广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·广东期中） 下列求导运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A，由，A错误；
B，由，B错误；
C，由，C正确；
D，由，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查导数的运算法则.根据正弦函数求导可判断A选项；根据指数函数求导可判断B和D选项；根据对数函数求导法则可判断C选项.
2．（2024高二下·广东期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
【答案】D
【知识点】等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：，解得，
所以.
故选：D.
【分析】借助等差中项的性质计算即可求得的值 .
3．（2024高二下·广东期中）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，，
所以.
故选：A.
【分析】由题意可知，均值为2，结合正态分布曲线的对称性即可求出 .
4．（2024高二下·广东期中）对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）
A．卡方独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立
B．卡方的值可以为负值
C．卡方独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎”
D．列联表中的4个数据可为任何实数
【答案】A
【知识点】独立性检验；独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：A、根据卡方独立性检验的方法，首先保证各事件相互之间相互独立，故选项A正确；
B、根据可知，卡方的值为非负值，故选项B错误；
C、根据卡方独立性检验的基本思想，两个事件有关，但不是一个事件发生，另一事件必发生，故选项C项错误；
D、列联表中的4个数据应为非负数，故选项D错误.
故选：A.
【分析】根据卡方独立性检验的含义以及卡方的计算公式逐一分析判定即可得出正确的选项.
5．（2024高二下·广东期中）设为数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2024 C． D．0
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，
即，
当时，，解得，
显然，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，故.
故答案为：D.
【分析】根据数列的关系，结合条件构造数列，再利用等比数列的定义及通项公式计算即可.
6．（2024高二下·广东期中）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则，切线方程为，
因为切线过原点，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】求导，利用导数的几何意义求解即可.
7．（2024高二下·广东期中）已知数列中，，若函数的导数为，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：当n=1时，.
当时，，
所以，，
因为，满足上式，所以，n∈
令，则，
所以，所以.
故选：B.
【分析】降次作商求得数列 的通项公式，并验证时的情况，设，则，两边同时求导可得，可知，代入计算即可求得.
8．（2024高二下·广东期中）已知数列的首项为，，则数列的前2024项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
当，时，，，
∴，，即为奇数时，数列是常数列，
∴，∴当为奇数时，；
又∵当为偶数时，为奇数，，∴，
综上所述，数列的通项公式为，
∴数列的通项公式为，
设数列的前项和为，
则，①
∴，②
①-②得：，
所以，
所以.
故选：D.
【分析】结合三角函数性质分奇偶讨论可得数列的通项公式，即可求得数列的通项公式，再利用错位相减法求和求得数列的前n项和公式Tn，进而即可可求出前2024项和T2024.
9．（2024高二下·广东期中）某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为，计算其相关系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，以下结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、由图可知两变量呈现正相关，故，，故选项A正确；
B、去掉“离群点”F后，两变量的线性相关性更强，故，故选项B错误；
C、设去掉“离群点”F前的样本中心点为，
由散点图可得：，，
可知回归直线必经过样本中心点，所以，解得，故选项C正确；
D、设去掉“离群点”F后的样本中心点为，
由散点图可得：，，
回归直线必经过样本中心点，所以，解得，即，故选项D正确，
故选：ACD.
【分析】去掉“离群点”F后，两变量的线性相关性更强，由此可判断选项A，B；求出去掉“离群点”F前的样本中心点，回归直线必经过该样本中心点，代入列式求出，即可判断选项C；求出去掉“离群点”F后的样本中心点，回归直线必经过该样本中心点，代入列式求出，即可判断选项D.
10．（2024高二下·广东期中）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．为的一个周期
B．在处取得极小值
C．对，，
D．在上有2个零点
【答案】B,D
【知识点】函数的周期性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、由题意可得，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故选项B正确；
C、显然，则在内取得最小值，
而，即的最小正周期为，
又的定义域为，且，为奇函数，
由奇函数对称性知在内取得最大值，
因此函数在内的最小值为，最大值为，
从而函数在内的最小值为，最大值为，
则，，，故选项C错误；
D、令，即，所以或，
而时，解得或，因此在上有2个零点，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】利用诱导公式及周期定义即可判断选项A；利用导数研究函数的单调性，进而可求得极值点即可判断选项B；求出函数的最值判断选项C；令，求出在指定区间内的零点判断选项D.
