广东省广州市实验外语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·广州期中）设{正四棱柱}，{直四棱柱}，{长方体}，{直平行六面体}，则四个集合的关系为 ( )
A．MPNQ B．MPQN C．PMNQ D．PMQN
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：直四棱柱包括直平行六面体，直平行六面体包括长方体，长方体包括正四棱柱，
则MPQN.
故答案为：B.
【分析】根据正四棱柱、直四棱柱、长方体、直平行六面体的概念，明确这几种几何体之间的关系，再结合集合的包含关系判断找出四个集合的关系.
2．（2024高一下·广州期中）复数满足为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，又因为为纯虚数，所以且.
故答案为：A．
【分析】利用复数运算法则以及复数的分类求解判断即可.
3．（2024高一下·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，当时，任意向量都与共线，
则不一定共线，故A错误；
对于B，因为向量不能比较大小，故B错误；
对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，故C正确；
对于D，因为零向量有方向，其方向是任意的，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合共线向量、单位向量、零向量的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
4．（2024高一下·广州期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ）
A．9 B． C．18 D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将的直观图还原为原图，如图所示：
由为等腰直角三角形， 且，可得，
则，，
即.
故答案为：D.
【分析】利用斜二测画法将直观图还原为原图，再结合等腰直角三角形的结构特征和三角形的面积公式，从而得出的面积.
5．（2024高一下·广州期中）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为点D在边AB上，，
所以，即，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据已知的几何条件结合平面向量基本定理，从而找出正确的选项．
6．（2024高一下·广州期中）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又因为，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为。
故答案为：C．
【分析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，再利用圆的周长公式结合已知条件得出，再利用圆锥的表面积公式得出圆锥底面圆的半径长，再结合勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积。
7．（2024高一下·广州期中）在中，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，
两式相减可得，
由正弦定理可得，即，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先利用余弦定理的边角变换得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式求解即可.
8．（2024高一下·广州期中）在中，，点是的重心，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：设的中点为，因为点是的重心，
所以，令，
则，，，
则，当且仅当时取等号.
故答案为：B.
【分析】设的中点为， 利用向量点积的性质可以求出边长的比值，最后结合余弦定理求出边长的值，从而找到重心到顶点的距离最小值即可.
9．（2024高一下·广州期中）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则复数对应的点位于第四象限
D．已知复数满足：，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、虚数不能比较大小，B错误；
C、，复数对应的点（-3，4）位于第二象限，C错误；
D、设，，，， 在复平面对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，D正确.
故答案为：ＡＤ.
【分析】AC根据复数的运算法则求解判断，B复数不能比较大小，D设，根据模的运算求得，进而判断.
10．（2024高一下·广州期中）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在，使得
【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、若，则，即，故A正确；
B、易知，，在上的投影向量为，则，因为，所以，故B正确；
C、若与共线，设，所以有，解得，
因为，，∴，所以，故C错误；
D、若成立，则与反向，所以，，
，解得，即有，
则，与矛盾，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可判断A；根据投影向量得到，即可得到即可判断B；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标从而判断C；假设成立，可得到，与矛盾即可判断D.
11．（2024高一下·广州期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为边上的中点，则的最大值为
【答案】C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积定义与物理意义；解三角形
【解析】【解答】解：根据平面向量数量积公式和三角形面积公式，
由，
因为，所以，故A错误；
由选项A可知：，故有两解，故B错误；
若为锐角三角形，
则，且，即，
由正弦定理可知：，故C正确；
若D为边上的中点，
则，
由余弦定理知，
根据基本不等式得出，
当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用平面向量数量积公式和三角形面积公式可判断选项A；利用正弦定理可判断选项B；利用角的取值范围结合正弦定理，则可判断选项C；利用平面向量中线的性质和数量积公式以及余弦定理、基本不等式求最值的方法，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·广州期中）棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为 ．
【答案】11
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】设棱台的高为x，则有 ，解之，得x＝11.
【分析】由已知棱台的底面与截面相似，利用面积比列式，即可求出截得的棱台的高.
13．（2024高一下·广州期中）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
【答案】；
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，如图所示：
则、、、，
，
，，，
，.
故答案为：；.
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，求以及的值即可.
14．（2024高一下·广州期中）如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为 m．
【答案】200
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，
即m，
在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
故填：200
【分析】本题考查解三角形的应用问题，在 中求出的值，求出，在中求即可.
15．（2024高一下·广州期中）已知向量，满足，，且．
（1）若，求实数k的值；
（2）求与的夹角．
【答案】（1）解：因为，，，
所以，解得，
又因为，
所以，解得；
（2）解：，因为，所以，
所以，
又因为，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量的垂直的数量积表示求解即可；
（2）利用向量的数量积运算律和夹角公式求解即可.
