广东省广州市第十六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·广州期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D错误，
故答案为：A
【分析】直接利用积的导数公式进行计算可判断A选项和C选项；根据常数的导数等于0可判断B选项；利用指数函数的导数公式进行计算可判断D选项.
2．（2024高二下·广州期中）设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：已知，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用等差数列的性质求出，再利用等差数列前n项和公式即可求解.
3．（2024高二下·广州期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域是，，
令，解得，则函数的单调区间为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求导，令求解即可得函数的单调递减区间.
4．（2024高二下·广州期中）甲 乙 丙 丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为
A．24 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】由题：老师站中间，
第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；
第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；
第三步：排剩下两位同学，种排法，
所以共8种.
故答案为：C
【分析】特殊元素优先，先排乙，再排甲，利用分步乘法计数原理即可求解.
5．（2024高二下·广州期中）已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 函数只有一个零点，
即函数的图像与的图像只有一个交点，
函数的定义域为，，令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
则当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；
作出函数图象，如图所示：
由图可知，实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】原问题转化为函数的图像与的图像只有一个交点，求导，利用导数研究函数的单调性与极值，作出函数的图像，数形结合求的取值范围即可.
6．（2024高二下·广州期中）已知，那么（ ）
A． B．2 C． D．12
【答案】A
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，
令代入二项式得，
所以.
故答案为：A．
【分析】利用赋值法即可求解.
7．（2024高二下·广州期中）点 是曲线 上任意一点， 则点 到直线 的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，则 ，即 ，
所以 ，
故答案为：B。
【分析】利用导数求得平行于直线 y = x 2 的切线的切点，由点到直线距离公式即可求得结果.
8．（2024高二下·广州期中）若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：问题转化为，
当时，不等式显然成立，
当时，即有对任意恒成立，
令，则，
令，
则，
故在递增，
，，
，使得，故，
故时，，，时，，
故在递减，在，递增，
故，
故，
故整数的最大值为4，
故答案为：．
【分析】当时将问题转化为恒成立，令，求导可得，利用导函数函数的单调性求出的最大值即可求解．
9．（2024高二下·广州期中）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间上的极小值点
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、由图象可知在上，则在上函数为增函数故A选项正确；
B、由图象可知在上有正有负，则不具有单调性，故B选项错误；
C、由图像可得在上先增后减且，则有极大值，故C选项正确；
D、由图像可得在上先减后增且，则是的极小值点，故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导函数的图象结合导函数与函数单调性的关系及取得极值的条件逐项判断即可求解.
10．（2024高二下·广州期中）下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 种不同的分法；
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 种不同的分法；
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
【答案】A,C,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，6本不同的书中，先取 本给甲，再从剩余的 本中取 本给乙，
最后 本给丙，共有 种不同的分法，A符合题意；
对于B，6本不同的书中，先取 本作为一组，再从剩余的 本中取 作为一组，
最后 本 作为一组，共有 种，再将 分给甲、乙、丙三人，
共有 种，B不正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法 种；
对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分 种情况讨论：
①一人 本，其他两人各 本，共有 ；
②一人1本，一人2本，一人3本，共有 种，
③每人2本，共有 ，
故共有 种.
故答案为：ACD
【分析】由已知条件利用排列组合以及分步计数原理结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2024高二下·广州期中）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 存在两个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．若 时， ，则 的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A. ，解得 ，所以A符合题意；
B. ，
当 时， ，当 时， 或
是函数的单调递减区间， 是函数的单调递增区间，
所以 是函数的极小值， 是函数的极大值，所以B符合题意.
C.当 时， ，根据B可知，函数的最小值是 ，再根据单调性可知，当 时，方程 有且只有两个实根，所以C符合题意；
D.由图像可知， 的最大值是2，所以不正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用导数分析函数的图象的可能情况，即可得到答案。
12．（2024高二下·广州期中）在的二项展开式中，常数项等于 .
【答案】-20
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：展开式通项，令6-2r=0，得r=3，
故答案为：.
【分析】先利用二项式展开式的通项公式可得，再令 6-2r=0 即可求解.
13．（2024高二下·广州期中）函数的极大值是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：已知 得，
令，解得，
易当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取极大值，得，
所以的极大值为．
【分析】先求出导函数，然后利用导函数等于0，再利用取得极值的条件计算即可求解．
14．（2024高二下·广州期中）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
则函数在上单调递减，因为，所以，
不等式等价于，则，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】构造函数，求导，由题意可得函数在上单调递减；推出，不等式等价于，求解即可．
15．（2024高二下·广州期中）已知函数在点处的切线平行于轴．
（1）求实数；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）解：已知可得：，
由题意，，解得；
（2）解：由（1）得，，则，
当时，，则在上是减函数；
当时，，在上是增函数.
故时，函数有极小值为，无极大值.
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先对函数求导可得，再利用即可求解；
（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式可得，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.
（1）由可得：，
由题意，，解得；
（2）由（1）得，，则，
当时，，则在上是减函数；
当时，，在上是增函数.
故时，函数有极小值为，无极大值.