11．（2024高二下·广东期中）设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ）
A．若函数具有性质，则导函数也具有性质
B．若具有性质，则
C．若具有性质，且，则
D．若函数具有性质且，则的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、函数具有性质，即存在非零常数，使得对任意的实数恒成立.对等式两边同时求导，得，因此存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，表明也具有性质，故选项A正确；
B、函数具有性质，即，则，即函数的周期是4，因此，所以，故选项B错误；
C、函数具有性质，即，有，
取，则，而当时，，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，则，故选项C正确；
D、函数（）具有性质，即存在常数，使得，而，则，令，则有正数解，易知为单调递增函数，故若，则，从而单调递增，又，故不可能有正数解.
反之，若，则先负后正，从而在上先单调递减后单调递增，故必有正数解.从而有正数解等价于，故，解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据定义及函数的求导法则即可判定选项A；根据定义可知，进而可知，利用函数的周期性即可判定选项B；根据定义可知，从而判定为等比数列，根据等比数列求和公式可判定选项C；构造函数，利用其有正零点，利用导数结合端点值讨论其单调性，即可判定选项D.
12．（2024高二下·广东期中）记为等比数列的前项和.若，则 .
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：17.
【分析】结合已知条件和等比数列的通项公式可求得q的值，进而利用等比数列的求和公式化简代入即可求得答案.
13．（2024高二下·广东期中）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，则数列的公差为，即，
则，可得，即恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质求解即可.
14．（2024高二下·广东期中）已知实数，若函数有且仅有2个极值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意可知，，
函数有且仅有2个极值点等价于在上有两个零点，
令，，则
令，，
当时，，所以，所以，所以，即，故的极值点为，，
易知为偶数时，为极小值点，为奇数时，为极大值点，
且极小值随着的增大而增大，又，
要使函数在上有两个零点，只需，
解得．
故答案为：．
【分析】先对函数f(x)进行求导，函数有且仅有2个极值点等价于在上有两个零点，令，，求出函数g(x)的导函数，j进而可得到，即可得解，即可求出的极值点，再根据极值点的取值情况得到不等式组，解得即可求得的取值范围 .
15．（2024高二下·广东期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年收入（千元） 59 61 64 68 73
（1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
（2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
【答案】（1）解：由题意可知，，，
设，则，所以，
所以，所以.
所以，回归方程为.
（2）解：将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）设，结合表中的数据线求出，根据最小二乘法公式计算求出b和a的值，即可求得此模型的回归方程 ；
（2）先利用（1）的方程计算预测值，再利用残差的定义计算残差平方和，比较大小即可判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求.
（1）根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得：
，，
设，则，所以，
则，.
所以，回归方程为.
（2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
16．（2024高二下·广东期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形，.
（1）求证：平面ADE；
（2）当四棱锥体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值.
【答案】（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直得平面，再结合圆的性质得即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解。
（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
17．（2024高二下·广东期中）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
（1）求的值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：解法一：设的公差为，
因为①，
所以②，
②-①，得，即，
又因为，所以.
解法二：设的公差为，
因为，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，
又因为，所以.
（2）证明：因为，所以，即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）解法一：设的公差为，由可知，两式相减可得，即可求得的值 ；解法二：设的公差为，利用等差数列的通项公式转化为对恒成立，进而求得的值即可；.
（2）结合已知条件和等差数列的求和公式求出，进而利用裂项相消求和可得答案.
（1）解法一：设的公差为，
由①，得②，
则②-①得，
即，又，则；
解法二：设的公差为，
因为，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，
又，则；
（2）由得，即，
所以，
又即，则，
因此
则
．
18．（2024高二下·广东期中）已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）讨论的单调区间；
（3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
【答案】（1）解：函数定义域为，，
且，，则的图象在点处的切线方程为，即；
（2）解：，因为，所以，
当时，令，解得，则函数单调递增；
令，解得，函数单调递减；
当时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减；
当时，当，，在单调递减；
当时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
当，的单调减区间为，没有单调增区间；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
（3）解：若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，
故在单调递增，又，则；
故当时，，
也即当时，对任意，都有.
故的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得，，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）讨论参数与和的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；
（3）将问题转化为在上的最大值，根据（2）中所求单调性，求得，再构造函数解关于的不等式即可.
