【精品解析】广东省广州市三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

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名称 【精品解析】广东省广州市三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-04-17 17:10:35

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广东省广州市三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
1.(2024高二下·广州期中)若集合,,则是的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解:已知,
又,
所以真包含于,
即由推得出,故充分性成立;
由推不出,故必要性不成立,
所以是的充分不必要条件.
故答案为:A.
【分析】先利用幂函数的值域求出集合,即可得到、的关系,再利用充分条件、必要条件的定义判断即可求解.
2.(2024高二下·广州期中)若,,则(  )
A. B. C.3 D.5
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示;平面向量加、减运算的坐标表示;平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解:由题意可知,
所以,
故答案为:B
【分析】利用向量线性运算的坐标计算公式可得,再数量积的坐标表示直接计算即可求解.
3.(2024高二下·广州期中)定义:对于定义域内的任意一个自变量的值,都存在唯一一个使得成立,则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解:A、,由,
当时,则不存在满足情况,故函数不是正积函数;
B、,由,
则任意一个自变量的值,都存在唯一一个满足,故函数是正积函数;
C、,
由,
得,当时,,则不唯一,
故函数不是正积函数;
D、,由,
当时,则不存在满足情况,故函数不是正积函数.
故答案为:B.
【分析】利用“正积函数”的定义结合对数和指数的运算性质逐项判断即可求解.
4.(2024高二下·广州期中)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的离心率是
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式;双曲线的简单性质
【解析】【解答】解:,所以,即,
故选答案为:A.
【分析】利用点到直线的距离公式结合双曲线的几何性质即可求解.
5.(2024高二下·广州期中)已知函数为偶函数,其图像在点处的切线方程为,记的导函数为,则(  )
A. B. C. D.2
【答案】A
【知识点】导数的几何意义;导数的四则运算;简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解: 函数在点处的切线方程为,则,
因为函数为偶函数,所以,,,则,故.
故答案为:A.
【分析】由函数的切线为,求得,再利用函数的奇偶性求即可.
6.(2024高二下·广州期中)某一地区患有癌症的人占0.05,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】全概率公式;条件概率
【解析】【解答】解:记某人是癌症患者的事件为A;化验结果呈阳性的事件为B,
易知,,,
则,
现在某人的化验结果呈阳性,则此人是癌症患者的概率为:.
故答案为:D.
【分析】先记事件,再利用全概率公式求出的值,最后利用条件概率公式求解即可.
7.(2024高二下·广州期中)已知数列满足,则(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示;等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为,
所以当时,,
两式相减得,
所以,
又因为也适合该式,
故,
所以为等比数列,
所以。
故答案为:C
【分析】利用,得出当时,,两式相减得出时的数列 的通项公式,再利用代入法得出也适合该通项公式,进而得出当时的数列的通项公式,再利用等比数列的定义判断出数列 为等比数列,再结合等比数列前n项和公式得出的值。
8.(2024高二下·广州期中)已知中,,,且的最小值为,若P为边AB上任意一点,则的最小值是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理;平面向量的线性运算;平面向量的数量积运算;向量在几何中的应用
【解析】【解答】解:设,故,
若,
由,则,,共线,故,
由图得,当时有最小值,如图所示:
又,
∴,即,
即为等边三角形.
由余弦定理,,
设M为BC中点,,
∴当取最小值时,有最小值,
∵为边上任意一点,
∴当时,有最小值,
设,过点作于点,则,
又,为的中位线,
∴,即,
∴.
故答案为:B.
【分析】设,利用平面向量共面基本定理可得、、三点共线,进而可得的最小值为到边上的高,根据几何关系求出,将化成,通过几何关系求出的最小值即可.
9.(2024高二下·广州期中)若复数满足,则下列命题正确的有(  )
A.的虚部是-1 B.
C. D.是方程的一个根
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算;复数的模
【解析】【解答】解:由,可得,
A、虚部是,故A正确;
B、,则,故B正确;
C、,故C错误;
D、若是的根,则成立,故D正确.
故答案为:ABD.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简求得复数z,再根据复数的概念即可判断A;求模即可判断B;根据复数代数形式的乘法运算求解即可判断C;若是方程的根,需满足即可判断D.
10.(2024高二下·广州期中)在正方体中,是线段上一点,则的大小可以为(  )
A. B. C. D.
【答案】B,D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示:
设正方体的棱长为,
则、、、,
设点,其中,则,,
所以,,
当时,,则,则,
所以,,
因为,所以,,
故答案为:BD.
【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为,设点,其中,利用空间向量法即可求解.
11.(2024高二下·广州期中)已知 的三个内角 , , 满足 ,则下列结论正确的是(  )
A. 是钝角三角形 B.
C.角 的最大值为 D.角 的最大值为
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正切公式;正弦定理;余弦定理
【解析】【解答】A. 由题得 ,所以 是钝角三角形,故该选项正确;
B. 由题得 是最大角,所以 ,假设 ,所以 ,所以该选项正确;
C.由题得 所以 ,因为 ,所以角 的最大值为 ,所以该选项正确;
D. 由已知得
所以 ,
当 时 , .所以该选项错误.
故答案为:ABC
【分析】 A选项,利用已知条件,运用正弦定理,可得cosC < 0,即可求解;B选项,结合c为△ABC的最大边,以及正弦定理做等量变换,即可求解;C选项,运用余弦定理,以及均值不等式,即可求解;D选项,对原式利用三角函数的两角和公式,可得tanC =- 3tan A,再运用正切函数的两角和公式,可得tan B的表达式,最后对C取特殊值,即可解答.
12.(2024高二下·广州期中) 的展开式中 的系数为     (用数字作答).
【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解:(x+y)8的通项公式为,
①当8-r=2,即r=6时, 展开式中 项为,
