浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高二下·金华期中）的值是（ ）
A．20 B．40 C． D．
2．（2024高二下·金华期中）4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A．6 B．24 C．64 D．81
3．（2024高二下·金华期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．（2024高二下·金华期中）8个人分成3人、3人、2人三组，共有（ ）种不同的分组方法.
A．1120 B．840 C．560 D．280
5．（2024高二下·金华期中）函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·金华期中）设…，则（ ）
A． B． C．800 D．640
7．（2024高二下·金华期中）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·金华期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·金华期中）随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·金华期中）如图，直线与曲线相切于两点，则有（ ）
A．2个极大值点 B．3个极大值点 C．2个极小值点 D．3个极小值点
11．（2024高二下·金华期中）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
12．（2024高二下·金华期中）已知随机变量，且，则 .
13．（2024高二下·金华期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 .
14．（2024高二下·金华期中）甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷分出胜者算一场若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为 .
15．（2024高二下·金华期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为
（1）求实数a和n的值；
（2）求展开式中系数最小的项．
16．（2024高二下·金华期中）如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2024高二下·金华期中）设等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，记的前项和为，求
18．（2024高二下·金华期中）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.
（1）当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望；
（2）若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.
19．（2024高二下·金华期中）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数与函数有相同的最小值，求a的值；
（3）证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】由排列、组合数公式求解即可．
2．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：不同报法的种数是，
故选：D.
【分析】由题意可知每名同学有3种不同的选择，根据分步计数原理解答即可求得不同报法的种数 .
3．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由离心率的定义可知：
，
则双曲线的渐近线方程为：。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合双曲线离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b的关系式，从而得出双曲线的渐近线方程。
4．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，一共有种不同的分组方法
故选：D.
【分析】利用平均分组求法即可求得不同的分组方法总数.
5．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：A.
【分析】根据复合函数的求导法则和基本初等函数的导数公式计算即可．
6．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
为含x2项的系数，要得到的话可分两种情况讨论：
①5个因式取1个，取4个，即
②5个因式取2个，取3个，即
所以二项展开式中含项的系数为，即=-640.
故选：B.
【分析】要得到可分两种情况讨论：①5个因式取1个，取4个；②5个因式取2个，取3个，再结合二项式定理展开式计算即可求得的值.
7．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
则.
故答案为：C.
【分析】先求出、同时发生的概率以及发生的概率，再由条件概率公式计算即可．
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
令函数，，
因为在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：B.
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性可知函数在上单调递增，即，进而即可得到答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意可知，，且a，b，①
，b，c成等差数列，，②
联立①②，解得，，
所以，
，
可以为 ，， ，
故选：ABC.
【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，利用a，b，c成等差数列，可得，进而可求出c的取值范围，再根据即可求得的可能取的值.
10．【答案】B,C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意可得，k<0，，
由图可知，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，
在左侧时，，所以，
在右侧时，，由导数的几何意义知，，所以，
故为的三个极大值点，
在左侧时，，由导数的几何意义知，，所以，
在右侧时，，所以，
故为的2个极小值点，
故选：BC.
【分析】根据条件，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，对函数h(x)进行求导，结合图象，利用导数的几何意义及极值的定义分析f'(x)与k的大小，进而分析h'(x)的正负，进而求得h(x)的极值点即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【解答】解：A、从该口袋中任取3个球，取出的红球个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，
因为，，，，所以，故选项A正确；
B、每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故选项B正确；
C、从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的所有可能取值为1，2，3，
因为，，
所以，
所以，故选项C错误；
D、每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
因为，，，
所以，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】的可能取值为0，1，2，3，利用概率公式求得各自取值的概率，进而求出数学期望即可判断选项A；，利用二项分布的方差公式求得即可判断选项B；X的可能取值为1，2，3，利用概率公式求得各自取值的概率，进而求出数学期望即可判断选项C；Y的可能取值为0，1，2，利用概率公式求得各自取值的概率，进而求出数学期望即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：
【分析】依题意可得相应的正态曲线关于对称，利用对称性即可求得 ．
13．【答案】；
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，
所以直线为，
而直线，即直线，
所以两平行直线之间的距离为，
故答案为：；.
【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，进而求得 直线 的方程，再利用两条平行直线间的距离公式即可求得两条平行直线之间的距离.
