四川省泸州高级中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·泸州期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式和两角差的余弦公式求解即可.
2．（2024高一下·泸州期中）为了得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，则只要将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
3．（2024高一下·泸州期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（ ）
A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45°
【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理，，
可得，
又因为，所以，则角为135°或45°.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角即可.
4．（2024高一下·泸州期中）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角终边经过点，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据任意角的三角函数的定义，结合两角差的正切公式求解即可.
5．（2024高一下·泸州期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、易知E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，
则，故A正确；
B、由图可知，，，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理求解即可.
6．（2024高一下·泸州期中）已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，且，的夹角为， 易知，
则，
即.
故答案为：D.
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合向量的数量积运算求解即可.
7．（2024高一下·泸州期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，可得，
由余弦定理得，化简得，
当时，，为直角三角形；
当时，，为等腰三角形，
综上：为等腰或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用余弦定理将化简为，从而判断三角形形状即可.
8．（2024高一下·泸州期中）已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意令，，，
，
因为，
所以，即，
，则，
则，即的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，向量的坐标满足方，结合向量的数量积公式求解即可.
9．（2024高一下·泸州期中）下面关于空间几何体叙述正确的有（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
C．一个棱台最少有5个面
D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
【答案】A,C
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：A、根据圆柱的定义可知，母线均与圆柱的轴平行，则其长度都相等，故A正确；
B、只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时，才是正四棱锥，故B错误；
C、根据棱台的定义知，底面边数至少为3，故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确；
D、若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据多面体和旋转体的定义和特征逐项判断即可.
10．（2024高一下·泸州期中）下列说法不正确的有（ ）
A．或
B．
C．已知，为非零向量，且，则与方向相同
D．若，则与的夹角是钝角
【答案】A,B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A错误；
B、向量为矢量，向量的数量积不满足结合律，故B错误；
C、由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确；
D、当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据向量的数量积定义与性质即可判断ABD；根据向量共线性质即可判断C.
11．（2024高一下·泸州期中）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）
A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减
C．是图象的一个对称中心 D．在区间的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数的最小正周期为，则，解得，故函数解析式为；
A、当时，，，
则是图象的一条对称轴，故A正确；
B、设，当时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C、当时，，，则是图象的一个对称中心，故C正确；
D、设，当时，，而在上单调递减，在上单调递增，又，，则，故在区间的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先由题意求得，将看成整体角，通过代入计算检验即可判断AC；通过给定区间求得的范围，结合函数图象性质即可判断BD.
12．（2024高一下·泸州期中）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若D为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角B的平分线与边相交于点E，且的面积，则的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由，
可得，
则，
即，
因为，所以，故A正确；
B、由为边的中点，则，故，
即，
故，当且仅当时，等号成立，
，故B错误；
C、，
又是锐角三角形，则，故，
则，故，故C正确；
D、由题意得，
即，
整理得，即，且，
故，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算即可判断A；根据向量数量积公式与基本不等式即可判断B；根据正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可判断C；利用等面积法及基本不等式计算即可判断D.
13．（2024高一下·泸州期中）水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为 ．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法的原则，
由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，，
所以，所以，
故边上中线长为.
故答案为：2.5.
【分析】由已知条件中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，再根据勾股定理求出斜边的长，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得边上的中线的实际长度．
14．（2024高一下·泸州期中）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 （用坐标表示）．
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量方向上的投影向量为，
由，，可得，
故向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用数量积求投影向量的方法，从而得出向量在向量方向上的投影向量为，代入坐标计算得出向量在向量方向上的投影向量的坐标.
15．（2024高一下·泸州期中）如图，在中，，是边上一点，，，，则 .
【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得，
因为，所以，
在中，由正弦定理可得，则.
故答案为：.
【分析】在中，先利用余弦定理得到，从而得到，再利用正弦定理求解即可.
16．（2024高一下·泸州期中）设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：作出函数，的大致图象如图，
令，，解得，，
则函数的图象与直线连续的三个公共点为，，，
（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）
即，关于直线，对称，
则，
因为，故，
又因为，关于直线，对称，
故点横坐标为，
将点横坐标代入，
得．
故答案为：.
【分析】利用已知条件作出正弦型三角函数的图象，再利用其对称性和周期性求出点的横坐标，代入计算得出正实数的值.
17．（2024高一下·泸州期中）已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：易知，
因为，所以，得，
则，所以；
（2）解：由已知，因为，，
所以，得，则，，
故．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即可；
（2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即可.