②当8-r=3,即r=5时, 展开式中 项为,
则展开式中 项为,
故答案为:-28
【分析】由二项式定理,分类讨论求解即可.
13.(2024高二下·广州期中)春节文艺汇演中需要将A,B,C,D,E,F六个节目进行排序,若A,B两个节目必须相邻,且都不能排在3号位置,则不同的排序方式有   种.
【答案】144
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:将A,B捆绑,则AB的位置可以在12或45或56,共有种可能,
再将剩余节目排序,有种可能,
所以不同的排序方式有(种).
故答案为:144.
【分析】将A,B捆绑,确定AB的位置有3种可能,再将剩余节目全排,再利用分布乘法计数原理即可求解.
14.(2024高二下·广州期中)设直线,一束光线从原点出发沿射线向直线射出,经反射后与轴交于点,再次经轴反射后与轴交于点.若,则的值为   .
【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标;平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解:设点关于的对称点为,如图所示:
则,解得,故,
设,
因为,所以,
则,则,
设点关于轴的对称点为,
则直线的方程为,
由对称性可得在直线上,即,
解得,
故直线的方程为,
联立直线与直线,
,解得,
所以,将代入中,
.
故答案为:.
【分析】先利用点关于直线的对称求出点关于的对称点,设,则,再利用求出关于轴的对称点为,再利用直线的截距式方程求出表达出直线的方程,由对称性可得在直线上,代入方程,求出,求出直线的方程,联立直线与直线,求出,即可求解.
15.(2024高二下·广州期中)为铭记历史,缅怀先烈,增强爱国主义情怀,某学校开展了共青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题,每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为,甲、丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率;
(2)若规定三名同学抢答这个问题,已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为,求这个问题回答正确的概率.
【答案】(1)解:设乙答题正确的概率为,丙答题正确的概率为,
则甲、丙两人都回答正确的概率是,解得,
乙、丙两人都回答正确的概率是,解得,
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率;
(2)解:记事件=“甲抢答这道题”,事件=“乙抢答这道题”,事件=“丙抢答这道题”,
事件B=“这道题被答对”,
由题意可得:,,,且,,,
由全概率公式可得:.
【知识点】互斥事件与对立事件;相互独立事件的概率乘法公式;全概率公式
【解析】【分析】(1)设乙答题正确的概率为,丙答题正确的概率为,先根据相互独立事件的概率公式求出、,再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算即可;
(2)先记事件,根据全概率公式求概率即可.
(1)设乙答题正确的概率为,丙答题正确的概率为,
则甲、丙两人都回答正确的概率是,解得,
乙、丙两人都回答正确的概率是,解得,
所以规定三名同学都需要回答这个问题,
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
(2)记事件为“甲抢答这道题”,事件为“乙抢答这道题”,事件为“丙抢答这道题”,记事件B为“这道题被答对”,
则,,,
且,,,
由全概率公式可得.
16.(2024高二下·广州期中)已知函数.
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)试讨论函数的单调性.
【答案】(1)解:由题意可得:,
若在上单调递增,则在上恒成立,
且,则,
且在上单调递增,
当时,取得最小值,
可得,即,
所以的取值范围.
(2)解:由(1)可得:,且,
当,即时,则,
所以在上单调递增;
当,即时,
令,解得或;令,解得;
所以在,上单调递增,在内单调递减;
综上所述:当时,所以在上单调递增;
当时,所以在,上单调递增,在内单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先求导可得在上恒成立,再利用二次函数的性质即可求解;
(2)由(1)可得,分和两种情况,利用导数和函数的单调性结合二次不等式即可求解.
(1)由题意可得:,
若在上单调递增,则在上恒成立,
且,则,
且在上单调递增,
当时,取得最小值,
可得,即,
所以的取值范围.
(2)由(1)可得:,且,
当,即时,则,
所以在上单调递增;
当,即时,
令,解得或;令,解得;
所以在,上单调递增,在内单调递减;
综上所述:当时,所以在上单调递增;
当时,所以在,上单调递增,在内单调递减.
17.(2024高二下·广州期中)如图,在直四棱柱中,四边形ABCD为梯形,,,,,点E在线段AB上,且,F为BC的中点.
(1)求证:平面;
(2)若直线与平面ABCD所成角的大小为45°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明:由题意可得,又平面,平面,∴平面.
连接CE,∵且,∴四边形ADCE为平行四边形,则,
又平面,平面,∴平面.
又且,平面,
∴平面平面.
又平面,∴平面.
(2)解:连接DE,由题意可得为等边三角形,故,
由平面ABCD可得为直线与平面ABCD所成的角,故,则.
以D为坐标原点,DC,所在直线分别为y,z轴,过D且垂直于平面的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图所示:
则,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得,
则,
由图可知二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)先利用直四棱柱的结构特征可得,再利用线面平行的判定定理可得平面,同理可得平面,再利用面面平行的性质定理即可证明;
(2)先根据直线与平面ABCD所成角的大小为45°求出,再建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量分别为,,再利用向量的夹角公式即可得出结论.
(1)由题意可得,又平面,平面,
∴平面.
连接CE,∵且,∴四边形ADCE为平行四边形,则,
又平面,平面,∴平面.
又且,平面,
∴平面平面.
又平面,∴平面.
(2)连接DE,由题意可得为等边三角形,故,
由平面ABCD可得为直线与平面ABCD所成的角,故,则.
以D为坐标原点,DC,所在直线分别为y,z轴,过D且垂直于平面的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得,
则,
由图可知二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为.
18.(2024高二下·广州期中)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为,离心率为.过点作直线与椭圆相交于点.若是椭圆的短轴端点时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断是否存在,使得成等差数列?若存在,求出直线的方程:若不存在,说明理由.
【答案】(1)解:由题意知:,即,
当为椭圆的短轴端点时,不妨设,则,,
,又,,解得:,
,,椭圆的标准方程为.
(2)解:假设存在直线,使得成等差数列;
由题意知:直线的斜率存在,设,
由得:,
则,解得:,
设,则,,
,,
同理可得:,

