广东省广州市广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·广州期中） 若函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·广州期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·广州期中）在的二项展开式中，常数项是（ ）
A．132 B．160 C．180 D．196
4．（2024高二下·广州期中）已知随机变量服从，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
5．（2024高二下·广州期中）已知随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是（ ）
A．－ B． C． D．－
6．（2024高二下·广州期中）从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）
A．236 B．328 C．462 D．2640
7．（2024高二下·广州期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·广州期中）设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·广州期中）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
10．（2024高二下·广州期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
11．（2024高二下·广州期中）已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是（ ）
A．恒成立
B．函数的极小值为0
C．若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是
D．对任意的，都有
12．（2024高二下·广州期中）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
13．（2024高二下·广州期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ．
14．（2024高二下·广州期中）2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是 ．
15．（2024高二下·广州期中）已知，展开式中二项式系数的最大值为.
（1）求的值；
（2）求的值（结果可以保留指数形式）.
16．（2024高二下·广州期中）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
17．（2024高二下·广州期中）已知函数在处取得极值．
（1）确定的值并求的单调区间；
（2）若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．
18．（2024高二下·广州期中）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
19．（2024高二下·广州期中）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的运算法则.先根据复合函数的运算法则可求出，代入自变量的值可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：从学校任意调查一名学生，有两种情况：玩手机近视和不玩手机近视，
所以近视的概率大约为：+.
故选：C.【分析】根据题目分为两类，再根据全概率公式计算.
3．【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
其中且，
令，解得，
所以展开式中常数项为.
故答案为：C.
【分析】本题考查二项式定理的通项公式.先利用二项式定理求出展开式的通项，令，求出的值，再反代回通项可求出常数项.
4．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 随机变量服从， 则正态分布的对称轴为，
因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正态分布的对称性计算即可.
5．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知，随机变量X的数学期望为E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.
又Y＝2X＋1，所以随机变量Y的数学期望为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×(－)＋1＝.
故答案为：C
【分析】先求出E(X)，再利用数学期望的性质可知E(Y)＝2E(X)＋1，即可求得E(Y).
6．【答案】A
【知识点】基本计数原理的应用；组合及组合数公式
【解析】【解答】解： 根据取出的5个球中奇数编号球的个数进行分类讨论
第一类，取出的5个球的编号中只有1个奇数， 4个偶数 ，有(种)取法；
第二类，取出的5个球的编号中有3个奇数，1个偶数，有(种)取法；
第三类，取出的5个球的编号全是奇数，有(种)取法.
根据分类计数原理，共有30＋200＋6＝236(种)取法.
故选：A.
【分析】 为了简化问题，我们可以将球的编号分为奇数和偶数两类.根据取出的球中奇数编号球的个数进行分类讨论，计算出每一类的取法数量，最后将这些数量相加得到总的取法数量。
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，x>0，则.
设，则，
当时，，单调递减.
因为，所以当时，，所以在上单调递减.
又，所以，即，则，从而.
故选：C.
【分析】构造函数，进而对函数f(x)求导可得，易知
x +1 x ln x 的符号决定了 f '( x ) 的符号，进而构造函数，分析函数g(x)的单调性，进而可知函数在上单调递减，由此可得，进而可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，作出的图象，如图所示：
令，由图象可得，
因为，所以，
所以，所以，
令，则，令，解得，
当，即时，，则，单调递减，
则，解得，符合题意；
当，即时，
当时，；当时，；
故在单调递减，在单调递增，
则，解得，不符合题意；
综上，．
故答案为：B．
【分析】作出的图象，令，结合图象得到的范围，得到关于的表达式，构造函数，利用导数求解即可．
9．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：AB、因为，分别为随机事件A，B的对立事件 ，则，故A正确，B错误；
C、 若A，B独立 ，则，即，故C正确；
D、若A，B互斥，则，，，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念以及对应的概率计算公式求解判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列， 即甲乙丙顺序确定，按照定序法可得：不同的排法有种，故A错误；
B、 甲、乙不相邻， 则甲、乙插空，先安排丙，丁，戊三人，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种情况，即甲乙不相邻的排法种数为，故B正确；
C、 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端， 则有种不同的排法，故C错误；
D、甲乙相邻，则用捆绑法，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，有种，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用定序法求解即可判断A；采用插空法求解即可判断B；利用间接法求解即可判断C；利用捆绑法求解即可判断D.
