：28.
【分析】利用排列数和组合数的乘积式公式计算即可求解.
13．（2024高二下·新会期中）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：质点从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，
可能的结果共有种情况，
若质点回到原点，则向左移动3次向右移动3次，共有种情况，
所以质点回到原点的概率为.
故答案为：.
【分析】先利用分步乘法计数原理可得64种可能、再利用组合的定义可得符合条件的有20种，最后古典概型的概率公式计算即可求解.
14．（2024高二下·新会期中）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
【答案】390
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：用2色涂格子有种方法，用3色涂格子，第一步选色有第二步涂色，共有种，
所以涂色方法种方法，
故总共有30+360=390种方法.
故答案为：390.
【分析】分用2种颜色和3种颜色结合分步乘法计数原理即可求解.
15．（2024高二下·新会期中）已知在处取得极小值．
（1）求的解析式；
（2）若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意知，
因为在处取得极小值，
则，解得：，
经检验，满足题意，所以，
所以.
（2）解：令，解得或，
则，，的关系如下表：
+ 0 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
则，，
则的图象如图所示：
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于直线与曲线有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导可得结合题意列关于方程组，从而可即可求解；
（2）方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，再转化为直线与曲线有且只有一个交点，利用导数求出的单调区间和极值，从而可求出的取值范围.
（1）由题意知，
因为在处取得极小值，
则，解得：，
经检验，满足题意，所以，
所以.
（2）令，解得或，
则，，的关系如下表：
+ 0 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
则，，
则的图象如图所示，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于直线与曲线有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.·
16．（2024高二下·新会期中）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．
【答案】（1）解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）解：甲班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为1，2，，，
则，．
乙班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为0，1，2．所以，
∴，．
由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式结合古典概率公式即可求解；
（2）易知服从超几何分布和服从二项分布，利用数学期望和方差的定义依次求出，，，，比较大小即可求解．
（1）解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）解：甲班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为1，2，，，
则，．
乙班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为0，1，2．所以，
∴，．
由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
17．（2024高二下·新会期中）已知函数．
（1）若，求函数的零点；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）解：若，，
则，
所以函数在单调递增，
又，故有唯一的零点1.
（2）解：因为，
令，
①当时，，在上，，所以单调递增．
②当时，导数图像如图所示：
当时，，
在上恒成立，所以单调递增．
当或时，，令，
得，
当时，注意到，导数图像如图所示：
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
当时， 注意到，导数图像如图所示：
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导可得，可得函数在单调递增结合，即可求解；
（2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性.
（1）若，，
则，
所以函数在单调递增，
又，故有唯一的零点1.
（2）因为，
令，
①当时，，在上，，所以单调递增．
②当时，
当时，，
在上恒成立，所以单调递增．
当或时，，令，
得，
当时，注意到，
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
当时， 注意到，
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
18．（2024高二下·新会期中）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度.
（1）求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率
（2）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望；
（3）若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.
【答案】（1）解：每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率.
（2）解：由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数，
所以的数学期望．
（3）解：记事件为“按方式一回答问卷”，事件为“按方式二回答问卷”，事件为“在问卷中画○”．由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】（1）先求出每次摸到白球和黑球的概率，再利用相互独立事件的概率公式即可求解；
（2）根据题意可得方式一回答问卷的人数服从二项分布，利用二项分布的期望的公式即可求解；
（3）根据题意利用条件概率公式和全概率公式即可求解.
（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率.
（2）由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数，
所以的数学期望．
（3）记事件为“按方式一回答问卷”，事件为“按方式二回答问卷”，事件为“在问卷中画○”．
由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．
19．（2024高二下·新会期中）已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）记的零点为（），的极值点为，证明：.
【答案】（1）解：记，①当时，取，不符条件；
②当时，，
令，
∴在单调递减，在单调递增，
所以，即，
则的取值范围为；
（2）证明：∵，令，
则，
且，
令，
∴在单调递增，在单调递减，
且，
∴，
取，则，
∴，
取，
则，
记，
在中，，
∴在单调递增，在上单调递减，
∴，
即
∵
∴
从而.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）构造函数，求导可得。再分和两类讨论，即可求解；
（2）先对和分别求导，求出的极值点的关系式，再求出单调区间及零点所在区间，令结合导函数即可证明.
（1）记，
①当时，取，不符条件；
②当时，，
令，
∴在单调递减，在单调递增，
所以，即，
则的取值范围为；
（2）∵，
令，
则，
且，
令，
∴在单调递增，在单调递减，
且，
∴，
取，则，
∴，
取，
则，
记，
在中，，
∴在单调递增，在上单调递减，
∴，
即
∵
∴
从而.
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