又,,整理得:,
由得:,,
即无解,不存在符合题意的直线.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用离心率可得、再利用向量数量积坐标运算可得再结合椭圆关系即可求解;
(2)假设存在满足题意的直线,与椭圆方程联立,由可得的范围,并得到韦达定理的结论;利用两点间距离公式可表示出,根据等差数列定义可构造关于的方程,结合的范围可知方程无解,由此可得结论.
(1)由题意知:,即,
当为椭圆的短轴端点时,不妨设,则,,
,又,,解得:,
,,椭圆的标准方程为.
(2)假设存在直线,使得成等差数列;
由题意知:直线的斜率存在,设,
由得:,
则,解得:,
设,则,,
,,
同理可得:,

又,,整理得:,
由得:,,
即无解,不存在符合题意的直线.
19.(2024高二下·广州期中)基本不等式可以推广到一般的情形:对于个正数,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当时,等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质:①;②为单调数列,则称数列具有性质.
(1)若,求数列的最小项;
(2)若,记,判断数列是否具有性质,并说明理由;
(3)若,求证:数列具有性质.
【答案】(1)解:,当且仅当,即时,等号成立,
数列的最小项为.
(2)解:数列具有性质.


数列满足条件①.
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
(3)证明:先证数列满足条件①:

当时,
则,
数列满足条件①.
再证数列满足条件②:
(,等号取不到)
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
【知识点】基本不等式;数列的函数特性;数列的求和
【解析】【分析】(1)利用,利用三个数的算术平均不小于它们的几何平均当且仅当等号成立即可求解;
(2)变形,再利用等比数列求和证明性质①,利用证明②;
(3)利用二项式定理及n元基本不等式即可求解.
(1),当且仅当,即时,等号成立,
数列的最小项为.
(2)数列具有性质.


数列满足条件①.
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
(3)先证数列满足条件①:

当时,
则,
数列满足条件①.
再证数列满足条件②:
(,等号取不到)
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
1 / 1广东省广州市三校(广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学)2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
1.(2024高二下·广州期中)若集合,,则是的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2024高二下·广州期中)若,,则(  )
A. B. C.3 D.5
3.(2024高二下·广州期中)定义:对于定义域内的任意一个自变量的值,都存在唯一一个使得成立,则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是(  )
A. B. C. D.
4.(2024高二下·广州期中)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的离心率是
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(2024高二下·广州期中)已知函数为偶函数,其图像在点处的切线方程为,记的导函数为,则(  )
A. B. C. D.2
6.(2024高二下·广州期中)某一地区患有癌症的人占0.05,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率为(  )
A. B. C. D.
7.(2024高二下·广州期中)已知数列满足,则(  )
A. B.
C. D.
8.(2024高二下·广州期中)已知中,,,且的最小值为,若P为边AB上任意一点,则的最小值是(  )
A. B. C. D.
9.(2024高二下·广州期中)若复数满足,则下列命题正确的有(  )
A.的虚部是-1 B.
C. D.是方程的一个根
10.(2024高二下·广州期中)在正方体中,是线段上一点,则的大小可以为(  )
A. B. C. D.
11.(2024高二下·广州期中)已知 的三个内角 , , 满足 ,则下列结论正确的是(  )
A. 是钝角三角形 B.
C.角 的最大值为 D.角 的最大值为
12.(2024高二下·广州期中) 的展开式中 的系数为     (用数字作答).
13.(2024高二下·广州期中)春节文艺汇演中需要将A,B,C,D,E,F六个节目进行排序,若A,B两个节目必须相邻,且都不能排在3号位置,则不同的排序方式有   种.
14.(2024高二下·广州期中)设直线,一束光线从原点出发沿射线向直线射出,经反射后与轴交于点,再次经轴反射后与轴交于点.若,则的值为   .
15.(2024高二下·广州期中)为铭记历史,缅怀先烈,增强爱国主义情怀,某学校开展了共青团知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题,每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为,甲、丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率;
(2)若规定三名同学抢答这个问题,已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为,求这个问题回答正确的概率.
16.(2024高二下·广州期中)已知函数.
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)试讨论函数的单调性.
17.(2024高二下·广州期中)如图,在直四棱柱中,四边形ABCD为梯形,,,,,点E在线段AB上,且,F为BC的中点.
(1)求证:平面;
(2)若直线与平面ABCD所成角的大小为45°,求二面角的余弦值.
18.(2024高二下·广州期中)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为,离心率为.过点作直线与椭圆相交于点.若是椭圆的短轴端点时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断是否存在,使得成等差数列?若存在,求出直线的方程:若不存在,说明理由.
19.(2024高二下·广州期中)基本不等式可以推广到一般的情形:对于个正数,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当时,等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质:①;②为单调数列,则称数列具有性质.
(1)若,求数列的最小项;
(2)若,记,判断数列是否具有性质,并说明理由;
(3)若,求证:数列具有性质.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解:已知,
又,
所以真包含于,
即由推得出,故充分性成立;
由推不出,故必要性不成立,
所以是的充分不必要条件.
故答案为:A.
【分析】先利用幂函数的值域求出集合,即可得到、的关系,再利用充分条件、必要条件的定义判断即可求解.
2.【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示;平面向量加、减运算的坐标表示;平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解:由题意可知,
所以,
故答案为:B