（1）由题意，
因为，则，得，
则，所以；
（2）由已知，又，，
所以，得，
则，，
故．
18．（2024高一下·泸州期中）已知函数．
x
（1）用五点作图法作出在一个周期上的图象（完成表格后描点连线）；
（2）若且，求的值．
【答案】（1）解：表格如下图：
0
0 2 0 0
（2）解：由，可得，
因为，所以，所以，
则．
【知识点】两角和与差的余弦公式；五点法画三角函数的图象；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）把看成整体角，对其依次赋值，计算出对应的自变量和函数值，完成表格，并根据表格中点的坐标依次描点，连线成图即可；
（2）由化简得，利用角的范围确定的值，只需考虑拆角，利用两角差的余弦公式计算即可.
（1）表格如下图：
0
0 2 0 0
（2）由可得，，
因，则，故，
于是，
．
19．（2024高一下·泸州期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，
又因为，∴，∴，
∵，∴．
（2）解：∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，解得：，
∴的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，计算得出角C的值.
（2）利用已知条件和三角形的面积公式得出ab的值，再利用余弦定理计算得出a+b的值，根据三角形的周长公式得出的周长.
（1）由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，又，∴，∴，
∵，∴．
（2）∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，解得：，
∴的周长为．
20．（2024高一下·泸州期中）已知向量，，．
（1）求函数的解析式及在区间的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：，
由，，得，，
即函数的单调递增区间为，
因为，所以当时，，当时，，
所以在区间上的单调递增区间为和
（2）解：当时，取，作出函数的图象，如图所示：
因函数在区间上有且只有两个零点，
即函数在上有且仅有两个零点，
由图，需使，解得，
即的取值范围为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由向量的数量积的坐标公式，利用三角恒等变换得出函数解析式，求得函数的递增区间，结合给定范围求解即可；
（2）取，由得，结合的图象，由题意得到，求解即可.
（1），
由，，得，，
即函数的单调递增区间为．
∵，当时，，当时，
所以在区间上的单调递增区间为和.
（2）当时，取，作出函数的图象.
因函数在区间上有且只有两个零点，
即函数在上有且仅有两个零点，
由图，需使，解得，
即的取值范围为．
21．（2024高一下·泸州期中）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，在D处测得．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）
（1）求A，C两处景点之间的距离；
（2）栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
【答案】（1）解：由已知在中，，，，
所以，则为等腰三角形，则，
在中，，，，
则，
由正弦定理，即，解得，
在中，，，
由余弦定理，
即A，C两处景点之间的距离为；
（2）解：在中，，
在中，因为，
所以，
由正弦定理，
即，得，
所以
，
即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直.
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件利用正弦余弦定理求解即可；
（2）在和中利用正弦余弦定理求解，再计算是否为零即可.
（1）由已知在中，，，，
所以，则为等腰三角形，
则，
在中，，，，
则，
由正弦定理，即，解得，
在中，，，
由余弦定理，
即A，C两处景点之间的距离为；
（2）在中，，
在中，因为，
所以，
由正弦定理，
即，得，
所以
，
即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直.
22．（2024高一下·泸州期中）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求.
（2）若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围.
（3）若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，所以，
由，可得，
即，所以.
由正弦定理可得，
则，
得，
则或（舍去），
所以.
（2）解：设，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以.
的面积
，
因为，所以，
则，
故面积的取值范围为.
（3）解：因为，
所以，
则，
即，
又因为是定值，
所以是定值，
所以，
因为为的内角，
所以，
故的值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数基本关系式得出角B的值，再利用余弦定理和正弦定理以及三角形内角和定理，从而计算得出角C的值.
（2）设，根据正弦定理可得、，从而得出的面积为，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，以及三角型函数的图象求值域的方法，从而得出面积的取值范围.
（3）利用三角恒等变换化简计算可得，则是定值，即，解之得出角的值.
（1），由正弦定理得.
因为，所以.因为，所以.
由，可得，即，所以.
由正弦定理可得，则，
得，则或（舍去），
所以.
（2）设，在中，由正弦定理得，
所以.
在中，由正弦定理得，
所以.
的面积
.
因为，所以，
则，故面积的取值范围为.
（3）因为，
所以，
则，
即.
又是定值，所以是定值，
所以，因为为的内角，
所以，
故的值为.