14．【答案】
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：一场中先掷的人赢的概率为，，
因为，所以当时，，
所以一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，
记甲先掷且第二场甲赢的事件为A，
因为第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，
所以，
故答案为：
【分析】根据题意先求得一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，再由第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，根据相互独立事件的概率乘法公式再计算即可求得第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率 .
15．【答案】（1）解：因为仅有第5项的二项式系数最大，所以
由 各项系数之和为1，可令，即，
解得a=2或a=0，
因为a≠0，所以a=2.
（2）解：二项展开式的通项为：，
假设第项的系数的绝对值最大，
所以，解得：
故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.
又因为展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
故展开式中系数最小的项是第6项：
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式定理的性质先求得n的值，进而根据各项系数之和为1得，求出a的值即可；
（2）先写出二项展开式的通项公式，进而设第项的系数的绝对值最大，则，求出k的值，进而可得展开式中系数最小的项.
（1）仅有第5项的二项式系数最大，则
令，则，又，则
（2）二项展开式的通项为：，
假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得：
，解得：
故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.
又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
故展开式中系数最小的项是第6项：
16．【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，
所以平面，
又因为平面
所以
（2）解：如图所示，以点为原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的性质证得平面，进而利用线面垂直的性质即可证得 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线DN的方向向量，利用向量夹角余弦公式即可求出直线与平面所成角的正弦值.
（1）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又因为平面
所以
（2）如图，以点为原点，分别以直线为轴，轴，
依题意，可得，，，，，
所以，，
，，
又，为的中点.
，所以，
设为平面的法向量，
因为，，
则，即，
取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．【答案】（1）解：设数列的公差为d，
由题意可知解得：，，
所以数列的通项公式
（2）解：由题意得：，
由于
当n=1时，b1=1符合上式，
所以数列 的通项公式为bn
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组解得，，即可得数列的通项公式；
（2）根据题意有，利用累乘法得，利用二项式系数和即可计算即可求得，
（1）由题意得：
解得：，，
（2）由题意得：，
由于
所以
18．【答案】（1）解：随机变量的所有可能取值为3，4，5，6，
由题意可得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为
所以，，
，，
所以的分布列为：
3 4 5 6
所以数学期望.
（2）解：(i)证明：，即累计得分为1分，即第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
则，
累计得分为i分的情况有两种：
①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，
②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
(ii)因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，，…，
各式相加，得：，
所以
所以活动参与者得到纪念品的概率为
【知识点】等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，得出随机变量可能取值为3，4，5，6，求得各个取值相应的概率，进而可得X的分布列，利用期望的公式即可求得数学期望；
（2）（ⅰ）当，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
得到，而累计得分为i分的情况分两种，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分和前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，可得到，结合等比数列的定义，即可证得数列是等比数列； ；
（ⅱ）由（ⅰ）得到，利用累加法得到，而活动参与者得到纪念品即得十分，前8轮一共得8分，第9轮得2分，则进而求得活动参与者得到纪念品的概率.
（1）解：由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为
所以随机变量可能取值为3，4，5，6，
可得，
，
所以的分布列：
3 4 5 6
所以期望.
（2）解：（ⅰ）证明：，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
则，
累计得分为分的情况有两种：
①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，
②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，
所以
所以活动参与者得到纪念品的概率为.
19．【答案】（1）解：由题意可知，的定义域为，而，
①当时，，所以在上单调递减；
②当时，令，得，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由（1）可得当时，，
而，令，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
因为函数与函数有相同的最小值，
所以，即，
令，x>0，所以，
所以，在上单调递增，
又因为所以a=1.
（3）证明：令，此时由（1）可得
所以，即，
令，则，
因为，
所以，
所以
，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，进而求导数，分和两种情况讨论导数正负，即可得函数单调性；
（2）由（1）可得当时，f(x)有最小值，，进而讨论正负，判断函数g(x)的单调性，即可得函数最小值，则有，构造函数，利用导数即可求得的值；
（3）由（1）分析得，利用对数运算与裂项相消法求和，可证 .
（1）的定义域：，，
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，则，
此时，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）得：，且，
，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，
函数与函数有相同的最小值，
，转化为：，
令，则，
所以，在上单调递增，
又；
（3）令，此时由（1）得：，
令，则，
，，
，
故.
1 / 1浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高二下·金华期中）的值是（ ）
A．20 B．40 C． D．
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】由排列、组合数公式求解即可．
2．（2024高二下·金华期中）4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A．6 B．24 C．64 D．81
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：不同报法的种数是，
故选：D.