【分析】利用向量线性运算的坐标计算公式可得,再数量积的坐标表示直接计算即可求解.
3.【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用;含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解:A、,由,
当时,则不存在满足情况,故函数不是正积函数;
B、,由,
则任意一个自变量的值,都存在唯一一个满足,故函数是正积函数;
C、,
由,
得,当时,,则不唯一,
故函数不是正积函数;
D、,由,
当时,则不存在满足情况,故函数不是正积函数.
故答案为:B.
【分析】利用“正积函数”的定义结合对数和指数的运算性质逐项判断即可求解.
4.【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式;双曲线的简单性质
【解析】【解答】解:,所以,即,
故选答案为:A.
【分析】利用点到直线的距离公式结合双曲线的几何性质即可求解.
5.【答案】A
【知识点】导数的几何意义;导数的四则运算;简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解: 函数在点处的切线方程为,则,
因为函数为偶函数,所以,,,则,故.
故答案为:A.
【分析】由函数的切线为,求得,再利用函数的奇偶性求即可.
6.【答案】D
【知识点】全概率公式;条件概率
【解析】【解答】解:记某人是癌症患者的事件为A;化验结果呈阳性的事件为B,
易知,,,
则,
现在某人的化验结果呈阳性,则此人是癌症患者的概率为:.
故答案为:D.
【分析】先记事件,再利用全概率公式求出的值,最后利用条件概率公式求解即可.
7.【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示;等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为,
所以当时,,
两式相减得,
所以,
又因为也适合该式,
故,
所以为等比数列,
所以。
故答案为:C
【分析】利用,得出当时,,两式相减得出时的数列 的通项公式,再利用代入法得出也适合该通项公式,进而得出当时的数列的通项公式,再利用等比数列的定义判断出数列 为等比数列,再结合等比数列前n项和公式得出的值。
8.【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理;平面向量的线性运算;平面向量的数量积运算;向量在几何中的应用
【解析】【解答】解:设,故,
若,
由,则,,共线,故,
由图得,当时有最小值,如图所示:
又,
∴,即,
即为等边三角形.
由余弦定理,,
设M为BC中点,,
∴当取最小值时,有最小值,
∵为边上任意一点,
∴当时,有最小值,
设,过点作于点,则,
又,为的中位线,
∴,即,
∴.
故答案为:B.
【分析】设,利用平面向量共面基本定理可得、、三点共线,进而可得的最小值为到边上的高,根据几何关系求出,将化成,通过几何关系求出的最小值即可.
9.【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算;复数的模
【解析】【解答】解:由,可得,
A、虚部是,故A正确;
B、,则,故B正确;
C、,故C错误;
D、若是的根,则成立,故D正确.
故答案为:ABD.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简求得复数z,再根据复数的概念即可判断A;求模即可判断B;根据复数代数形式的乘法运算求解即可判断C;若是方程的根,需满足即可判断D.
10.【答案】B,D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示:
设正方体的棱长为,
则、、、,
设点,其中,则,,
所以,,
当时,,则,则,
所以,,
因为,所以,,
故答案为:BD.
【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为,设点,其中,利用空间向量法即可求解.
11.【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正切公式;正弦定理;余弦定理
【解析】【解答】A. 由题得 ,所以 是钝角三角形,故该选项正确;
B. 由题得 是最大角,所以 ,假设 ,所以 ,所以该选项正确;
C.由题得 所以 ,因为 ,所以角 的最大值为 ,所以该选项正确;
D. 由已知得
所以 ,
当 时 , .所以该选项错误.
故答案为:ABC
【分析】 A选项,利用已知条件,运用正弦定理,可得cosC < 0,即可求解;B选项,结合c为△ABC的最大边,以及正弦定理做等量变换,即可求解;C选项,运用余弦定理,以及均值不等式,即可求解;D选项,对原式利用三角函数的两角和公式,可得tanC =- 3tan A,再运用正切函数的两角和公式,可得tan B的表达式,最后对C取特殊值,即可解答.
12.【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解:(x+y)8的通项公式为,
①当8-r=2,即r=6时, 展开式中 项为,
②当8-r=3,即r=5时, 展开式中 项为,
则展开式中 项为,
故答案为:-28
【分析】由二项式定理,分类讨论求解即可.
13.【答案】144
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解:将A,B捆绑,则AB的位置可以在12或45或56,共有种可能,
再将剩余节目排序,有种可能,
所以不同的排序方式有(种).