（1）因为，，
即，解得：
，
解得：
（2），
，
∴
∵，∴
16．（2024高一下·广州期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若向量，向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求．
【答案】解：（1）因为，所以，
由正弦定理，得，
又，，即，
又因为，所以；
（2）因为，所以，
所以，
，，，
所以
.
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件得到，结合正弦定理得，即可求得角的大小；
（2）用向量来表示向量，根据向量模的平方等于向量的平方，把表示为，从而求的值即可.
17．（2024高一下·广州期中）已知复数，，且．
（1）若且，求的值；
（2）设＝，已知当时，，试求的值．
【答案】（1）解：因为，所以 ，则，
若，则，解得，
又因为，，所以或，解得或；
（2）解：，
当时，，
，，，
＝＝，
.
【知识点】复数相等的充要条件；简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据复数相等的充要条件可得，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）根据三角恒等变换结合条件可得，再根据二倍角公式求解即可.
（1）∵，
∴ ，
∴，
若，则得，
∵，，
∴或，
∴或；
（2）∵
＝，
∵当时，，
∴，，，
∴＝＝，
∴.
18．（2024高一下·广州期中）已知锐角的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，
又由，
因为，可得，
因为，可得，所以，
又因为，所以
（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，
因为，所以，
由三角形面积公式得
又由正弦定理且，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即面积的取值范围为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合B∈(0，π)，可求B的值；
(2)由(1)及已知可求出，利用三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质即可求解出 面积的取值范围.
19．（2024高一下·广州期中）如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．
（1）若，求三角形的面积；
（2）当最小时，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，故，，
由正弦定理得，即，
因为，
所以，，
则的面积为
；
（2）解：设，则，
则在中，，
在中，，
故
，
由于，当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值即取最小值时，，
即此时.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理求得、的长，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）设，利用余弦定理表示出，得的表达式，结合基本不等式确定其最小值即可.
（1）在中，，，故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，
故，
故的面积为
.
（2）设，则，
则在中，，
在中，，
故
，
由于，当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值即取最小值时，，
即此时.
1 / 1广东省广州市实验外语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·广州期中）设{正四棱柱}，{直四棱柱}，{长方体}，{直平行六面体}，则四个集合的关系为 ( )
A．MPNQ B．MPQN C．PMNQ D．PMQN
2．（2024高一下·广州期中）复数满足为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量
D．零向量没有方向
4．（2024高一下·广州期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ）
A．9 B． C．18 D．
5．（2024高一下·广州期中）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·广州期中）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·广州期中）在中，，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（2024高一下·广州期中）在中，，点是的重心，则的最小值是
A． B． C． D．
9．（2024高一下·广州期中）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则复数对应的点位于第四象限
D．已知复数满足：，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10．（2024高一下·广州期中）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在，使得
11．（2024高一下·广州期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为边上的中点，则的最大值为
12．（2024高一下·广州期中）棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为 ．
13．（2024高一下·广州期中）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
14．（2024高一下·广州期中）如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为 m．
15．（2024高一下·广州期中）已知向量，满足，，且．
（1）若，求实数k的值；
（2）求与的夹角．
16．（2024高一下·广州期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若向量，向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求．
17．（2024高一下·广州期中）已知复数，，且．
（1）若且，求的值；
（2）设＝，已知当时，，试求的值．
18．（2024高一下·广州期中）已知锐角的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围.
19．（2024高一下·广州期中）如图，在中，点为边上靠近点的三等分点，，．
（1）若，求三角形的面积；
（2）当最小时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：直四棱柱包括直平行六面体，直平行六面体包括长方体，长方体包括正四棱柱，
则MPQN.
故答案为：B.
【分析】根据正四棱柱、直四棱柱、长方体、直平行六面体的概念，明确这几种几何体之间的关系，再结合集合的包含关系判断找出四个集合的关系.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，又因为为纯虚数，所以且.
故答案为：A．
【分析】利用复数运算法则以及复数的分类求解判断即可.
3．【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，当时，任意向量都与共线，
则不一定共线，故A错误；
对于B，因为向量不能比较大小，故B错误；
对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，故C正确；
对于D，因为零向量有方向，其方向是任意的，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合共线向量、单位向量、零向量的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将的直观图还原为原图，如图所示：
由为等腰直角三角形， 且，可得，
则，，
即.
故答案为：D.