11．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由，可得，所以，所以，因为，所以不恒成立，故选项A错误；
B、因为，所以，
当时，可得；当时，可得，
所以函数在上单调递减，在在上单调递增，
其中无意义，所以无极小值，故选项B错误；
C、当时，；当时，；当时，，
如图所示，下图为函数的图象，
结合图象得，当时，函数与的图象有两个不同的交点，
所以函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是，故选项C正确；
D、由，
设，可得，
所以，单调递增，即单调递增，
所以为单调递增函数，且单调递增函数，且，
如图所示，下图为函数的图象，
因为函数图象为凸函数，所以，当且仅当时，等号成立，故选项D正确.
故选：CD.
【分析】 由先求得k的值，进而可求导，对函数f(x)进行求导可知，即可判断选项A；先求出g(x)，进而求导可得，根据求导判断函数的单调性结合无意义，可判断选项B；函数在其定义域内有两个不同的零点转化为函数与的图象有两个不同的交点，根据函数的单调性画出的图象， 即可判断选项C；对函数f(x)进而二次求导，推出函数的单调性，结合图象，可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
【分析】
设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线斜率、代入点斜式得切线方程，将代入，即可求解.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”，
将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有种安排方法，
甲被安排在天和核心舱，有种安排方法，则，
若甲、乙均被安排在天和核心舱，有种安排方法，则，
故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率．
故答案为：．
【分析】设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”，分3组先利用古典概型公式求出、，再利用条件概率公式计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设实际比赛局数为，则的可能取值为，
则，
，
，
则，
所以，
因为的对称轴为，，
当时，，当时，，所以，
所以令，则；令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】设实际比赛局数为，利用相互独立事件的概率分别计算出可能取值的概率，再求期望值，再利用导数求得的最大值，即可求解.
15．【答案】（1）解：因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，
依题知，解得；
（2）解：由（1）可得，
当时，①，
当时，②，
由①-②：，
即得：.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）先利用二项展开式系数的性质可得二项式系数最大值为和，再利用组合数公式求解即可；
（2）由（1）得，分别对赋值和，再将两式左右分别相减化简即得求解.
（1）因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，
依题知，解得；
（2）由（1）可得，
当时，①，
当时，②，
由①-②：，
即得：.
16．【答案】（1）解：记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，，
故；
（2）解：由已知可得，的可能取值为，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）设出事件A，利用古典概率模型公式分别求出，再利用条件概率公式即可求解；
（2）先求出的可能取值0，1，2及相应的概率，列出分布列和数学期望即可求解.
（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，
，
故；
（2）由已知可得，的可能取值为，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
17．【答案】（1）解：由函数可知，，，得，
即，，
令，得或，
当，得或，当，得
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2）解：由（1）可知，，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若方程至多有两个根，即与至多有2个交点如图所示：
即或.
综上实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先由题意可得即可求的值，再利用导数和函数单调性的关系，即可求解；
（2）先将方程的实数根据转化为函数图象的交点个数问题，求出函数的极值，再利用数形结合即可求解.
（1）由函数可知，，，得，
即，，
令，得或，
当，得或，当，得
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2）由（1）可知，，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若方程至多有两个根，即与至多有2个交点，
如图，即或.
18．【答案】（1）解：记事件A=“选手甲正确作答2个题目”，则；
（2）解：由题意得：X的所有可能取值为0，1，2，3，且，
，，，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
；
（3）解：设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，
，，
则，
因为，所以，
则可以认为选手乙晋级的可能性更大．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可；
（2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可；
（3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可.
（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．
（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
∴．
（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．
19．【答案】（1）证明：设，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
因此，即；
（2）证明：由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即；
（3）解：，
则，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立，
所以当时，，所以在上单调递增，
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此，是的极小值点，
下面证明：当时，不是的极小值点，
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，，
因此，在上单调递减，
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，是的极大值点，不是的极小值点，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）设，求导利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题求解即可；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，证明即可；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间求解即可.
（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
1 / 1广东省广州市广州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·广州期中） 若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的运算法则.先根据复合函数的运算法则可求出，代入自变量的值可求出答案.