故答案为:144.
【分析】将A,B捆绑,确定AB的位置有3种可能,再将剩余节目全排,再利用分布乘法计数原理即可求解.
14.【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标;平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解:设点关于的对称点为,如图所示:
则,解得,故,
设,
因为,所以,
则,则,
设点关于轴的对称点为,
则直线的方程为,
由对称性可得在直线上,即,
解得,
故直线的方程为,
联立直线与直线,
,解得,
所以,将代入中,
.
故答案为:.
【分析】先利用点关于直线的对称求出点关于的对称点,设,则,再利用求出关于轴的对称点为,再利用直线的截距式方程求出表达出直线的方程,由对称性可得在直线上,代入方程,求出,求出直线的方程,联立直线与直线,求出,即可求解.
15.【答案】(1)解:设乙答题正确的概率为,丙答题正确的概率为,
则甲、丙两人都回答正确的概率是,解得,
乙、丙两人都回答正确的概率是,解得,
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率;
(2)解:记事件=“甲抢答这道题”,事件=“乙抢答这道题”,事件=“丙抢答这道题”,
事件B=“这道题被答对”,
由题意可得:,,,且,,,
由全概率公式可得:.
【知识点】互斥事件与对立事件;相互独立事件的概率乘法公式;全概率公式
【解析】【分析】(1)设乙答题正确的概率为,丙答题正确的概率为,先根据相互独立事件的概率公式求出、,再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算即可;
(2)先记事件,根据全概率公式求概率即可.
(1)设乙答题正确的概率为,丙答题正确的概率为,
则甲、丙两人都回答正确的概率是,解得,
乙、丙两人都回答正确的概率是,解得,
所以规定三名同学都需要回答这个问题,
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
(2)记事件为“甲抢答这道题”,事件为“乙抢答这道题”,事件为“丙抢答这道题”,记事件B为“这道题被答对”,
则,,,
且,,,
由全概率公式可得.
16.【答案】(1)解:由题意可得:,
若在上单调递增,则在上恒成立,
且,则,
且在上单调递增,
当时,取得最小值,
可得,即,
所以的取值范围.
(2)解:由(1)可得:,且,
当,即时,则,
所以在上单调递增;
当,即时,
令,解得或;令,解得;
所以在,上单调递增,在内单调递减;
综上所述:当时,所以在上单调递增;
当时,所以在,上单调递增,在内单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先求导可得在上恒成立,再利用二次函数的性质即可求解;
(2)由(1)可得,分和两种情况,利用导数和函数的单调性结合二次不等式即可求解.
(1)由题意可得:,
若在上单调递增,则在上恒成立,
且,则,
且在上单调递增,
当时,取得最小值,
可得,即,
所以的取值范围.
(2)由(1)可得:,且,
当,即时,则,
所以在上单调递增;
当,即时,
令,解得或;令,解得;
所以在,上单调递增,在内单调递减;
综上所述:当时,所以在上单调递增;
当时,所以在,上单调递增,在内单调递减.
17.【答案】(1)证明:由题意可得,又平面,平面,∴平面.
连接CE,∵且,∴四边形ADCE为平行四边形,则,
又平面,平面,∴平面.
又且,平面,
∴平面平面.
又平面,∴平面.
(2)解:连接DE,由题意可得为等边三角形,故,
由平面ABCD可得为直线与平面ABCD所成的角,故,则.
以D为坐标原点,DC,所在直线分别为y,z轴,过D且垂直于平面的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图所示:
则,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得,
则,
由图可知二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角;用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)先利用直四棱柱的结构特征可得,再利用线面平行的判定定理可得平面,同理可得平面,再利用面面平行的性质定理即可证明;
(2)先根据直线与平面ABCD所成角的大小为45°求出,再建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量分别为,,再利用向量的夹角公式即可得出结论.
(1)由题意可得,又平面,平面,
∴平面.
连接CE,∵且,∴四边形ADCE为平行四边形,则,
又平面,平面,∴平面.
又且,平面,
∴平面平面.
又平面,∴平面.
(2)连接DE,由题意可得为等边三角形,故,
由平面ABCD可得为直线与平面ABCD所成的角,故,则.
以D为坐标原点,DC,所在直线分别为y,z轴,过D且垂直于平面的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得.
设平面的法向量为,
则,即,
令,得,
则,
由图可知二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为.
18.【答案】(1)解:由题意知:,即,
当为椭圆的短轴端点时,不妨设,则,,
,又,,解得:,
,,椭圆的标准方程为.
(2)解:假设存在直线,使得成等差数列;
由题意知:直线的斜率存在,设,
由得:,
则,解得:,
设,则,,
,,
同理可得:,