（1），，又，，
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2），又，，
则时，当，，单调递增；当，，单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减；
时，当，，在单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
当，的单调减区间为，没有单调增区间；
当，的单调减区间为，单调增区间为.
（3）若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，
故在单调递增，又，则；
故当时，，
也即当时，对任意，都有.
故的最大值为.
19．（2024高二下·广东期中）已知椭圆.
（1）若点在椭圆C上，证明：直线与椭圆C相切；
（2）设曲线的切线l与椭圆C交于两点，且以为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.
【答案】（1）证明：当时，，则此时椭圆切线方程为，满足，
当时，，则此时椭圆切线方程为 ，满足，
当时，联立方程，得
因为 ，
所以与椭圆C只有一个交点，即直线与椭圆C相切 ；
综上，是椭圆C在处的切线方程；
（2）解：法一：依题意作图：
设圆O的切点为，
当时，切线l的斜率存在，则设，
因为，所以，
所以，即，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上所述，故圆O在切点P处的切线方程为；
当时，设 ，
联立方程： ，消y整理得， ，
所以 ， ，
结合（1）知：在A点的椭圆C的切线方程为 ，
在B点的椭圆C的切线方程为 ，
联立方程，消y整理得， ，
因为所以，所以 ，
所以 ，
因为 点在切线 上，所以 ，得 ，
使用水平底铅垂高计算的面积，铅垂高为，
又 ，从而 ，
即 ，
，
又因为点P在圆O上，所以 ，由题意， ，
设函数，，
所以；
当时，切线方程为 ，代入椭圆C的方程得 ，，
，同理时，.
综上所述， 取值范围是.
法二、设直线，
因为AB与曲线O相切，则有，即.
设，
将代入椭圆方程得：，
因为，
所以.
由（1）的结论，
过点A的椭圆切线为，过点B的椭圆切线为，
而两条切线交于点M，则，
所以A，B的坐标满足直线，即直线AB方程.
易知，则，故有，
则点P到直线的距离，
所以，
易知，随增大而增大，则，所以
当时，，
故 取值范围是.
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）按，及三种情况进而分类讨论，证明直线与椭圆C相切 ；
（2）法一、先确定圆的切线方程，设坐标，联立切线方程与椭圆方程利用韦达定理得A、B坐标关系，结合（1）得过的椭圆切线方程，联立两切线方程求交点得M坐标与坐标的关系，再结合点在圆上消元化简得，根据三角形面积结合导数求其值域即可求得面积的取值范围 ；法二、设，由直线与圆的位置关系得参数间关系，再由椭圆的切线方程得切点弦方程，由待定系数法得，利用弦长公式及点到直线的距离公式计算即可求得面积的取值范围 .
（1）若，则，此时椭圆切线方程为，满足，
若，则，此时椭圆切线方程为 ，满足，
若，联立方程，得 ，
，
∴与椭圆C只有一个交点，是其切线；
综上，是椭圆C在处的切线方程；
（2）法一、依题意作图：设圆O的切点为，
若，可设，
由直线与圆的位置关系知：，
则，
若，显然切线方程为，满足，
若，显然切线方程为，满足，
故圆在切点P处的切线方程为；
当，设 ，
联立方程： ，得 ，
， ，
结合（1）知：在A点的椭圆C的切线方程为 ，
在B点的椭圆C的切线方程为 ，
联立方程，得 ，
，得 ，
所以 ，
因为 点在切线 上，所以 ，得 ，
使用水平底铅垂高计算的面积，铅垂高为，
又 ，从而 ，
即 ，
，
∵点P在圆O上，∴ ，由题意， ，
设函数，，∴；
当时，切线方程为 ，代入椭圆C的方程得 ，，
，同理时，.
综上 取值范围是.
法二、设直线，
因为AB与曲线O相切，则有，即.
设，将代入椭圆方程得：
，
，
则.
由（1）的结论，
过点A的椭圆切线为，过点B的椭圆切线为，
而两条切线交于点M，则，
所以A，B的坐标满足直线，即直线AB方程.
易知，则，故有，
则点P到直线的距离，
所以，
易知，随增大而增大，则，所以，
当时，，
故 取值范围是.