2．（2024高二下·广州期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：从学校任意调查一名学生，有两种情况：玩手机近视和不玩手机近视，
所以近视的概率大约为：+.
故选：C.【分析】根据题目分为两类，再根据全概率公式计算.
3．（2024高二下·广州期中）在的二项展开式中，常数项是（ ）
A．132 B．160 C．180 D．196
【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
其中且，
令，解得，
所以展开式中常数项为.
故答案为：C.
【分析】本题考查二项式定理的通项公式.先利用二项式定理求出展开式的通项，令，求出的值，再反代回通项可求出常数项.
4．（2024高二下·广州期中）已知随机变量服从，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 随机变量服从， 则正态分布的对称轴为，
因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正态分布的对称性计算即可.
5．（2024高二下·广州期中）已知随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是（ ）
A．－ B． C． D．－
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知，随机变量X的数学期望为E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.
又Y＝2X＋1，所以随机变量Y的数学期望为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×(－)＋1＝.
故答案为：C
【分析】先求出E(X)，再利用数学期望的性质可知E(Y)＝2E(X)＋1，即可求得E(Y).
6．（2024高二下·广州期中）从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）
A．236 B．328 C．462 D．2640
【答案】A
【知识点】基本计数原理的应用；组合及组合数公式
【解析】【解答】解： 根据取出的5个球中奇数编号球的个数进行分类讨论
第一类，取出的5个球的编号中只有1个奇数， 4个偶数 ，有(种)取法；
第二类，取出的5个球的编号中有3个奇数，1个偶数，有(种)取法；
第三类，取出的5个球的编号全是奇数，有(种)取法.
根据分类计数原理，共有30＋200＋6＝236(种)取法.
故选：A.
【分析】 为了简化问题，我们可以将球的编号分为奇数和偶数两类.根据取出的球中奇数编号球的个数进行分类讨论，计算出每一类的取法数量，最后将这些数量相加得到总的取法数量。
7．（2024高二下·广州期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，x>0，则.
设，则，
当时，，单调递减.
因为，所以当时，，所以在上单调递减.
又，所以，即，则，从而.
故选：C.
【分析】构造函数，进而对函数f(x)求导可得，易知
x +1 x ln x 的符号决定了 f '( x ) 的符号，进而构造函数，分析函数g(x)的单调性，进而可知函数在上单调递减，由此可得，进而可得出答案.
8．（2024高二下·广州期中）设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，作出的图象，如图所示：
令，由图象可得，
因为，所以，
所以，所以，
令，则，令，解得，
当，即时，，则，单调递减，
则，解得，符合题意；
当，即时，
当时，；当时，；
故在单调递减，在单调递增，
则，解得，不符合题意；
综上，．
故答案为：B．
【分析】作出的图象，令，结合图象得到的范围，得到关于的表达式，构造函数，利用导数求解即可．
9．（2024高二下·广州期中）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：AB、因为，分别为随机事件A，B的对立事件 ，则，故A正确，B错误；
C、 若A，B独立 ，则，即，故C正确；
D、若A，B互斥，则，，，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念以及对应的概率计算公式求解判断即可.
10．（2024高二下·广州期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】B,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列， 即甲乙丙顺序确定，按照定序法可得：不同的排法有种，故A错误；
B、 甲、乙不相邻， 则甲、乙插空，先安排丙，丁，戊三人，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种情况，即甲乙不相邻的排法种数为，故B正确；
C、 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端， 则有种不同的排法，故C错误；
D、甲乙相邻，则用捆绑法，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，有种，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用定序法求解即可判断A；采用插空法求解即可判断B；利用间接法求解即可判断C；利用捆绑法求解即可判断D.
11．（2024高二下·广州期中）已知函数，其导函数为，且，记，则下列说法正确的是（ ）
A．恒成立
B．函数的极小值为0
C．若函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是
D．对任意的，都有
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由，可得，所以，所以，因为，所以不恒成立，故选项A错误；
B、因为，所以，
当时，可得；当时，可得，
所以函数在上单调递减，在在上单调递增，
其中无意义，所以无极小值，故选项B错误；
C、当时，；当时，；当时，，
如图所示，下图为函数的图象，
结合图象得，当时，函数与的图象有两个不同的交点，
所以函数在其定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围是，故选项C正确；
D、由，
设，可得，
所以，单调递增，即单调递增，
所以为单调递增函数，且单调递增函数，且，
如图所示，下图为函数的图象，
因为函数图象为凸函数，所以，当且仅当时，等号成立，故选项D正确.
