浙江省S9联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高一下·浙江期中）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集的运算求解即可.
2．（2024高一下·浙江期中）已知复数z满足，则复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
则复数在复平面内对应点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的除法运算法则，求得，再结合复数的几何意义判断即可.
3．（2024高一下·浙江期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；相等向量
【解析】【解答】解：A、由图可知：向量方向不同，故A错误；
B、易知向量方向相反，故B错误；
C、若，则不成立，故C错误；
D、因为D、E为边上的三等分点，所以，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据三等分点得出向量相等，结合向量的方向判断即可.
4．（2024高一下·浙江期中）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A成立；
B、因为，所以，故B成立；
C、因为，所以，故C成立；
D、因为，所以，故D不成立．
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和，结合三角函数诱导公式逐项判断即可．
5．（2024高一下·浙江期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法可知：在原中，，因为，所以，
又因为，所以，所以，即原是一个等边三角形.
故答案为：B.
【分析】由图，结合斜二测画法判断即可.
6．（2024高一下·浙江期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知圆台的上，下底面面积分别为，
设圆台的高为，则，
故圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用圆台的体积公式求解即可.
7．（2024高一下·浙江期中）已知向量，向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得：，且，则向量在上的投影向量.
故答案为：A.
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
8．（2024高一下·浙江期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，，
则，即，
，解得，，
因为，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式求解即可.
9．（2024高一下·浙江期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则，为共轭复数
D．若，则表示复数的点围成的图形面积为
【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：A、设复数，则，
即，故A正确；
B、当时，，但，故B错误；
C、设，则，
，即，但与不一定相等，故C错误；
D、设，则，即，
则复数在复平面上对应的点围成的图形是以为圆心，1为半径的圆，
其围成的图形面积为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算求解即可判断A；举特殊例子说明即可判断B；假设复数，，通过运算可得虚部相反，但实部未必相等即可判断C；根据复数的模几何意义即可判断D.
10．（2024高一下·浙江期中）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的图象与直线有两个交点
C．的值域是 D．在区间上是减函数
【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，易知不是偶函数，故A错误；
B、或，解得，则的图象与直线有1个交点，故B错误；
C、当当，函数的值域为，故C正确；
D、当，函数是减函数，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据分段函数的解析式结合偶函数定义即可判断A；求解不等式判断交点个数即可判断B；根据函数的值域及函数的单调性即可判断CD.
11．（2024高一下·浙江期中）在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若，且，则内切圆半径为
【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由，可得，由正弦定理可得，故A正确；
B、由为锐角三角形，可得，即，
，故B错误；
C、 若， 由正弦定理得，故C正确；
D、若，则，，可得，
所以，则，
设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理和三角形的面积公式，以及锐角三角形的性质逐项判断即可.
12．（2024高一下·浙江期中）函数的零点为 ．
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，解得，则函数的零点为2.
故答案为：2.
【分析】根据对数函数的零点定义求解即可.
13．（2024高一下·浙江期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，若有两解，
则，即.
故答案为：.
【分析】根据正弦定理和图形关系得到，再解不等式即可.
14．（2024高一下·浙江期中）已知不共线的平面向量，，两两所成的角相等，且，则||= .
【答案】2或3
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，设两两之间的夹角为θ，则，设||=m，因为，所以，
即，
所以，
即，解得：或，
所以||或.
故答案为：2或3.
【分析】设两两之间的夹角为θ，由题意可得，再利用列方程求解即可.
15．（2024高一下·浙江期中）化简求值：
（1）已知，求的值.
（2）已知实数，，，求的最小值.
【答案】（1）解：；
（2）解：因为，，，
故，
当且仅当，且，即，时取得等号，
则的最小值为16.
【知识点】基本不等式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系化简求值即可；
（2）利用基本不等式求解即可.
（1）由于，
所以
（2）因为，，，
故，
当且仅当，且，即，时取得等号.
故的最小值为16.
16．（2024高一下·浙江期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.
（1）求两点AC间的长度；
（2）求山MN的高度.
【答案】（1）解：在中，因为，，，
所以；
（2）解：在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1） 在中，解直角三角形即可；
（2）利用正弦定理求出，再结合直角三角形求即可.
（1）在中，因为，，，
所以，
（2）在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
17．（2024高一下·浙江期中）如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
（1）求此圆锥的表面积与体积；
（2）试用x表示圆柱的高h；
（3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
【答案】（1）解：由，，得，
所以，，
故 ，
；
（2）解：由相似可得，得，；
（3）解：记圆柱得全面积为S，
则，
因为，所以当时，.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；
（2）根据相似计算得关系式即可；
（3）先写出全面积公式再结合二次函数求最大值即可.
（1）由，，得，
所以，，
故 ，
；
（2）由相似可得，得，；
（3）记圆柱得全面积为S，
，
∵，∴当时，.
18．（2024高一下·浙江期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，.
（1）当时，用，表示，；
（2）若，求实数的值；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）解：， .
（2）解：若，则，
因为，，，
则，
所以.
（3）解：由题意可得： ， ，
∵，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由已知条件和平面向量基本定理，从而用，表示，.
（2）利用已知条件，将问题转化为，再利用两向量垂直数量积为0及数量积的运算法则，从而得出实数的值.
（3）利用得出，再结合的取值范围和二次函数的图象求最值的方法，从而得出的取值范围.
（1） .
（2）若，则，
因为，，，
则，
所以.
（3））由题可得： ，
，
∵，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以.
19．（2024高一下·浙江期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，即，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：，由正弦定理以及商关系可得：，
则，即，
故为等边三角形；
（3）解：，
由正弦定理得，
则
因为为锐角三角形，则，所以，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简判断即可；
（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式求解面积的取值范围即可.
（1）∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形.