1 / 1广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·广东期中） 下列求导运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·广东期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
3．（2024高二下·广东期中）已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7
4．（2024高二下·广东期中）对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）
A．卡方独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立
B．卡方的值可以为负值
C．卡方独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎”
D．列联表中的4个数据可为任何实数
5．（2024高二下·广东期中）设为数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2024 C． D．0
6．（2024高二下·广东期中）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广东期中）已知数列中，，若函数的导数为，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2024高二下·广东期中）已知数列的首项为，，则数列的前2024项和为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·广东期中）某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为，计算其相关系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，以下结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·广东期中）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．为的一个周期
B．在处取得极小值
C．对，，
D．在上有2个零点
11．（2024高二下·广东期中）设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ）
A．若函数具有性质，则导函数也具有性质
B．若具有性质，则
C．若具有性质，且，则
D．若函数具有性质且，则的取值范围是
12．（2024高二下·广东期中）记为等比数列的前项和.若，则 .
13．（2024高二下·广东期中）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为 .
14．（2024高二下·广东期中）已知实数，若函数有且仅有2个极值点，则的取值范围是 ．
15．（2024高二下·广东期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年收入（千元） 59 61 64 68 73
（1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
（2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
16．（2024高二下·广东期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形，.
（1）求证：平面ADE；
（2）当四棱锥体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值.
17．（2024高二下·广东期中）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
（1）求的值；
（2）若，求证：．
18．（2024高二下·广东期中）已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）讨论的单调区间；
（3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
19．（2024高二下·广东期中）已知椭圆.
（1）若点在椭圆C上，证明：直线与椭圆C相切；
（2）设曲线的切线l与椭圆C交于两点，且以为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A，由，A错误；
B，由，B错误；
C，由，C正确；
D，由，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查导数的运算法则.根据正弦函数求导可判断A选项；根据指数函数求导可判断B和D选项；根据对数函数求导法则可判断C选项.
2．【答案】D
【知识点】等差数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：，解得，
所以.
故选：D.
【分析】借助等差中项的性质计算即可求得的值 .
3．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，，
所以.
故选：A.
【分析】由题意可知，均值为2，结合正态分布曲线的对称性即可求出 .
4．【答案】A
【知识点】独立性检验；独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：A、根据卡方独立性检验的方法，首先保证各事件相互之间相互独立，故选项A正确；
B、根据可知，卡方的值为非负值，故选项B错误；
C、根据卡方独立性检验的基本思想，两个事件有关，但不是一个事件发生，另一事件必发生，故选项C项错误；
D、列联表中的4个数据应为非负数，故选项D错误.
故选：A.
【分析】根据卡方独立性检验的含义以及卡方的计算公式逐一分析判定即可得出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，
即，
当时，，解得，
显然，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，故.
故答案为：D.
【分析】根据数列的关系，结合条件构造数列，再利用等比数列的定义及通项公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
设切点为，则，切线方程为，
因为切线过原点，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】求导，利用导数的几何意义求解即可.
7．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：当n=1时，.
当时，，
所以，，
因为，满足上式，所以，n∈
令，则，
所以，所以.
故选：B.
【分析】降次作商求得数列 的通项公式，并验证时的情况，设，则，两边同时求导可得，可知，代入计算即可求得.
8．【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
当，时，，，
∴，，即为奇数时，数列是常数列，
∴，∴当为奇数时，；
又∵当为偶数时，为奇数，，∴，
综上所述，数列的通项公式为，
∴数列的通项公式为，
设数列的前项和为，
则，①
∴，②
①-②得：，
所以，
所以.
故选：D.
【分析】结合三角函数性质分奇偶讨论可得数列的通项公式，即可求得数列的通项公式，再利用错位相减法求和求得数列的前n项和公式Tn，进而即可可求出前2024项和T2024.
9．【答案】A,C,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、由图可知两变量呈现正相关，故，，故选项A正确；
B、去掉“离群点”F后，两变量的线性相关性更强，故，故选项B错误；
C、设去掉“离群点”F前的样本中心点为，
由散点图可得：，，
可知回归直线必经过样本中心点，所以，解得，故选项C正确；
D、设去掉“离群点”F后的样本中心点为，
由散点图可得：，，
回归直线必经过样本中心点，所以，解得，即，故选项D正确，
故选：ACD.
【分析】去掉“离群点”F后，两变量的线性相关性更强，由此可判断选项A，B；求出去掉“离群点”F前的样本中心点，回归直线必经过该样本中心点，代入列式求出，即可判断选项C；求出去掉“离群点”F后的样本中心点，回归直线必经过该样本中心点，代入列式求出，即可判断选项D.