故选：CD.
【分析】 由先求得k的值，进而可求导，对函数f(x)进行求导可知，即可判断选项A；先求出g(x)，进而求导可得，根据求导判断函数的单调性结合无意义，可判断选项B；函数在其定义域内有两个不同的零点转化为函数与的图象有两个不同的交点，根据函数的单调性画出的图象， 即可判断选项C；对函数f(x)进而二次求导，推出函数的单调性，结合图象，可判断选项D.
12．（2024高二下·广州期中）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
【分析】
设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线斜率、代入点斜式得切线方程，将代入，即可求解.
13．（2024高二下·广州期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”，
将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有种安排方法，
甲被安排在天和核心舱，有种安排方法，则，
若甲、乙均被安排在天和核心舱，有种安排方法，则，
故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率．
故答案为：．
【分析】设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”，分3组先利用古典概型公式求出、，再利用条件概率公式计算即可求解．
14．（2024高二下·广州期中）2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设实际比赛局数为，则的可能取值为，
则，
，
，
则，
所以，
因为的对称轴为，，
当时，，当时，，所以，
所以令，则；令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
【分析】设实际比赛局数为，利用相互独立事件的概率分别计算出可能取值的概率，再求期望值，再利用导数求得的最大值，即可求解.
15．（2024高二下·广州期中）已知，展开式中二项式系数的最大值为.
（1）求的值；
（2）求的值（结果可以保留指数形式）.
【答案】（1）解：因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，
依题知，解得；
（2）解：由（1）可得，
当时，①，
当时，②，
由①-②：，
即得：.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）先利用二项展开式系数的性质可得二项式系数最大值为和，再利用组合数公式求解即可；
（2）由（1）得，分别对赋值和，再将两式左右分别相减化简即得求解.
（1）因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，
依题知，解得；
（2）由（1）可得，
当时，①，
当时，②，
由①-②：，
即得：.
16．（2024高二下·广州期中）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
【答案】（1）解：记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，，
故；
（2）解：由已知可得，的可能取值为，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）设出事件A，利用古典概率模型公式分别求出，再利用条件概率公式即可求解；
（2）先求出的可能取值0，1，2及相应的概率，列出分布列和数学期望即可求解.
（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，
，
故；
（2）由已知可得，的可能取值为，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
17．（2024高二下·广州期中）已知函数在处取得极值．
（1）确定的值并求的单调区间；
（2）若关于的方程至多有两个根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由函数可知，，，得，
即，，
令，得或，
当，得或，当，得
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2）解：由（1）可知，，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若方程至多有两个根，即与至多有2个交点如图所示：
即或.
综上实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先由题意可得即可求的值，再利用导数和函数单调性的关系，即可求解；
（2）先将方程的实数根据转化为函数图象的交点个数问题，求出函数的极值，再利用数形结合即可求解.
（1）由函数可知，，，得，
即，，
令，得或，
当，得或，当，得
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2）由（1）可知，，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若方程至多有两个根，即与至多有2个交点，
如图，即或.
18．（2024高二下·广州期中）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；
（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．
【答案】（1）解：记事件A=“选手甲正确作答2个题目”，则；
（2）解：由题意得：X的所有可能取值为0，1，2，3，且，
，，，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
；
（3）解：设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，
，，
则，
因为，所以，
则可以认为选手乙晋级的可能性更大．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可；
（2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可；
（3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可.
（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．
故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．
（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
∴．
（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．
19．（2024高二下·广州期中）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：设，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
因此，即；
（2）证明：由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即；
（3）解：，
则，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立，
所以当时，，所以在上单调递增，
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此，是的极小值点，
下面证明：当时，不是的极小值点，
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，，
因此，在上单调递减，
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，是的极大值点，不是的极小值点，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）设，求导利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题求解即可；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，证明即可；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间求解即可.
（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
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