【分析】由题意可知每名同学有3种不同的选择，根据分步计数原理解答即可求得不同报法的种数 .
3．（2024高二下·金华期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由离心率的定义可知：
，
则双曲线的渐近线方程为：。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合双曲线离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b的关系式，从而得出双曲线的渐近线方程。
4．（2024高二下·金华期中）8个人分成3人、3人、2人三组，共有（ ）种不同的分组方法.
A．1120 B．840 C．560 D．280
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，一共有种不同的分组方法
故选：D.
【分析】利用平均分组求法即可求得不同的分组方法总数.
5．（2024高二下·金华期中）函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：A.
【分析】根据复合函数的求导法则和基本初等函数的导数公式计算即可．
6．（2024高二下·金华期中）设…，则（ ）
A． B． C．800 D．640
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为，
为含x2项的系数，要得到的话可分两种情况讨论：
①5个因式取1个，取4个，即
②5个因式取2个，取3个，即
所以二项展开式中含项的系数为，即=-640.
故选：B.
【分析】要得到可分两种情况讨论：①5个因式取1个，取4个；②5个因式取2个，取3个，再结合二项式定理展开式计算即可求得的值.
7．（2024高二下·金华期中）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
则.
故答案为：C.
【分析】先求出、同时发生的概率以及发生的概率，再由条件概率公式计算即可．
8．（2024高二下·金华期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
令函数，，
因为在上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：B.
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性可知函数在上单调递增，即，进而即可得到答案.
9．（2024高二下·金华期中）随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意可知，，且a，b，①
，b，c成等差数列，，②
联立①②，解得，，
所以，
，
可以为 ，， ，
故选：ABC.
【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，利用a，b，c成等差数列，可得，进而可求出c的取值范围，再根据即可求得的可能取的值.
10．（2024高二下·金华期中）如图，直线与曲线相切于两点，则有（ ）
A．2个极大值点 B．3个极大值点 C．2个极小值点 D．3个极小值点
【答案】B,C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意可得，k<0，，
由图可知，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，
在左侧时，，所以，
在右侧时，，由导数的几何意义知，，所以，
故为的三个极大值点，
在左侧时，，由导数的几何意义知，，所以，
在右侧时，，所以，
故为的2个极小值点，
故选：BC.
【分析】根据条件，有3个极大值点，设为，2个极小值点，设为，且，对函数h(x)进行求导，结合图象，利用导数的几何意义及极值的定义分析f'(x)与k的大小，进而分析h'(x)的正负，进而求得h(x)的极值点即可.
11．（2024高二下·金华期中）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
【答案】A,B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【解答】解：A、从该口袋中任取3个球，取出的红球个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，
因为，，，，所以，故选项A正确；
B、每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故选项B正确；
C、从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的所有可能取值为1，2，3，
因为，，
所以，
所以，故选项C错误；
D、每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
因为，，，
所以，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】的可能取值为0，1，2，3，利用概率公式求得各自取值的概率，进而求出数学期望即可判断选项A；，利用二项分布的方差公式求得即可判断选项B；X的可能取值为1，2，3，利用概率公式求得各自取值的概率，进而求出数学期望即可判断选项C；Y的可能取值为0，1，2，利用概率公式求得各自取值的概率，进而求出数学期望即可判断选项D.
12．（2024高二下·金华期中）已知随机变量，且，则 .
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：
【分析】依题意可得相应的正态曲线关于对称，利用对称性即可求得 ．
13．（2024高二下·金华期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 .
【答案】；
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，
所以直线为，
而直线，即直线，
所以两平行直线之间的距离为，
故答案为：；.
【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，进而求得 直线 的方程，再利用两条平行直线间的距离公式即可求得两条平行直线之间的距离.
14．（2024高二下·金华期中）甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷分出胜者算一场若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为 .
【答案】
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：一场中先掷的人赢的概率为，，
因为，所以当时，，
所以一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，
记甲先掷且第二场甲赢的事件为A，
因为第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，
所以，
故答案为：
【分析】根据题意先求得一场中先掷的人赢的概率为，后掷的人赢的概率为，再由第一场时是甲先掷且第二场甲胜，有两种情况：第一场甲赢第二场甲赢和第一场乙赢第二场甲赢，根据相互独立事件的概率乘法公式再计算即可求得第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率 .