又,,整理得:,
由得:,,
即无解,不存在符合题意的直线.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用离心率可得、再利用向量数量积坐标运算可得再结合椭圆关系即可求解;
(2)假设存在满足题意的直线,与椭圆方程联立,由可得的范围,并得到韦达定理的结论;利用两点间距离公式可表示出,根据等差数列定义可构造关于的方程,结合的范围可知方程无解,由此可得结论.
(1)由题意知:,即,
当为椭圆的短轴端点时,不妨设,则,,
,又,,解得:,
,,椭圆的标准方程为.
(2)假设存在直线,使得成等差数列;
由题意知:直线的斜率存在,设,
由得:,
则,解得:,
设,则,,
,,
同理可得:,

又,,整理得:,
由得:,,
即无解,不存在符合题意的直线.
19.【答案】(1)解:,当且仅当,即时,等号成立,
数列的最小项为.
(2)解:数列具有性质.


数列满足条件①.
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
(3)证明:先证数列满足条件①:

当时,
则,
数列满足条件①.
再证数列满足条件②:
(,等号取不到)
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
【知识点】基本不等式;数列的函数特性;数列的求和
【解析】【分析】(1)利用,利用三个数的算术平均不小于它们的几何平均当且仅当等号成立即可求解;
(2)变形,再利用等比数列求和证明性质①,利用证明②;
(3)利用二项式定理及n元基本不等式即可求解.
(1),当且仅当,即时,等号成立,
数列的最小项为.
(2)数列具有性质.


数列满足条件①.
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
(3)先证数列满足条件①:

当时,
则,
数列满足条件①.
再证数列满足条件②:
(,等号取不到)
为单调递增数列,数列满足条件②.
综上,数列具有性质.
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