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.
16．（2024高二下·广州期中）已知等差数列中的前n项和为，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，记，求数列的前n项的和．
【答案】（1）解：设等差数列公差为d，由，，成等比数列， ，可得，
即解得或，则或；
（2）解：若数列为递增数列，则，即，
则
两式相减可得：
，
即．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）设等差数列公差为d，由题意列方程组求出和d，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求数列的前n项的和即可．
（1）设等差数列公差为d，则，即
解得或，所以或；
（2）由数列为递增数列，则，
所以，
则
有
两式相减，有
，
即．
17．（2024高二下·广州期中）已知函数
（1）若函数在处取得极值，求的值；
（2）若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：已知，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）解：由，其中，
当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用极值点的意义可得，再进行验证即可得解；
（2）分，两类讨论，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.
（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，
当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
18．（2024高二下·广州期中）方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本（单位：万元），当年产量小于9万件时，，当年产量不小于9万件时，．已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）
【答案】（1）解：因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．
依据题意得，当时，，
当时，，
所以．
（2）解：当时，，因为（当且仅当，即时取等号），所以，
即当时，取得最大值为（万元）
当时，，∴，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值为（万元）
∵，∴当时，的最大值为7万元．
∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先利用年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本可得，即可求解；
（2）分和两种情况分别用基本不等式与导数法求出每段上的最大值，即可求解.
（1）因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．
依据题意得，当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，因为
（当且仅当，即时取等号），所以，
即当时，取得最大值为（万元）
当时，，∴，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值为（万元）
∵，∴当时，的最大值为7万元．
∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．
19．（2024高二下·广州期中）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：是其定义域上的增函数；
（3）若，其中且，求实数的值．
【答案】（1）解：由题意，即切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）证明：由，设，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又，所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
即，则，
所以时，，单调递减，所以，即，即，
时，，单调递增，所以，即，即，
所以是其定义域上的增函数.
（3）解：由（2）可知，时，，所以，故，
令，，
由题意时，，时，，
若，则当时，，不满足条件，
所以，
而，
令，则，
令，得，
在单调递减，在单调递增，
若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意；
若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意；
若，则当时，，单调递增，此时，
且当时，，单调递增，此时，满足题意，
所以，解得，
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）由题意求得切点坐标，再求出切点处的导数值得切线斜率，即可求得切线方程；
（2）对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有，故只需要证明时，，时，即可；
（3）由（2）得，进一步令，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解.
1 / 1广东省广州市第十六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·广州期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·广州期中）设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
3．（2024高二下·广州期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·广州期中）甲 乙 丙 丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为
A．24 B．12 C．8 D．6
5．（2024高二下·广州期中）已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·广州期中）已知，那么（ ）
A． B．2 C． D．12
7．（2024高二下·广州期中）点 是曲线 上任意一点， 则点 到直线 的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2024高二下·广州期中）若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024高二下·广州期中）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间上的极小值点
10．（2024高二下·广州期中）下列说法正确的为（ ）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 种不同的分法；
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 种不同的分法；
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
11．（2024高二下·广州期中）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 存在两个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．若 时， ，则 的最小值为
12．（2024高二下·广州期中）在的二项展开式中，常数项等于 .
13．（2024高二下·广州期中）函数的极大值是 .
14．（2024高二下·广州期中）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是 ．
15．（2024高二下·广州期中）已知函数在点处的切线平行于轴．
（1）求实数；
（2）求的单调区间和极值．
16．（2024高二下·广州期中）已知等差数列中的前n项和为，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，记，求数列的前n项的和．
17．（2024高二下·广州期中）已知函数
（1）若函数在处取得极值，求的值；
（2）若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
18．（2024高二下·广州期中）方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本（单位：万元），当年产量小于9万件时，，当年产量不小于9万件时，．已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）
19．（2024高二下·广州期中）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：是其定义域上的增函数；
（3）若，其中且，求实数的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D错误，
故答案为：A
【分析】直接利用积的导数公式进行计算可判断A选项和C选项；根据常数的导数等于0可判断B选项；利用指数函数的导数公式进行计算可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：已知，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用等差数列的性质求出，再利用等差数列前n项和公式即可求解.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域是，，
令，解得，则函数的单调区间为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再求导，令求解即可得函数的单调递减区间.
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】由题：老师站中间，
第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；
第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；
第三步：排剩下两位同学，种排法，
所以共8种.
故答案为：C
【分析】特殊元素优先，先排乙，再排甲，利用分步乘法计数原理即可求解.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 函数只有一个零点，
即函数的图像与的图像只有一个交点，
函数的定义域为，，令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
则当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；
作出函数图象，如图所示：
由图可知，实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】原问题转化为函数的图像与的图像只有一个交点，求导，利用导数研究函数的单调性与极值，作出函数的图像，数形结合求的取值范围即可.
6．【答案】A
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，
令代入二项式得，
所以.
故答案为：A．
【分析】利用赋值法即可求解.