（3）因为，
由正弦定理，得
所以
因为为锐角三角形，则，
从而，
所以.
1 / 1浙江省S9联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高一下·浙江期中）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·浙江期中）已知复数z满足，则复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高一下·浙江期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·浙江期中）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·浙江期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
6．（2024高一下·浙江期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·浙江期中）已知向量，向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·浙江期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·浙江期中）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则，为共轭复数
D．若，则表示复数的点围成的图形面积为
10．（2024高一下·浙江期中）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的图象与直线有两个交点
C．的值域是 D．在区间上是减函数
11．（2024高一下·浙江期中）在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若，且，则内切圆半径为
12．（2024高一下·浙江期中）函数的零点为 ．
13．（2024高一下·浙江期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
14．（2024高一下·浙江期中）已知不共线的平面向量，，两两所成的角相等，且，则||= .
15．（2024高一下·浙江期中）化简求值：
（1）已知，求的值.
（2）已知实数，，，求的最小值.
16．（2024高一下·浙江期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.
（1）求两点AC间的长度；
（2）求山MN的高度.
17．（2024高一下·浙江期中）如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
（1）求此圆锥的表面积与体积；
（2）试用x表示圆柱的高h；
（3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
18．（2024高一下·浙江期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，.
（1）当时，用，表示，；
（2）若，求实数的值；
（3）求的取值范围.
19．（2024高一下·浙江期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集的运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
则复数在复平面内对应点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的除法运算法则，求得，再结合复数的几何意义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；相等向量
【解析】【解答】解：A、由图可知：向量方向不同，故A错误；
B、易知向量方向相反，故B错误；
C、若，则不成立，故C错误；
D、因为D、E为边上的三等分点，所以，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据三等分点得出向量相等，结合向量的方向判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A成立；
B、因为，所以，故B成立；
C、因为，所以，故C成立；
D、因为，所以，故D不成立．
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和，结合三角函数诱导公式逐项判断即可．
5．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法可知：在原中，，因为，所以，
又因为，所以，所以，即原是一个等边三角形.
故答案为：B.
【分析】由图，结合斜二测画法判断即可.
6．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知圆台的上，下底面面积分别为，
设圆台的高为，则，
故圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用圆台的体积公式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得：，且，则向量在上的投影向量.
故答案为：A.
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，，
则，即，
，解得，，
因为，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：A、设复数，则，
即，故A正确；
B、当时，，但，故B错误；
C、设，则，
，即，但与不一定相等，故C错误；
D、设，则，即，
则复数在复平面上对应的点围成的图形是以为圆心，1为半径的圆，
其围成的图形面积为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算求解即可判断A；举特殊例子说明即可判断B；假设复数，，通过运算可得虚部相反，但实部未必相等即可判断C；根据复数的模几何意义即可判断D.
10．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，易知不是偶函数，故A错误；
B、或，解得，则的图象与直线有1个交点，故B错误；
C、当当，函数的值域为，故C正确；
D、当，函数是减函数，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据分段函数的解析式结合偶函数定义即可判断A；求解不等式判断交点个数即可判断B；根据函数的值域及函数的单调性即可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由，可得，由正弦定理可得，故A正确；
B、由为锐角三角形，可得，即，
，故B错误；
C、 若， 由正弦定理得，故C正确；
D、若，则，，可得，
所以，则，
设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理和三角形的面积公式，以及锐角三角形的性质逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，解得，则函数的零点为2.
故答案为：2.
【分析】根据对数函数的零点定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，若有两解，
则，即.
故答案为：.
【分析】根据正弦定理和图形关系得到，再解不等式即可.
14．【答案】2或3
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，设两两之间的夹角为θ，则，设||=m，因为，所以，
即，
所以，
即，解得：或，
所以||或.
故答案为：2或3.
【分析】设两两之间的夹角为θ，由题意可得，再利用列方程求解即可.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：因为，，，
故，
当且仅当，且，即，时取得等号，
则的最小值为16.
【知识点】基本不等式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系化简求值即可；
（2）利用基本不等式求解即可.
（1）由于，
所以
（2）因为，，，
故，
当且仅当，且，即，时取得等号.
故的最小值为16.
16．【答案】（1）解：在中，因为，，，
所以；
（2）解：在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1） 在中，解直角三角形即可；
（2）利用正弦定理求出，再结合直角三角形求即可.
（1）在中，因为，，，
所以，
（2）在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
17．【答案】（1）解：由，，得，
所以，，
故 ，
；
（2）解：由相似可得，得，；
（3）解：记圆柱得全面积为S，
则，
因为，所以当时，.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；
（2）根据相似计算得关系式即可；
（3）先写出全面积公式再结合二次函数求最大值即可.
（1）由，，得，
所以，，
故 ，
；
（2）由相似可得，得，；
（3）记圆柱得全面积为S，
，
∵，∴当时，.
18．【答案】（1）解：， .
（2）解：若，则，
因为，，，
则，
所以.
（3）解：由题意可得： ， ，
∵，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以.
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由已知条件和平面向量基本定理，从而用，表示，.
（2）利用已知条件，将问题转化为，再利用两向量垂直数量积为0及数量积的运算法则，从而得出实数的值.
（3）利用得出，再结合的取值范围和二次函数的图象求最值的方法，从而得出的取值范围.
（1） .
（2）若，则，
因为，，，
则，
所以.
（3））由题可得： ，
，
∵，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以.
19．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，即，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：，由正弦定理以及商关系可得：，
则，即，
故为等边三角形；
（3）解：，
由正弦定理得，
则
因为为锐角三角形，则，所以，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简判断即可；
（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式求解面积的取值范围即可.
（1）∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形.
（3）因为，
由正弦定理，得
所以
因为为锐角三角形，则，
从而，
所以.
1 / 1