【分析】利用斜二测画法将直观图还原为原图，再结合等腰直角三角形的结构特征和三角形的面积公式，从而得出的面积.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为点D在边AB上，，
所以，即，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据已知的几何条件结合平面向量基本定理，从而找出正确的选项．
6．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又因为，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为。
故答案为：C．
【分析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，再利用圆的周长公式结合已知条件得出，再利用圆锥的表面积公式得出圆锥底面圆的半径长，再结合勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式得出圆锥的体积。
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，
两式相减可得，
由正弦定理可得，即，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先利用余弦定理的边角变换得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：设的中点为，因为点是的重心，
所以，令，
则，，，
则，当且仅当时取等号.
故答案为：B.
【分析】设的中点为， 利用向量点积的性质可以求出边长的比值，最后结合余弦定理求出边长的值，从而找到重心到顶点的距离最小值即可.
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、虚数不能比较大小，B错误；
C、，复数对应的点（-3，4）位于第二象限，C错误；
D、设，，，， 在复平面对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，D正确.
故答案为：ＡＤ.
【分析】AC根据复数的运算法则求解判断，B复数不能比较大小，D设，根据模的运算求得，进而判断.
10．【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、若，则，即，故A正确；
B、易知，，在上的投影向量为，则，因为，所以，故B正确；
C、若与共线，设，所以有，解得，
因为，，∴，所以，故C错误；
D、若成立，则与反向，所以，，
，解得，即有，
则，与矛盾，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可判断A；根据投影向量得到，即可得到即可判断B；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标从而判断C；假设成立，可得到，与矛盾即可判断D.
11．【答案】C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积定义与物理意义；解三角形
【解析】【解答】解：根据平面向量数量积公式和三角形面积公式，
由，
因为，所以，故A错误；
由选项A可知：，故有两解，故B错误；
若为锐角三角形，
则，且，即，
由正弦定理可知：，故C正确；
若D为边上的中点，
则，
由余弦定理知，
根据基本不等式得出，
当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用平面向量数量积公式和三角形面积公式可判断选项A；利用正弦定理可判断选项B；利用角的取值范围结合正弦定理，则可判断选项C；利用平面向量中线的性质和数量积公式以及余弦定理、基本不等式求最值的方法，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】11
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】设棱台的高为x，则有 ，解之，得x＝11.
【分析】由已知棱台的底面与截面相似，利用面积比列式，即可求出截得的棱台的高.
13．【答案】；
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，如图所示：
则、、、，
，
，，，
，.
故答案为：；.
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，求以及的值即可.
14．【答案】200
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，
即m，
在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
故填：200
【分析】本题考查解三角形的应用问题，在 中求出的值，求出，在中求即可.
15．【答案】（1）解：因为，，，
所以，解得，
又因为，
所以，解得；
（2）解：，因为，所以，
所以，
又因为，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量的垂直的数量积表示求解即可；
（2）利用向量的数量积运算律和夹角公式求解即可.
（1）因为，，
即，解得：
，
解得：
（2），
，
∴
∵，∴
16．【答案】解：（1）因为，所以，
由正弦定理，得，
又，，即，
又因为，所以；
（2）因为，所以，
所以，
，，，
所以
.
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件得到，结合正弦定理得，即可求得角的大小；
（2）用向量来表示向量，根据向量模的平方等于向量的平方，把表示为，从而求的值即可.
17．【答案】（1）解：因为，所以 ，则，
若，则，解得，
又因为，，所以或，解得或；
（2）解：，
当时，，
，，，
＝＝，
.
【知识点】复数相等的充要条件；简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据复数相等的充要条件可得，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）根据三角恒等变换结合条件可得，再根据二倍角公式求解即可.
（1）∵，
∴ ，
∴，
若，则得，
∵，，
∴或，
∴或；
（2）∵
＝，
∵当时，，
∴，，，
∴＝＝，
∴.
18．【答案】（1）解：由正弦定理可得，
又由，
因为，可得，
因为，可得，所以，
又因为，所以
（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，
因为，所以，
由三角形面积公式得
又由正弦定理且，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即面积的取值范围为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合B∈(0，π)，可求B的值；
(2)由(1)及已知可求出，利用三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质即可求解出 面积的取值范围.
19．【答案】（1）解：在中，，，故，，
由正弦定理得，即，
因为，
所以，，
则的面积为
；
（2）解：设，则，
则在中，，
在中，，
故
，
由于，当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值即取最小值时，，
即此时.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理求得、的长，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）设，利用余弦定理表示出，得的表达式，结合基本不等式确定其最小值即可.
（1）在中，，，故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，
故，
故的面积为
.
（2）设，则，
则在中，，
在中，，
故
，
由于，当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值即取最小值时，，
即此时.
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