7．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，则 ，即 ，
所以 ，
故答案为：B。
【分析】利用导数求得平行于直线 y = x 2 的切线的切点，由点到直线距离公式即可求得结果.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：问题转化为，
当时，不等式显然成立，
当时，即有对任意恒成立，
令，则，
令，
则，
故在递增，
，，
，使得，故，
故时，，，时，，
故在递减，在，递增，
故，
故，
故整数的最大值为4，
故答案为：．
【分析】当时将问题转化为恒成立，令，求导可得，利用导函数函数的单调性求出的最大值即可求解．
9．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、由图象可知在上，则在上函数为增函数故A选项正确；
B、由图象可知在上有正有负，则不具有单调性，故B选项错误；
C、由图像可得在上先增后减且，则有极大值，故C选项正确；
D、由图像可得在上先减后增且，则是的极小值点，故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导函数的图象结合导函数与函数单调性的关系及取得极值的条件逐项判断即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，6本不同的书中，先取 本给甲，再从剩余的 本中取 本给乙，
最后 本给丙，共有 种不同的分法，A符合题意；
对于B，6本不同的书中，先取 本作为一组，再从剩余的 本中取 作为一组，
最后 本 作为一组，共有 种，再将 分给甲、乙、丙三人，
共有 种，B不正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法 种；
对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分 种情况讨论：
①一人 本，其他两人各 本，共有 ；
②一人1本，一人2本，一人3本，共有 种，
③每人2本，共有 ，
故共有 种.
故答案为：ACD
【分析】由已知条件利用排列组合以及分步计数原理结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A. ，解得 ，所以A符合题意；
B. ，
当 时， ，当 时， 或
是函数的单调递减区间， 是函数的单调递增区间，
所以 是函数的极小值， 是函数的极大值，所以B符合题意.
C.当 时， ，根据B可知，函数的最小值是 ，再根据单调性可知，当 时，方程 有且只有两个实根，所以C符合题意；
D.由图像可知， 的最大值是2，所以不正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用导数分析函数的图象的可能情况，即可得到答案。
12．【答案】-20
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：展开式通项，令6-2r=0，得r=3，
故答案为：.
【分析】先利用二项式展开式的通项公式可得，再令 6-2r=0 即可求解.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：已知 得，
令，解得，
易当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取极大值，得，
所以的极大值为．
【分析】先求出导函数，然后利用导函数等于0，再利用取得极值的条件计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
则函数在上单调递减，因为，所以，
不等式等价于，则，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】构造函数，求导，由题意可得函数在上单调递减；推出，不等式等价于，求解即可．
15．【答案】（1）解：已知可得：，
由题意，，解得；
（2）解：由（1）得，，则，
当时，，则在上是减函数；
当时，，在上是增函数.
故时，函数有极小值为，无极大值.
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先对函数求导可得，再利用即可求解；
（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式可得，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.
（1）由可得：，
由题意，，解得；
（2）由（1）得，，则，
当时，，则在上是减函数；
当时，，在上是增函数.
故时，函数有极小值为，无极大值.
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.
16．【答案】（1）解：设等差数列公差为d，由，，成等比数列， ，可得，
即解得或，则或；
（2）解：若数列为递增数列，则，即，
则
两式相减可得：
，
即．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）设等差数列公差为d，由题意列方程组求出和d，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求数列的前n项的和即可．
（1）设等差数列公差为d，则，即
解得或，所以或；
（2）由数列为递增数列，则，
所以，
则
有
两式相减，有
，
即．
17．【答案】（1）解：已知，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）解：由，其中，
当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导可得，再利用极值点的意义可得，再进行验证即可得解；
（2）分，两类讨论，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.
（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，
当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．
依据题意得，当时，，
当时，，
所以．
（2）解：当时，，因为（当且仅当，即时取等号），所以，
即当时，取得最大值为（万元）
当时，，∴，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值为（万元）
∵，∴当时，的最大值为7万元．
∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先利用年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本可得，即可求解；
（2）分和两种情况分别用基本不等式与导数法求出每段上的最大值，即可求解.
（1）因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．
依据题意得，当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，因为
（当且仅当，即时取等号），所以，
即当时，取得最大值为（万元）
当时，，∴，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值为（万元）
∵，∴当时，的最大值为7万元．
∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．
19．【答案】（1）解：由题意，即切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）证明：由，设，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又，所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
即，则，
所以时，，单调递减，所以，即，即，
时，，单调递增，所以，即，即，
所以是其定义域上的增函数.
（3）解：由（2）可知，时，，所以，故，
令，，
由题意时，，时，，
若，则当时，，不满足条件，
所以，
而，
令，则，
令，得，
在单调递减，在单调递增，
若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意；
若，则当时，，单调递减，此时，不满足题意；
若，则当时，，单调递增，此时，
且当时，，单调递增，此时，满足题意，
所以，解得，
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）由题意求得切点坐标，再求出切点处的导数值得切线斜率，即可求得切线方程；
（2）对求导后，令，对继续求导发现，对于任意的有，故只需要证明时，，时，即可；
（3）由（2）得，进一步令，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解.
1 / 1