10．【答案】B,D
【知识点】函数的周期性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、由题意可得，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故选项B正确；
C、显然，则在内取得最小值，
而，即的最小正周期为，
又的定义域为，且，为奇函数，
由奇函数对称性知在内取得最大值，
因此函数在内的最小值为，最大值为，
从而函数在内的最小值为，最大值为，
则，，，故选项C错误；
D、令，即，所以或，
而时，解得或，因此在上有2个零点，故选项D正确.
故选：BD.
【分析】利用诱导公式及周期定义即可判断选项A；利用导数研究函数的单调性，进而可求得极值点即可判断选项B；求出函数的最值判断选项C；令，求出在指定区间内的零点判断选项D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A、函数具有性质，即存在非零常数，使得对任意的实数恒成立.对等式两边同时求导，得，因此存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，表明也具有性质，故选项A正确；
B、函数具有性质，即，则，即函数的周期是4，因此，所以，故选项B错误；
C、函数具有性质，即，有，
取，则，而当时，，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，则，故选项C正确；
D、函数（）具有性质，即存在常数，使得，而，则，令，则有正数解，易知为单调递增函数，故若，则，从而单调递增，又，故不可能有正数解.
反之，若，则先负后正，从而在上先单调递减后单调递增，故必有正数解.从而有正数解等价于，故，解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】根据定义及函数的求导法则即可判定选项A；根据定义可知，进而可知，利用函数的周期性即可判定选项B；根据定义可知，从而判定为等比数列，根据等比数列求和公式可判定选项C；构造函数，利用其有正零点，利用导数结合端点值讨论其单调性，即可判定选项D.
12．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：17.
【分析】结合已知条件和等比数列的通项公式可求得q的值，进而利用等比数列的求和公式化简代入即可求得答案.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，则数列的公差为，即，
则，可得，即恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意可知，，
函数有且仅有2个极值点等价于在上有两个零点，
令，，则
令，，
当时，，所以，所以，所以，即，故的极值点为，，
易知为偶数时，为极小值点，为奇数时，为极大值点，
且极小值随着的增大而增大，又，
要使函数在上有两个零点，只需，
解得．
故答案为：．
【分析】先对函数f(x)进行求导，函数有且仅有2个极值点等价于在上有两个零点，令，，求出函数g(x)的导函数，j进而可得到，即可得解，即可求出的极值点，再根据极值点的取值情况得到不等式组，解得即可求得的取值范围 .
15．【答案】（1）解：由题意可知，，，
设，则，所以，
所以，所以.
所以，回归方程为.
（2）解：将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）设，结合表中的数据线求出，根据最小二乘法公式计算求出b和a的值，即可求得此模型的回归方程 ；
（2）先利用（1）的方程计算预测值，再利用残差的定义计算残差平方和，比较大小即可判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求.
（1）根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得：
，，
设，则，所以，
则，.
所以，回归方程为.
（2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
16．【答案】（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直得平面，再结合圆的性质得即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解。
（1）点E在上且为直径，，
又平面平面，平面平面，且平面，
平面，
平面，，
又平面，故平面.
（2）当四棱锥体积最大时，是的中点，
此时，，
取中点，连接，
则，即平面，
又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴及轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成夹角为，则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：解法一：设的公差为，
因为①，
所以②，
②-①，得，即，
又因为，所以.
解法二：设的公差为，
因为，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，
又因为，所以.
（2）证明：因为，所以，即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以
所以
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）解法一：设的公差为，由可知，两式相减可得，即可求得的值 ；解法二：设的公差为，利用等差数列的通项公式转化为对恒成立，进而求得的值即可；.
（2）结合已知条件和等差数列的求和公式求出，进而利用裂项相消求和可得答案.
（1）解法一：设的公差为，
由①，得②，
则②-①得，
即，又，则；
解法二：设的公差为，
因为，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，
又，则；
（2）由得，即，
所以，
又即，则，
因此
则
．
18．【答案】（1）解：函数定义域为，，
且，，则的图象在点处的切线方程为，即；
（2）解：，因为，所以，
当时，令，解得，则函数单调递增；
令，解得，函数单调递减；
当时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减；
当时，当，，在单调递减；
当时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
当，的单调减区间为，没有单调增区间；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
（3）解：若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，
故在单调递增，又，则；
故当时，，
也即当时，对任意，都有.