1 / 1四川省泸州高级中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·泸州期中）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·泸州期中）为了得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．（2024高一下·泸州期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（ ）
A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45°
4．（2024高一下·泸州期中）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．5
5．（2024高一下·泸州期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·泸州期中）已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2024高一下·泸州期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．（2024高一下·泸州期中）已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
9．（2024高一下·泸州期中）下面关于空间几何体叙述正确的有（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
C．一个棱台最少有5个面
D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
10．（2024高一下·泸州期中）下列说法不正确的有（ ）
A．或
B．
C．已知，为非零向量，且，则与方向相同
D．若，则与的夹角是钝角
11．（2024高一下·泸州期中）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）
A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减
C．是图象的一个对称中心 D．在区间的值域为
12．（2024高一下·泸州期中）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若D为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角B的平分线与边相交于点E，且的面积，则的最大值为
13．（2024高一下·泸州期中）水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为 ．
14．（2024高一下·泸州期中）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 （用坐标表示）．
15．（2024高一下·泸州期中）如图，在中，，是边上一点，，，，则 .
16．（2024高一下·泸州期中）设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为 .
17．（2024高一下·泸州期中）已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
18．（2024高一下·泸州期中）已知函数．
x
（1）用五点作图法作出在一个周期上的图象（完成表格后描点连线）；
（2）若且，求的值．
19．（2024高一下·泸州期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
20．（2024高一下·泸州期中）已知向量，，．
（1）求函数的解析式及在区间的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
21．（2024高一下·泸州期中）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，在D处测得．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）
（1）求A，C两处景点之间的距离；
（2）栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
22．（2024高一下·泸州期中）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求.
（2）若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围.
（3）若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式和两角差的余弦公式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，则只要将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
3．【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理，，
可得，
又因为，所以，则角为135°或45°.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角即可.
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角终边经过点，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据任意角的三角函数的定义，结合两角差的正切公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、易知E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，
则，故A正确；
B、由图可知，，，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，且，的夹角为， 易知，
则，
即.
故答案为：D.
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合向量的数量积运算求解即可.
7．【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，可得，
由余弦定理得，化简得，
当时，，为直角三角形；
当时，，为等腰三角形，
综上：为等腰或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用余弦定理将化简为，从而判断三角形形状即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意令，，，
，
因为，
所以，即，
，则，
则，即的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，向量的坐标满足方，结合向量的数量积公式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：A、根据圆柱的定义可知，母线均与圆柱的轴平行，则其长度都相等，故A正确；
B、只有底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时，才是正四棱锥，故B错误；
C、根据棱台的定义知，底面边数至少为3，故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面，即五个平面，故C正确；
D、若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台，则截面将不是圆面，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据多面体和旋转体的定义和特征逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A、由，可得，故A错误；
B、向量为矢量，向量的数量积不满足结合律，故B错误；
C、由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确；
D、当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据向量的数量积定义与性质即可判断ABD；根据向量共线性质即可判断C.
11．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数的最小正周期为，则，解得，故函数解析式为；
A、当时，，，
则是图象的一条对称轴，故A正确；
B、设，当时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C、当时，，，则是图象的一个对称中心，故C正确；
D、设，当时，，而在上单调递减，在上单调递增，又，，则，故在区间的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先由题意求得，将看成整体角，通过代入计算检验即可判断AC；通过给定区间求得的范围，结合函数图象性质即可判断BD.
12．【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由，
可得，
则，
即，
因为，所以，故A正确；
B、由为边的中点，则，故，
即，
故，当且仅当时，等号成立，
，故B错误；
C、，
又是锐角三角形，则，故，
则，故，故C正确；
D、由题意得，
即，
整理得，即，且，
故，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算即可判断A；根据向量数量积公式与基本不等式即可判断B；根据正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可判断C；利用等面积法及基本不等式计算即可判断D.
13．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法的原则，
由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，，
所以，所以，
故边上中线长为.
故答案为：2.5.
【分析】由已知条件中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，再根据勾股定理求出斜边的长，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得边上的中线的实际长度．
14．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量方向上的投影向量为，
由，，可得，
故向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】利用数量积求投影向量的方法，从而得出向量在向量方向上的投影向量为，代入坐标计算得出向量在向量方向上的投影向量的坐标.
15．【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得，
因为，所以，
在中，由正弦定理可得，则.
故答案为：.
【分析】在中，先利用余弦定理得到，从而得到，再利用正弦定理求解即可.