15．（2024高二下·金华期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为
（1）求实数a和n的值；
（2）求展开式中系数最小的项．
【答案】（1）解：因为仅有第5项的二项式系数最大，所以
由 各项系数之和为1，可令，即，
解得a=2或a=0，
因为a≠0，所以a=2.
（2）解：二项展开式的通项为：，
假设第项的系数的绝对值最大，
所以，解得：
故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.
又因为展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
故展开式中系数最小的项是第6项：
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项式定理的性质先求得n的值，进而根据各项系数之和为1得，求出a的值即可；
（2）先写出二项展开式的通项公式，进而设第项的系数的绝对值最大，则，求出k的值，进而可得展开式中系数最小的项.
（1）仅有第5项的二项式系数最大，则
令，则，又，则
（2）二项展开式的通项为：，
假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得：
，解得：
故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.
又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
故展开式中系数最小的项是第6项：
16．（2024高二下·金华期中）如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若为直线上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，
所以平面，
又因为平面
所以
（2）解：如图所示，以点为原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的性质证得平面，进而利用线面垂直的性质即可证得 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线DN的方向向量，利用向量夹角余弦公式即可求出直线与平面所成角的正弦值.
（1）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又因为平面
所以
（2）如图，以点为原点，分别以直线为轴，轴，
依题意，可得，，，，，
所以，，
，，
又，为的中点.
，所以，
设为平面的法向量，
因为，，
则，即，
取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．（2024高二下·金华期中）设等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，记的前项和为，求
【答案】（1）解：设数列的公差为d，
由题意可知解得：，，
所以数列的通项公式
（2）解：由题意得：，
由于
当n=1时，b1=1符合上式，
所以数列 的通项公式为bn
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组解得，，即可得数列的通项公式；
（2）根据题意有，利用累乘法得，利用二项式系数和即可计算即可求得，
（1）由题意得：
解得：，，
（2）由题意得：，
由于
所以
18．（2024高二下·金华期中）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.
（1）当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望；
（2）若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.
【答案】（1）解：随机变量的所有可能取值为3，4，5，6，
由题意可得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为
所以，，
，，
所以的分布列为：
3 4 5 6
所以数学期望.
（2）解：(i)证明：，即累计得分为1分，即第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
则，
累计得分为i分的情况有两种：
①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，
②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
(ii)因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，，…，
各式相加，得：，
所以
所以活动参与者得到纪念品的概率为
【知识点】等比数列概念与表示；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，得出随机变量可能取值为3，4，5，6，求得各个取值相应的概率，进而可得X的分布列，利用期望的公式即可求得数学期望；
（2）（ⅰ）当，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
得到，而累计得分为i分的情况分两种，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分和前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，可得到，结合等比数列的定义，即可证得数列是等比数列； ；
（ⅱ）由（ⅰ）得到，利用累加法得到，而活动参与者得到纪念品即得十分，前8轮一共得8分，第9轮得2分，则进而求得活动参与者得到纪念品的概率.
（1）解：由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为
所以随机变量可能取值为3，4，5，6，
可得，
，
所以的分布列：
3 4 5 6
所以期望.
（2）解：（ⅰ）证明：，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率
则，
累计得分为分的情况有两种：
①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为，
②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，
所以
所以活动参与者得到纪念品的概率为.
19．（2024高二下·金华期中）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数与函数有相同的最小值，求a的值；
（3）证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数
【答案】（1）解：由题意可知，的定义域为，而，
①当时，，所以在上单调递减；
②当时，令，得，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由（1）可得当时，，
而，令，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
因为函数与函数有相同的最小值，
所以，即，
令，x>0，所以，
所以，在上单调递增，
又因为所以a=1.
（3）证明：令，此时由（1）可得
所以，即，
令，则，
因为，
所以，
所以
，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，进而求导数，分和两种情况讨论导数正负，即可得函数单调性；
（2）由（1）可得当时，f(x)有最小值，，进而讨论正负，判断函数g(x)的单调性，即可得函数最小值，则有，构造函数，利用导数即可求得的值；
（3）由（1）分析得，利用对数运算与裂项相消法求和，可证 .
（1）的定义域：，，
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，则，
此时，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）得：，且，
，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，
函数与函数有相同的最小值，
，转化为：，
令，则，
所以，在上单调递增，
又；
（3）令，此时由（1）得：，
令，则，
，，
，
故.
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