故的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得，，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）讨论参数与和的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；
（3）将问题转化为在上的最大值，根据（2）中所求单调性，求得，再构造函数解关于的不等式即可.
（1），，又，，
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2），又，，
则时，当，，单调递增；当，，单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减；
时，当，，在单调递减；
时，当，，单调递减；当，，单调递增；
当，，单调递减.
综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；
当，的单调减区间为，单调增区间为；
当，的单调减区间为，没有单调增区间；
当，的单调减区间为，单调增区间为.
（3）若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，
故在单调递增，又，则；
故当时，，
也即当时，对任意，都有.
故的最大值为.
19．【答案】（1）证明：当时，，则此时椭圆切线方程为，满足，
当时，，则此时椭圆切线方程为 ，满足，
当时，联立方程，得
因为 ，
所以与椭圆C只有一个交点，即直线与椭圆C相切 ；
综上，是椭圆C在处的切线方程；
（2）解：法一：依题意作图：
设圆O的切点为，
当时，切线l的斜率存在，则设，
因为，所以，
所以，即，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上所述，故圆O在切点P处的切线方程为；
当时，设 ，
联立方程： ，消y整理得， ，
所以 ， ，
结合（1）知：在A点的椭圆C的切线方程为 ，
在B点的椭圆C的切线方程为 ，
联立方程，消y整理得， ，
因为所以，所以 ，
所以 ，
因为 点在切线 上，所以 ，得 ，
使用水平底铅垂高计算的面积，铅垂高为，
又 ，从而 ，
即 ，
，
又因为点P在圆O上，所以 ，由题意， ，
设函数，，
所以；
当时，切线方程为 ，代入椭圆C的方程得 ，，
，同理时，.
综上所述， 取值范围是.
法二、设直线，
因为AB与曲线O相切，则有，即.
设，
将代入椭圆方程得：，
因为，
所以.
由（1）的结论，
过点A的椭圆切线为，过点B的椭圆切线为，
而两条切线交于点M，则，
所以A，B的坐标满足直线，即直线AB方程.
易知，则，故有，
则点P到直线的距离，
所以，
易知，随增大而增大，则，所以
当时，，
故 取值范围是.
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）按，及三种情况进而分类讨论，证明直线与椭圆C相切 ；
（2）法一、先确定圆的切线方程，设坐标，联立切线方程与椭圆方程利用韦达定理得A、B坐标关系，结合（1）得过的椭圆切线方程，联立两切线方程求交点得M坐标与坐标的关系，再结合点在圆上消元化简得，根据三角形面积结合导数求其值域即可求得面积的取值范围 ；法二、设，由直线与圆的位置关系得参数间关系，再由椭圆的切线方程得切点弦方程，由待定系数法得，利用弦长公式及点到直线的距离公式计算即可求得面积的取值范围 .
（1）若，则，此时椭圆切线方程为，满足，
若，则，此时椭圆切线方程为 ，满足，
若，联立方程，得 ，
，
∴与椭圆C只有一个交点，是其切线；
综上，是椭圆C在处的切线方程；
（2）法一、依题意作图：设圆O的切点为，
若，可设，
由直线与圆的位置关系知：，
则，
若，显然切线方程为，满足，
若，显然切线方程为，满足，
故圆在切点P处的切线方程为；
当，设 ，
联立方程： ，得 ，
， ，
结合（1）知：在A点的椭圆C的切线方程为 ，
在B点的椭圆C的切线方程为 ，
联立方程，得 ，
，得 ，
所以 ，
因为 点在切线 上，所以 ，得 ，
使用水平底铅垂高计算的面积，铅垂高为，
又 ，从而 ，
即 ，
，
∵点P在圆O上，∴ ，由题意， ，
设函数，，∴；
当时，切线方程为 ，代入椭圆C的方程得 ，，
，同理时，.
综上 取值范围是.
法二、设直线，
因为AB与曲线O相切，则有，即.
设，将代入椭圆方程得：
，
，
则.
由（1）的结论，
过点A的椭圆切线为，过点B的椭圆切线为，
而两条切线交于点M，则，
所以A，B的坐标满足直线，即直线AB方程.
易知，则，故有，
则点P到直线的距离，
所以，
易知，随增大而增大，则，所以，
当时，，
故 取值范围是.
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