16．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：作出函数，的大致图象如图，
令，，解得，，
则函数的图象与直线连续的三个公共点为，，，
（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）
即，关于直线，对称，
则，
因为，故，
又因为，关于直线，对称，
故点横坐标为，
将点横坐标代入，
得．
故答案为：.
【分析】利用已知条件作出正弦型三角函数的图象，再利用其对称性和周期性求出点的横坐标，代入计算得出正实数的值.
17．【答案】（1）解：易知，
因为，所以，得，
则，所以；
（2）解：由已知，因为，，
所以，得，则，，
故．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即可；
（2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即可.
（1）由题意，
因为，则，得，
则，所以；
（2）由已知，又，，
所以，得，
则，，
故．
18．【答案】（1）解：表格如下图：
0
0 2 0 0
（2）解：由，可得，
因为，所以，所以，
则．
【知识点】两角和与差的余弦公式；五点法画三角函数的图象；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）把看成整体角，对其依次赋值，计算出对应的自变量和函数值，完成表格，并根据表格中点的坐标依次描点，连线成图即可；
（2）由化简得，利用角的范围确定的值，只需考虑拆角，利用两角差的余弦公式计算即可.
（1）表格如下图：
0
0 2 0 0
（2）由可得，，
因，则，故，
于是，
．
19．【答案】（1）解：由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，
又因为，∴，∴，
∵，∴．
（2）解：∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，解得：，
∴的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，计算得出角C的值.
（2）利用已知条件和三角形的面积公式得出ab的值，再利用余弦定理计算得出a+b的值，根据三角形的周长公式得出的周长.
（1）由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，又，∴，∴，
∵，∴．
（2）∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，解得：，
∴的周长为．
20．【答案】（1）解：，
由，，得，，
即函数的单调递增区间为，
因为，所以当时，，当时，，
所以在区间上的单调递增区间为和
（2）解：当时，取，作出函数的图象，如图所示：
因函数在区间上有且只有两个零点，
即函数在上有且仅有两个零点，
由图，需使，解得，
即的取值范围为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由向量的数量积的坐标公式，利用三角恒等变换得出函数解析式，求得函数的递增区间，结合给定范围求解即可；
（2）取，由得，结合的图象，由题意得到，求解即可.
（1），
由，，得，，
即函数的单调递增区间为．
∵，当时，，当时，
所以在区间上的单调递增区间为和.
（2）当时，取，作出函数的图象.
因函数在区间上有且只有两个零点，
即函数在上有且仅有两个零点，
由图，需使，解得，
即的取值范围为．
21．【答案】（1）解：由已知在中，，，，
所以，则为等腰三角形，则，
在中，，，，
则，
由正弦定理，即，解得，
在中，，，
由余弦定理，
即A，C两处景点之间的距离为；
（2）解：在中，，
在中，因为，
所以，
由正弦定理，
即，得，
所以
，
即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直.
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件利用正弦余弦定理求解即可；
（2）在和中利用正弦余弦定理求解，再计算是否为零即可.
（1）由已知在中，，，，
所以，则为等腰三角形，
则，
在中，，，，
则，
由正弦定理，即，解得，
在中，，，
由余弦定理，
即A，C两处景点之间的距离为；
（2）在中，，
在中，因为，
所以，
由正弦定理，
即，得，
所以
，
即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直.
22．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，所以，
由，可得，
即，所以.
由正弦定理可得，
则，
得，
则或（舍去），
所以.
（2）解：设，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以.
的面积
，
因为，所以，
则，
故面积的取值范围为.
（3）解：因为，
所以，
则，
即，
又因为是定值，
所以是定值，
所以，
因为为的内角，
所以，
故的值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数基本关系式得出角B的值，再利用余弦定理和正弦定理以及三角形内角和定理，从而计算得出角C的值.
（2）设，根据正弦定理可得、，从而得出的面积为，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，以及三角型函数的图象求值域的方法，从而得出面积的取值范围.
（3）利用三角恒等变换化简计算可得，则是定值，即，解之得出角的值.
（1），由正弦定理得.
因为，所以.因为，所以.
由，可得，即，所以.
由正弦定理可得，则，
得，则或（舍去），
所以.
（2）设，在中，由正弦定理得，
所以.
在中，由正弦定理得，
所以.
的面积
.
因为，所以，
则，故面积的取值范围为.
（3）因为，
所以，
则，
即.
又是定值，所以是定值，
所以，因为为的内角，
所以，
故的值为.
1 / 1
